随机信号分析第四章课件

先简单复习一下确定时间函数的频谱、能谱密度及先简单复习一下确定时间函数的频谱、能谱密度及能量的概念能量的概念设信号设信号s(t)为时间为时间t的非周期实函数，满足如下条件：的非周期实函数，满足如下条件：1），即，即s(t)绝对可积；绝对可积；2）s(t)在在内内只只有有有有限限个个第第一一类类间间断断点点和和有有限限个个极极值点，那么，值点，那么，s(t)的傅立叶变换存在，为的傅立叶变换存在，为又称为频谱密度，也简称为频谱。又称为频谱密度，也简称为频谱。信号信号s(t)可以用频谱表示为可以用频谱表示为4.1功率功率谱谱密度密度先先简单简单复复习习一下确定一下确定时间时间1信号信号s(t)的总能量为的总能量为根根据据帕帕塞塞瓦瓦尔尔定定理理：对对能能量量有有限限信信号号，时时域域内内信信号号的能量等于频域内信号的能量。即的能量等于频域内信号的能量。即其中，其中，称为称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。的能量谱密度（能谱密度）。能能谱谱密密度度存存在在的的条条件件是是总总能能量量有有限限，所所以以s(t)也也称称为有限能量信号。为有限能量信号。能能谱谱密度信号密度信号s(t)的的总总能量能量为为根据帕塞瓦根据帕塞瓦尔尔定理：定理：对对能量有限信能量有限信2随随机机信信号号的的能能量量一一般般是是无无限限的的，但但是是其其平平均均功功率率是是有有限的。因此可推广频谱分析法，引入功率谱的概念。限的。因此可推广频谱分析法，引入功率谱的概念。首先我们把随机过程首先我们把随机过程X(t)的样本函数的样本函数x(t)，任意，任意截取一段，长度为截取一段，长度为2T，并记为，并记为xT(t)x xT T(t(t）的付里叶变换是存在的，有）的付里叶变换是存在的，有随机随机过过程的功率程的功率谱谱密度密度随机信号的能量一般是无限的，但是其平均随机信号的能量一般是无限的，但是其平均3注注意意到到x xT T(t)(t)和和X XT T()()实实际际都都是是实实验验结结果果的的随随机机函函数数，因此它们最好分别写成因此它们最好分别写成X XT T(t,)(t,)和和X XT T(,).(,).样本函数的平均功率为：样本函数的平均功率为：功率信号的帕塞功率信号的帕塞瓦尔定理瓦尔定理注意到注意到xT(t)和和XT()实际实际都是都是实验结实验结果果的随机函数，因的随机函数，因4被被积积函函数数 代代表表了了随随机机过过程程的的某某一一个个样样本本函函数数x(t,)x(t,)在在单单位位频频带带内内、消消耗耗在在11电电阻阻上上的的平平均均功功率率，称称为为样样本本函函数数的的功功率率谱谱密密度度函函数数，记记作作Gx(Gx(，)。如果我们对所有的如果我们对所有的(实验结果实验结果)取统计平均，得取统计平均，得被被积积函数函数代表了随机代表了随机过过程的某一个程的某一个样样本函本函5Gx()被称为随机过程被称为随机过程X(t)的的功率谱密度函数功率谱密度函数，简称，简称功率谱密度。它的物理意义非常明显：表示随机过程功率谱密度。它的物理意义非常明显：表示随机过程X(t)在单位频带内在在单位频带内在1电阻上消耗的平均功率。电阻上消耗的平均功率。功功率率谱谱密密度度是是从从频频率率角角度度描描述述随随机机过过程程X(t)的的统统计计特性的最主要的数字特征。特性的最主要的数字特征。如果我们对所有的如果我们对所有的(实验结果实验结果)取统计平均，得取统计平均，得Gx()被称被称为为随机随机过过程程X(t)的功率的功率谱谱密度函数，密度函数，简简称功率称功率谱谱6随机过程随机过程X(t)的平均功率为：的平均功率为：由由此此可可见见，随随机机过过程程的的平平均均功功率率可可以以由由它它的的均均方方值值的的时时间间平平均均得得到到，也也可可以以由由它它的的功功率率谱谱密密度度在在整整个个频频率率域上积分得到。