九年级数学上册第二十四章《圆》课件

24.1 圆的有关性质第二十四章 圆24.1.1 圆24.1 圆的有关性质第二十四章 圆24.1.1 圆11.认识圆，理解圆的本质属性.（重点）2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.（难点）3.初步了解点与圆的位置关系.学习目标1.认识圆，理解圆的本质属性.（重点）学习目标2导入新课导入新课观察与思考观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.导入新课观察与思考观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形3骑车运动骑车运动看了此画看了此画,你有何想法你有何想法?骑车运动看了此画,你有何想法?4思考：车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形可以吗？思考：车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形可以吗？5车轮为圆形的原理分析：（下图为FLASH动画，点击）车轮为圆形的原理分析：（下图为FLASH动画，点击）6情景：一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？讲授新课讲授新课探究圆的概念一合作探究情景：一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开这样的队形7甲甲丙丙乙乙丁丁为了使游戏公平，在目标周围围成一个圆排队，因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.甲丙乙丁为了使游戏公平，在目标周围围成一个圆排队，因为圆上各8rOAu圆的旋转定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”.u有关概念固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示 问题 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？rOA圆的旋转定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端9视频：画圆实际操作演示视频：画圆实际操作演示10一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小同心圆 等圆 半径相同，圆心不同圆心相同，半径不同u确定一个圆的要素一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小同心圆 11圆可以看成圆可以看成到定点距离等于定长的到定点距离等于定长的所有点组成的所有点组成的.满足什么条件的？满足什么条件的？有间隙吗？有间隙吗？圆也可以看成是由多个点组成的到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上吗？圆可以看成到定点距离等于定长的所有点组成的.满足什么条件的？12（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 （2）到定点的距离等于定长的点都在 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合O ACErrrrrD定长r同一个圆上u圆的集合定义想一想：从画圆的过程可以看出什么呢？（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 13要点归纳圆的基本性质o同圆半径相等.要点归纳圆的基本性质o同圆半径相等.14（本页为FLASH动画，播放模式下点击）（本页为FLASH动画，播放模式下点击）15典例精析例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.ABCDO证明：四边形ABCD是矩形，AO=OC，OB=OD.又AC=BD，OA=OB=OC=OD.A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.典例精析例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.ABC16 u弦:COAB连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径 1.弦和直径都是线段.2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.注意圆的有关概念二 弦:COAB连接圆上任意两点的线段（如图中的A17OABOAB探索：探索：圆中最长的弦是什么？为什么？圆中最长的弦是什么？为什么？OABCCDCDOABCOABCDOABCD【发现发现】直径是最长的弦直径是最长的弦OABOAB探索：圆中最长的弦是什么？为什么？OABCCDC18u弧:COAB圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆劣弧与优弧 COAB半圆圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简弧以A、B为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”(小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC ;(大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC.(弧:COAB圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每19u等圆:COA能够重合的两个圆叫做等圆.CO1A容易看出：等圆是两个半径相等的圆.u等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.等圆:COA能够重合的两个圆叫做等圆.CO1A容易看出20结论：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.可见这两条弧可见这两条弧不可能不可能完全重合完全重合实际上这两条弧弯曲程度不同实际上这两条弧弯曲程度不同“等弧等弧”要区别于要区别于“长度相长度相等的弧等的弧”如图，如果AB和CD的拉直长度都是10cm，平移并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？DCAB想一想：长度相等的弧是等弧吗？结论：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.可见这两条弧不可能完全21例2 如图.(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;(2)请写出以点A为端点的弦及直径.弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是 .ABCEFDO劣弧：优弧：AF,(AD,(AC,(AE.(AFE,(AFC,(ADE,(ADC.(AF(例2 如图.弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.（3）请22要点归纳1.根据圆的定义，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”2.直径是圆中最长的弦.p附图解释：COAB连接OC,在AOC中，根据三角形三边关系有AO+OCAC,而AB=2OA,AO=OC,所以ABAC.要点归纳1.根据圆的定义，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面23例3 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，顶点B、C在直径MN上，求证：OB=OC.