域上积分得到。若若X(t)为平稳过程时，此时均方值为常数，为平稳过程时，此时均方值为常数，若若X(t)X(t)为为各各态态历历经经过过程程，功功率率谱谱可可由由一一个个样样本本函函数数得到：得到：随机随机过过程程X(t)的平均功率的平均功率为为：由此可：由此可见见，随机，随机过过程的平均功率可程的平均功率可7功功率率谱谱密密度度是是从从频频域域角角度度描描述述随随机机过过程程X(t)的的统统计计特特性性的的重重要要数数字字特特征征。但但它它仅仅表表示示X(t)的的平平均均功功率率在在频域上的分布，不包含任何相位信息。频域上的分布，不包含任何相位信息。应用：应用：1、不解体的故障判断：如汽车发动机震动信、不解体的故障判断：如汽车发动机震动信号功率谱判断排气阀门间隙大小号功率谱判断排气阀门间隙大小2、医学信号特征提取：脑电波、医学信号特征提取：脑电波功率功率谱谱密度是从密度是从频频域角度描述随机域角度描述随机过过程程X(t)的的统计统计特性的重要数特性的重要数8平平稳稳随随机机过过程程的的自自相相关关函函数数与与功功率率谱谱密密度度构构成成傅傅立立叶叶变换对，即变换对，即维纳辛钦定理：维纳辛钦定理：它成立的条件是它成立的条件是绝对可积，即绝对可积，即42功率功率谱谱密度与自相关函数之密度与自相关函数之间间的关系平的关系平稳稳随机随机过过程的自相关程的自相关9根据功率谱密度的定义：根据功率谱密度的定义：维纳维纳辛辛钦钦定理根据功率定理根据功率谱谱密度的定密度的定义义：10在上式中作积分变量替换在上式中作积分变量替换：则上式变为：则上式变为：将极限符号写入，则得：将极限符号写入，则得：大括号下的量可以看是非平稳过程自相关函数的时间平均大括号下的量可以看是非平稳过程自相关函数的时间平均即：即：在上式中作在上式中作积积分分变变量替量替换换：则则上式上式变为变为：将极限符号写入：将极限符号写入11即时间平均自相关函数与功率谱密度为付里叶变换对。即时间平均自相关函数与功率谱密度为付里叶变换对。若若X X（t t）为为平平稳稳过过程程，则则时时间间平平均均自自相相关关函函数数等等于于集合平均自相关函数：集合平均自相关函数：可可见见，平平稳稳过过程程的的功功率率谱谱密密度度就就是是其其自自相相关关函函数数的的付付里叶变换。若进行付氏反变换，则有里叶变换。若进行付氏反变换，则有维纳维纳辛辛钦钦定理即定理即时间时间平均自相关函数与功率平均自相关函数与功率谱谱密度密度为为付里叶付里叶变换对变换对12它成立的条件是它成立的条件是绝对可积，即绝对可积，即当当时，可得时，可得可知，可知，是平稳随机过程是平稳随机过程X(t)的平均功率。的平均功率。即随机过程平均功率有限，应不能含有直流成分即随机过程平均功率有限，应不能含有直流成分或周期性成分或周期性成分 维纳维纳辛辛钦钦定理它成立的条件是定理它成立的条件是13若我们借助于若我们借助于-函数，函数，维纳维纳-辛钦公式就可推广应用到辛钦公式就可推广应用到这种含有直流或周期性成分的平稳过程中来。这种含有直流或周期性成分的平稳过程中来。(1)如果所遇的问题中，平稳过程有非零均值，这时正如果所遇的问题中，平稳过程有非零均值，这时正常意义下的付氏变换不存在，但非零均值可用频域原常意义下的付氏变换不存在，但非零均值可用频域原点处的点处的-函数表示。该函数表示。该-函数的权重即为直流分量的功函数的权重即为直流分量的功率。率。(2)(2)当当平平稳稳过过程程含含有有对对应应于于离离散散频频率率的的周周期期分分量量时时，该成分就在频域的相应频率上产生该成分就在频域的相应频率上产生-函数。函数。维纳维纳辛辛钦钦定理若我定理若我们们借助于借助于-函数，函数，维纳维纳-辛辛钦钦公式就可推广公式就可推广14表表4.1时域时域频域频域典型函数的付氏典型函数的付氏变换变换关系表关系表4.1时时域域15例例 若随机过程若随机过程X X（t t）的自相关函数为）的自相关函数为求功率谱密度求功率谱密度解：解：例例题题例例若随机若随机过过程程X（t）的自相关函数）的自相关函数为为求功率求功率谱谱密度解：密度解：16例例 若随机过程若随机过程X X（t t）的自相关函数为）的自相关函数为求功率谱密度求功率谱密度解：解：例例题题例例若随机若随机过过程程X（t）的自相关函数）的自相关函数为为求功率求功率谱谱密度解：密度解：17由由于于平平稳稳随随机机过过程程的的自自相相关关函函数数R RX X()()是是的的偶偶函函数数，则则Gx()Gx()为：为：所以功率谱是实、偶函数，且非负所以功率谱是实、偶函数，且非负 Gx()Gx()应应分分布布在在-到到的的频频率率范范围围内内，而而实实际际上上负负频频率率(即即o)00，又又由由于于要要求求平平均均功功率率有有限限，所所以以一一般般必须满足必须满足mnmn此外，分母应该无实数根。此外，分母应该无实数根。例：例：下例函数是否是功率谱密度的合理表达式，说下例函数是否是功率谱密度的合理表达式，说明理由。明理由。性性质质5 5：有有理理谱谱密密度度是是实实际际应应用用中中最最常常见见的的一一类类功功率率谱谱密密度度，自自然然界界和和工工程程实实际际的的有有色色噪噪声声常常常常可可用用有有理理函函数数形形式式的的功功率率谱谱密密度度来来逼逼近近。根根据据谱谱密密度度的的上上述述性性质质1 1、2 2、3 3，它应具有如下形式，它应具有如下形式且式中且式中G。0，又由于要求平均功率有限，所以一般必，又由于要求平均功率有限，所以一般必须满须满足足m22例例4.5 4.5 已知平稳过程已知平稳过程X(t)X(t)具有如下功率谱密度具有如下功率谱密度求相关函数求相关函数RX()及平均功率及平均功率W。解解:利用留数定理或公式利用留数定理或公式 求得：求得：例例4.5已知平已知平稳过稳过程程X(t)具有如下功率具有如下功率谱谱密度求相关函数密度求相关函数23一、互密度谱一、互密度谱类类似似于于功功率率谱谱密密度度的的定定义义，定定义义实实过过程程X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)的互谱密度函数为的互谱密度函数为44互互谱谱密度及其性密度及其性质质一、互密度一、互密度谱类谱类似于功率似于功率谱谱密度的密度的24性质性质1：性质性质2 2：ReGReGXYXY()()和和ReGReGYXYX()()是是的偶函数；的偶函数；ImGXY()和和ImGYX()是是的奇函数。的奇函数。性质性质3 3：若平稳过程：若平稳过程X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)相互正交，则有相互正交，则有 二、互二、互谱谱密度的性密度的性质质性性质质1：性性质质2：ReGXY()和和25性性质质4 4：若若随随机机过过程程X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)联联合合平平稳稳，R RXYXY()()绝绝对对可可积积，则则互互谱谱密密度度和和互互相相关关函函数数构构成成付付里里叶叶变变换时，即换时，即互互谱谱密度的性密度的性质质性性质质4：若随机：若随机过过程程X(t)和和Y(t)联联合平合平稳稳，26性性质质5 5：若若X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)是是两两个个不不相相关关的的平平稳稳过过程程，分分别有均值别有均值m mX X和和m mY Y，则，则 将上式作付氏变换即可。将上式作付氏变换即可。