连OA,OD即可，同圆的半径相等.10？x2x在RtABO中，算一算：设在例3中，O的半径为10，则正方形ABCD的边长为 .例3 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在24xxxx变式：如图，在扇形MON中，半径MO=NO=10，,正方形ABCD的顶点B、C、D在半径上，顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长.解：连结OA.ABCD为正方形DC=CO设OC=x,则AB=BC=DC=OC=x又OA=OM=10在RtABO中,xxxx变式：如图，在扇形MON中，251.填空：（1）_是圆中最长的弦，它是_的2倍（2）图中有 条直径，条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条 直径半径一二四四2.一点和O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm,则这个圆的半径是 .7cm或3cm当堂练习当堂练习ABCDOFE1.填空：直径半径一二四四2.一点和O上的最近点距离为4c263.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.(1)弦是直径；(2)半圆是弧；(3)过圆心的线段是直径；(4)过圆心的直线是直径；(5)半圆是最长的弧；(6)直径是最长的弦；(7)长度相等的弧是等弧.3.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.(1)弦是直径；27 5 一根5m长的绳子，一端栓在柱子上，另一端栓着一只羊，请画出羊的活动区域 5m 5 一根5m长的绳子，一端栓在柱子上，另一端栓着一只羊28圆定 义旋 转 定 义要画一个确定的圆，关 键 是确定圆心和半径集 合 定 义同圆半径相等有关概念弦（直径）直径是圆中最 长 的 弦弧半圆是特殊的弧劣 弧半 圆优 弧同心圆等圆同圆等弧能够互相重合的两段弧课堂小结课堂小结圆定义旋转定义要画一个确定的圆，关键是集合定义同圆半径相等有2924.1 圆的有关性质第二十四章 圆24.1.2 垂直于弦的直径24.1 圆的有关性质第二十四章 圆24.1.2 垂直于301.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）学习目标1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.学习目标31你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有何发现？圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 导入新课导入新课折一折：你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？圆是轴对称32讲授新课讲授新课圆的对称轴一（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？（2）你是怎么得出结论的？圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.用折叠的方法O说一说讲授新课圆的对称轴一（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称33问题：如图,AB是 O的一条弦,直径CDAB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?为什么?线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD 理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合OABDEC垂径定理及其推论二问题：如图,AB是O的一条弦,直径CDAB,垂足为E34u垂径定理OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.CD是直径，CDAB，AE=BE,AC=BC,AD=BD.u推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.归纳总结垂径定理OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的35想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什36垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO DCABOC归纳总结垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO DCA37 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思考探索 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦38 DOABEC举例证明其中一种组合方法已知:求证：CD CD是直径是直径 CDAB CDAB，垂足为，垂足为E E AE=BE AE=BE AC=BC AD=BD AC=BC AD=BD 证明猜想 DOABEC举例证明其中一种组合方法 CD39如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CDAB吗？为什么？（2）OABCDEAC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？（2）由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.（1）连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，AOEBOE（SSS），AEO=BEO=90，CDAB.证明举例如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.OAB40思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.u垂径定理的推论OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.归纳总结思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.41例1 如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.OABE解析：连接OA，OEAB，AB=2AE=16cm.16一 垂径定理及其推论的计算三cm.典例精析例1 如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OA42例2 如图，O的弦AB8cm，直径CEAB于D，DC2cm，求半径OC的长.OABECD解：连接OA，CEAB于D，设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得解得 x=5，即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，例2 如图，O的弦AB8cm，直径CEAB于D43例3：已知：O中弦ABCD,求证：ACBD.MCDABON证明：作直径MNAB.ABCD，MNCD.则AMBM，CMDM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）AMCMBMDMACBD例3：已知：O中弦ABCD,.MCDABON证明：作44 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.