性质性质6：互谱密度的幅度平方满足：互谱密度的幅度平方满足：互互谱谱密度的性密度的性质质性性质质5：若：若X(t)和和Y(t)是两个不相关的平是两个不相关的平稳稳27定义一个定义一个X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)的相干函数，即的相干函数，即容易证明，当容易证明，当X（t）=Y（t），），XY()=1,一般情况，一般情况，0XY()1。三、相干函数定三、相干函数定义义一个一个X(t)和和Y(t)的相干函数，即容易的相干函数，即容易证证明明28一、白噪声一、白噪声1白噪声的定义及特性白噪声的定义及特性 广广义义地地说说，称称这这些些使使信信号号产产生生失失真真的的误误差差源源为为噪噪声声。来来自自外外部部的的噪噪声声也也称称为为干干扰扰。在在理理论论上上，噪噪声声是是无无法法预预测测的的。如如果果能能够够很很好好地地掌掌握握它它的的规规律律，就就能能降降低低它它对有用信号的影响。对有用信号的影响。信信息息在在传传输输过过程程中中，不不可可避避免免地地要要受受到到各各种种干干扰扰，使信号产生误差。使信号产生误差。信息传输处理时，信道或设备不理想造成信息传输处理时，信道或设备不理想造成误差的来源误差的来源信号传输处理过程中串入了其它信号信号传输处理过程中串入了其它信号45白噪声与白序列白噪声与白序列一、白噪声一、白噪声1白噪声的定白噪声的定义义29（1）从噪声与电子系统的关系来看：）从噪声与电子系统的关系来看：内部噪声：系统本身的元器件及电路产生的。内部噪声：系统本身的元器件及电路产生的。外部噪声：包括电子系统之外的所有噪声。外部噪声：包括电子系统之外的所有噪声。（2）根据噪声的分布：）根据噪声的分布：高斯噪声：具有高斯分布的噪声。高斯噪声：具有高斯分布的噪声。均匀噪声：具有均匀分布的噪声。均匀噪声：具有均匀分布的噪声。（3）从功率谱的角度来看：）从功率谱的角度来看：白噪声：如果一个随机过程的功率谱为常数，白噪声：如果一个随机过程的功率谱为常数，无论是什么分布，都称它为白噪声。无论是什么分布，都称它为白噪声。色噪声：功率谱中各种频率分量的大小不同。色噪声：功率谱中各种频率分量的大小不同。噪声的分噪声的分类类：（：（1）从噪声与）从噪声与电电子系子系统统的关系来看：内部噪声：系的关系来看：内部噪声：系统统30一一个个均均值值为为零零，功功率率谱谱密密度度在在整整个个频频率率轴轴上上为为非非零零常常数，即数，即的平稳过程的平稳过程N(t)，称为白噪声过程，简称为白噪声。，称为白噪声过程，简称为白噪声。利用傅立叶反变换可求得白噪声的自相关函数为：利用傅立叶反变换可求得白噪声的自相关函数为：白噪声定白噪声定义义一个均一个均值为值为零，功率零，功率谱谱密度在整个密度在整个频频率率轴轴上上为为非零常非零常31 上式表明；白噪声在任何两个相邻时刻上式表明；白噪声在任何两个相邻时刻(不管这不管这两个时刻多么邻近两个时刻多么邻近)的状态都是不相关的，即白噪声的状态都是不相关的，即白噪声随时间的起伏变化极快，而过程的功率谱极宽。随时间的起伏变化极快，而过程的功率谱极宽。白噪声的相关系数：白噪声的相关系数：上式表明；白噪声在任何两个相上式表明；白噪声在任何两个相邻时邻时32与连续的白噪声过程相对应的随机序列则是白序列。与连续的白噪声过程相对应的随机序列则是白序列。设随机序列设随机序列Zn，它的自相关函数满足，它的自相关函数满足 或 式中式中(k)(k)为单位冲激序列，其定义为为单位冲激序列，其定义为2白序列白序列(RND伪伪随机序列随机序列)与与连续连续的白噪声的白噪声过过程相程相对应对应的随机的随机33 白序列可以由白噪声等间隔抽样得到，但更为方便白序列可以由白噪声等间隔抽样得到，但更为方便的办法是由一个计算机软件，由函数来产生。如直接的办法是由一个计算机软件，由函数来产生。如直接调用调用Matlab函数函数rand,randnrand,randn 高高斯斯分分布布白白噪噪声声序序列列，则则有有两两种种方方法法可可用用，一一是是上上章章介介绍绍的的用用N=12个个均均匀匀分分布布随随机机数数之之和和来来逼逼近近，另另一一种方法则是用变换的方法。种方法则是用变换的方法。Y1,Y2为相互独立的高斯分布的随机数为相互独立的高斯分布的随机数N(m,2)。白序列功率白序列功率谱谱白序列可以由白噪声等白序列可以由白噪声等间间隔抽隔抽样样得到，但更得到，但更为为34若若平平稳稳过过程程N(t)在在有有限限频频带带上上的的功功率率谱谱密密度度为为常常数数，在频带之外为零，则称在频带之外为零，则称N(t)为理想带限白噪声。为理想带限白噪声。（1 1）低通白噪声）低通白噪声若白噪声的功率谱在若白噪声的功率谱在 内不为零，而在其外内不为零，而在其外为零，且分布均匀，其表达式为为零，且分布均匀，其表达式为称这类白噪声为低通白噪声称这类白噪声为低通白噪声则其自相关函数为：则其自相关函数为：可得低通白噪声的平均功率为：可得低通白噪声的平均功率为：3、带带限白噪声限白噪声若平若平稳过稳过程程N(t)在有限在有限频带频带上的功率上的功率谱谱密度密度为为35如如果果N(t)的的功功率率谱谱密密度度集集中中在在为为中中心心的的频频带带内内，则则称称N(t)是带通限带白噪声，或称为带通白噪声，其功率谱为是带通限带白噪声，或称为带通白噪声，其功率谱为它的自相关函数为：它的自相关函数为：带通白噪声的平均功率为：带通白噪声的平均功率为：（2）带带通白噪声如果通白噪声如果N(t)的功率的功率谱谱密度集中在密度集中在为为中中36按按功功率率谱谱密密度度函函数数形形式式来来区区别别随随机机过过程程，把把除除了了白白噪噪声声以以外外的的所所有有噪噪声声都都称称为为有有色色噪噪声声，或或简简称称为为色噪声。色噪声。有色噪声按功率有色噪声按功率谱谱密度函数形式来区密度函数形式来区别别随机随机过过程，把除了白噪声以外程，把除了白噪声以外37若过程若过程Z(t)Z(t)是平稳的，复过程是平稳的，复过程Z(t)Z(t)的功率谱密度的功率谱密度 由付里叶反变换可得由付里叶反变换可得 若若复复过过程程Z Zi i(t)(t)和和Z Zk k(t)(t)联联合合平平稳稳，则则根根据据式式(4.4.16)(4.4.16)，复过程，复过程Z Zi i(t)(t)和和Z Zk k(t)(t)的互谱密度为的互谱密度为47复随机复随机过过程的功率程的功率谱谱密度密度若若过过程程Z(t)是平是平稳稳的，的，38计算功率谱的方法：计算功率谱的方法：方法方法1：先求：先求RX(),由维纳辛钦定理将由维纳辛钦定理将RX()作付氏变换即可作付氏变换即可方法方法2：直接使用：直接使用GX()的定义的定义方法方法3：利用已有的一些结果利用已有的一些结果如果如果让你求一个平你求一个平稳随机随机过程的功率程的功率谱密度，你能密度，你能想到几种方法？想到几种方法？48功率功率谱谱密度的密度的计计算算举举例例计计算功率算功率谱谱的方法：方法的方法：方法2：39例例4.84.8平稳过程平稳过程X(t)为式式中中，a,b,a,b,0 0为为常常数数，是是在在(0(0，2 2丌丌)上上均均匀匀分布的随机变量。求分布的随机变量。求X(t)X(t)的功率谱密度。的功率谱密度。解：方法解：方法1例例4.8平平稳过稳过程程X(t)为为式中，式中，a,b,0为为常数，常数，是在是在(40例例4 49 9求随机求随机调调幅脉冲序列的功率谱幅脉冲序列的功率谱 假设所有脉冲具有同样的形状，但它们的幅度是随假设所有脉冲具有同样的形状，但它们的幅度是随机变量，且各个脉冲相互独立。此外，各幅度变量有机变量，且各个脉冲相互独立。此外，各幅度变量有同样的均值同样的均值mA和方差和方差A2，脉冲重复周期是常数，脉冲重复周期是常数t1,t0是是在周期在周期1t1上均匀分布的随机变量。