归纳总结 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直45试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?垂径定理的实际应用四试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱46解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.AB=37m，CD=7.23m.解得R27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3m.=18.52+(R-7.23)2 AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R47练一练：如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_.C DCBOADOAB图a图b2cm或12cm 练一练：如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的48 在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系ABC DOhrd d+h=r OABC归纳总结 在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦49视频：垂径定理微课讲解视频：垂径定理微课讲解501.已知 O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .5cm2.O的直径AB=20cm,BAC=30则弦AC=.10 3 cm3.（分类讨论题）已知 O的半径为10cm，弦MNEF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .14cm或2cm当堂练习当堂练习1.已知O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则514.如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形DOABCE证明：证明：四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.4.如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD52 5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE.AECEBEDE 即 ACBD.ACDBOE注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法 5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB536.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.OCDEF设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得R=545.这段弯路的半径约为545m.6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧54拓展提升：如图，O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .3cmOP5cmBAOP拓展提升：3cmOP5cmBAOP55垂径定理内 容推 论辅助线一条直线满足:过圆心;垂直于弦;平分弦（不是直径）;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两 条 辅 助 线：连半径，作弦心距构造Rt利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变 式 图 形课堂小结课堂小结垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:过圆心;垂直于弦;5624.1 圆的有关性质第二十四章 圆24.1.3 24.1.3 弧、弦、圆心角24.1 圆的有关性质第二十四章 圆24.1.3 弧、弦571.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问 题.（重点）3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.（难点）学习目标1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.学习目58 熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？情境引入导入新课导入新课 熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？情59 所以圆是中心对称图形.OAB180观察：1.将圆绕圆心旋转180后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？圆心角的定义一讲授新课讲授新课 所以圆是中心对称图形.OAB180观察：1.将圆绕圆心旋602.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？O圆是旋转对称图形，具有旋转不变性圆是旋转对称图形，具有旋转不变性2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？O圆61 OB A OB A观察在O中，这些角有什么共同特点？顶点在圆心上ABO O OB A OB A观察在62OABM 1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如AOB.3.圆心角 AOB所对的弦为AB.任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角弧 2.圆心角 AOB 所对的弧为 AB.弦概念学习OABM 1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如A63判一判：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.圆内角圆外角圆周角（后面会学到）圆心角判一判：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.64u在同圆中探究在 O中，如果AOB=COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？COABD圆心角、弧、弦之间的关系二 由圆的旋转不变性，我们发现：在 O中，如果AOB=COD，那么，弦AB=弦CD归纳在同圆中探究在O中，如果AOB=COD，那么，AB与65 OAB 如图，在等圆中，如果AOBCO D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？O CDu在等圆中探究 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果AOB=COD，那么，AB=CD，弦AB=弦CD.归纳 OAB 如图，在等圆中，如果AOB66 在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等AOB=CODAB=CD AB=CDABODC要点归纳弧、弦与圆心角的关系定理 在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所67想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？