求得上均匀分布的随机变量。求得X(t)的功率的功率谱密度谱密度Gx()为：为：式中式中S()是基本脉冲波形是基本脉冲波形S(t)的付氏变换。的付氏变换。功率功率谱谱密度的密度的计计算例算例49求随机求随机调调幅脉冲序列的功率幅脉冲序列的功率谱谱假假41 (1)(1)Gx()由由连连续续谱谱和和离离散散谱谱组组成成，连连续续谱谱的的幅幅度度与与函数的面积均与函数的面积均与|S()|S()|2 2成正比。成正比。(2)(2)如如果果m mA A=0,=0,则则尽尽管管脉脉冲冲是是周周期期性性的的，也也将将不不出出现现离散谱。离散谱。(3)(3)如果如果A2=0=0，即为等幅脉冲串，则没有连续谱。，即为等幅脉冲串，则没有连续谱。可以得到以下结论：可以得到以下结论：随机随机调调幅脉冲序列的功率幅脉冲序列的功率谱谱(1)Gx(42例例4.10 4.10 考考虑虑一一个个二二元元通通信信系系统统，其其信信息息通通过过一一个个脉脉冲冲序序列列的的极极性性编编码码来来传传送送，其其波波形形如如图图4.184.18所所示示。这这种种二二元元信信号号的的特特点点是是：所所有有脉脉冲冲有有同同样样的的幅幅度度a a，极极性性或或正正或或负负等等概概率率发发生生，脉脉间间统统计计独独立立。求求此此二二元元信信号号X(t)X(t)的功率谱密度的功率谱密度Gx()Gx()。解解:由由 于于 等等 幅幅 且且 两两 种种 极极 性性 等等 概概 率率 发发 生生，故故 有有A A2 2=a=a2 2,m,mA A=0=0。由式由式(4.8.3)得：得：若已知若已知 则有则有 例例4.10考考虑虑一个二元通信系一个二元通信系统统，其信息通，其信息通过过一个脉冲序列的一个脉冲序列的43高阶统计量也称高阶累积量，它和高阶矩相联高阶统计量也称高阶累积量，它和高阶矩相联系。高阶累积量对高斯过程是系。高阶累积量对高斯过程是“盲盲”的，而相关的，而相关函数不是，所以采用高阶累积量可自然的消除加函数不是，所以采用高阶累积量可自然的消除加性高斯噪声的影响。性高斯噪声的影响。另外，二阶统计量丢失了随机信号重要的相位另外，二阶统计量丢失了随机信号重要的相位信息，而高阶统计量含有幅度和相位信息，这也信息，而高阶统计量含有幅度和相位信息，这也是高阶统计量一个诱人之处。是高阶统计量一个诱人之处。49随机随机过过程的高程的高阶统计阶统计量量简简介介高高阶统计阶统计量也称量也称44随机变量随机变量X的的n阶原点矩定义为阶原点矩定义为n阶中心矩定义为：阶中心矩定义为：随机变量随机变量X的的特征函数：特征函数：1、随机、随机变变量的矩及累量的矩及累积积量随机量随机变变量量X的的n阶阶原点矩定原点矩定义为义为n阶阶中心中心45随机变量随机变量X的的n阶原点矩和特征函数的关系：阶原点矩和特征函数的关系：将将特征函数特征函数取对数，定义为累量生成函数（第二取对数，定义为累量生成函数（第二特特征函数）：征函数）：定义定义为随机变量为随机变量X的的k阶累积量阶累积量随机随机变变量的矩和特征函数的关系随机量的矩和特征函数的关系随机变变量量X的的n阶阶原点矩和特征函数原点矩和特征函数46累积量的物理意义：累积量的物理意义：一阶累积量是随机变量的均值，大致描述了概一阶累积量是随机变量的均值，大致描述了概率分布的中心；二阶累积量是随机变量的方差，描率分布的中心；二阶累积量是随机变量的方差，描述了概率分布的离散程度；而三阶累积量是三阶中述了概率分布的离散程度；而三阶累积量是三阶中心矩，描述了概率分布的非对称性。四阶累积量可心矩，描述了概率分布的非对称性。四阶累积量可以描述了概率分布的峰态。以描述了概率分布的峰态。累累积积量的物理意量的物理意义义：一一阶阶累累积积量是随机量是随机变变量的均量的均值值，大，大47累累积积量的物理意量的物理意义义48三阶累积量是三阶中心矩，描述了概率分布的非对称性三阶累积量是三阶中心矩，描述了概率分布的非对称性称称为偏态系数或简称偏态为偏态系数或简称偏态正态随机变量正态随机变量g的偏态的偏态sg=0累累积积量的物理意量的物理意义义三三阶阶累累积积量是三量是三阶阶中心矩，描述了概率分布的非中心矩，描述了概率分布的非对对49四阶累积量四阶累积量设随机变量为设随机变量为0均值，则均值，则记记为峰态为峰态显然正态分布的峰态为显然正态分布的峰态为0，比正态分布曲线尖，比正态分布曲线尖锐的分布曲线有正的峰态，比正态分布曲线平坦锐的分布曲线有正的峰态，比正态分布曲线平坦的分布曲线有负的峰态。的分布曲线有负的峰态。累累积积量的物理意量的物理意义义四四阶阶累累积积量量设设随机随机变变量量为为0均均值值，则记则记50对于高斯随机变量：对于高斯随机变量：类似由多维随机变量的多维特征函数取对数可类似由多维随机变量的多维特征函数取对数可得相应的第二得相应的第二特征函数，由特征函数，由第二第二特征函数可定特征函数可定义各阶累积量：义各阶累积量：随机随机变变量的累量的累积积量量对对于高斯随机于高斯随机变变量：量：类类似由多似由多维维随机随机变变量的多量的多维维特特51对于零均值实随机变量对于零均值实随机变量X1，X2，X3，X4，其相应的，其相应的二阶、三阶，四阶累量分别定义为：二阶、三阶，四阶累量分别定义为：多多维维随机随机变变量的累量的累积积量量对对于零均于零均值实值实随机随机变变量量X1，X2，X3，X52对于零均值随机过程对于零均值随机过程X(t)，其相应的二，三、，其相应的二，三、四阶累量四阶累量分别定义为：分别定义为：随机随机过过程的累程的累积积量量对对于零均于零均值值随机随机过过程程X(t)，其相，其相应应的二，三、的二，三、53二二阶阶累累量量的的付付里里叶叶变变换换为为功功率率谱谱密密度度，三三阶阶以以上上累累量量的的付付里叶变换称为多谱密度。对于里叶变换称为多谱密度。对于K K阶累量有阶累量有显然显然K=2时为功率谱密度时为功率谱密度GX()，K=3时称时称S3,X()为双谱为双谱(Bispectrum)，S4,X()为三谱为三谱(Trispectrum)等。等。多多谱谱二二阶阶累量的付里叶累量的付里叶变换为变换为功率功率谱谱密度，三密度，三阶阶以上累量的付里叶以上累量的付里叶变变541、随机过程、随机过程X(t)的的功率谱密度函数功率谱密度函数平稳随机过程平稳随机过程X(t)的平均功率为：的平均功率为：小小结结1、随机、随机过过程程X(t)的功率的功率谱谱密度函数平密度函数平稳稳随机随机过过程程X(t)552、维纳辛钦定理、维纳辛钦定理平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成傅立叶变换对傅立叶变换对小小结结2、维纳维纳辛辛钦钦定理定理平平稳稳随机随机过过程的自相关函数与程的自相关函数与563 3、功率谱密度的性质、功率谱密度的性质G GX X()()是实、偶、是实、偶、非负的非负的函数函数有理谱密度有理谱密度 式中式中G G。00，一般必须满足，一般必须满足mnmn，此外，分，此外，分母应该无实数根母应该无实数根含有直流或周期性成分的平稳过程其功含有直流或周期性成分的平稳过程其功率谱可引入率谱可引入-函数。函数。互谱密度及其性质互谱密度及其性质小小结结3、功率、功率谱谱密度的性密度的性质质GX()是是实实、偶、非、偶、非负负的函数有理的函数有理谱谱574 4、白噪声与白序列、白噪声与白序列5 5、功率谱估值的经典法、功率谱估值的经典法周期图法、周期图法、BTBT法法小小结结4、白噪声与白序列、白噪声与白序列5、功率、功率谱谱估估值值的的经经典法周期典法周期图图法、法、BT法法581、4、5、7、12、14、16、24本章小结本章小结习习题题1、4、5、7、12、14、16、24本章小本章小结结59