不可以，如图.ABODC想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对68如果弧相等那么弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等如果弦相等那么弦所对应的圆心角相等弦所对应的优弧相等弦所对应的劣弧相等如果圆心角相等那么圆心角所对的弧相等圆心角所对的弦相等在同圆或等圆中题设结论如果弧相等那么弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等如果弦相等那么69 在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等弧、弦与圆心角关系定理的推论要点归纳 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等 在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，70关系结构图关系结构图71 抢答题1.等弦所对的弧相等.（）2.等弧所对的弦相等.（）3.圆心角相等，所对的弦相等.(）4.如图，AB 是O 的直径，BC=CD=DE ，COD=35，AOE=AOBCDE75 抢答题1.等弦所对的弧相等.72解：例1 如图，AB是 O 的直径，COD=35，求AOE 的度数AOBCDE关系定理及推论的运用三典例精析解：例1 如图，AB是O 的直径，73证明：AB=ACABC是等腰三角形.又ACB=60，ABC是等边三角形,AB=BC=CA.AOBBOCAOC.例2 如图，在 O中，AB=AC,ACB=60,求证：AOB=BOC=AOC.ABCO 温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.AB=CD，证明：AB=ACABC是等腰三角形.又ACB=74 填一填：如图，AB、CD是 O的两条弦（1）如果AB=CD，那么_，_（2）如果 ，那么_，_（3）如果AOB=COD，那么_，_CABDEFOAB=CDAB=CDAB=CD(AOB=CODAOB=CODAB=CD(AB=CD(填一填：如图，AB、CD是O的两条弦CABDEFO75（4）如果AB=CD，OEAB于E，OFCD于F，OE与OF相等吗？为什么？CABDEFO解：OE=OF.理由如下：（4）如果AB=CD，OEAB于E，OFCD于F，OE与761如果两个圆心角相等，那么 （）A这两个圆心角所对的弦相等B这两个圆心角所对的弧相等C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D以上说法都不对2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 .D60 当堂练习当堂练习3.在同圆中，圆心角AOB=2COD,则AB与CD的关系是（）AA.AB=2CD B.ABCD C.ABCD,即CD2AB.ABCDEO能力提升：答：CD=2AB成立，CD=2AB不79圆心角圆心角相等弧相等弦相等弦、弧、圆心角的 关 系 定 理在同圆或等圆中概念：顶点在圆心的角应用提醒要注意前提条件；要灵活转化.课堂小结课堂小结圆心角圆心角弧弦弦、弧、圆心角的关系定理在同圆或等圆中概念：8024.1 圆的有关性质第二十四章 圆24.1.4 圆周角24.1 圆的有关性质第二十四章 圆24.1.4 圆周81学习目标1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.（重点、难点）3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.（难点）学习目标1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.82 问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？顶点在圆心的角叫圆心角,BOC.导入新课导入新课问题2 如图，BAC的顶点和边有哪些特点?A BAC的顶点在O上，角的两边分别交O于B、C两点.复习引入 问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？顶点在圆心的83CAEDB思考：图中过球门A、C两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B、D、E有关（张开的角度大小）、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？CAEDB思考：图中过球门A、C两点画圆，球员射中球门的难84顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.（两个条件必须同时具备，缺一不可）讲授新课讲授新课圆周角的定义一顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.（两个条件必须85COABCOBCOBAACOABCOBCOBAA判一判：下列各图中的BAC是否为圆周角并简述理由.（2）（1）（3）（5）（6）顶点不在圆上顶点不在圆上边AC没有和圆相交COABCOBCOBAACOABCOBCOBAA86如图，连接BO,CO,得圆心角BOC.试猜想BAC与BOC存在怎样的数量关系.圆周角定理及其推论二测量与猜测如图，连接BO,CO,得圆心角BOC.试猜想BAC与B87圆心O O 在BACBAC的 内部圆心O在BAC的一边上圆心O在BAC的外部推导与论证圆心O 在BAC的 内部圆心O在BAC的一边上圆心O在88n圆心O在BAC的一边上（特殊情形）OA=OCA=CBOC=A+C圆心O在BAC的一边上（特殊情形）OA=OCA=C89OABDOACDOABCDn圆心O在BAC的内部OACDOABDOABDOACDOABCD圆心O在BAC的内部OACDOA90OABDCOADCOABDCOADOABDCOADOABDn圆心O在BAC的外部OABDCOADCOABDCOADOABDCOADOABD圆91u圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半；圆周角定理要点归纳圆周角定理：圆周角定理要点归纳92问题1 如图，OB，OC都是O的半径，点A,D 是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.BAC与BDC相等吗？请说明理由.D互动探究BAC=BDC相等问题1 如图，OB，OC都是O的半径，点A,D 是上任93DABOCEF问题2 如图，若 A与B相等吗？相等想一想：(1)反过来，若A=B，那么 成立吗？(2)若CD是直径，你能求出A的度数吗？DABOCEF问题2 如图，若 94圆周角定理的推论同弧或等弧所对的圆周角相等.知识要点A1A2A3圆周角定理的推论同弧或等弧所对的圆周角相等.知识要点A1A295 试一试：1.如图，点A、B、C、D在O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，BAC=35.(1)BOC=，理由是 ;(2)BDC=，理由是 .7035同弧所对的圆周角相等一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 试一试：(1)BOC=，理由7035同96(1)完成下列填空：1=.2=.3=.5=.2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.4867ABCDO1(2345678(1)完成下列填空：2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，97想一想如图，线段AB是O的直径，点C是 O上的任意一点（除点A、B外），那么，ABC就是直径AB所对的圆周角，想一想，ACB会是怎样的角？OACB解：OA=OB=OC，AOC、BOC都是等腰三角形.OAC=OCA，OBC=OCB.又 OAC+OBC+ACB=180.ACB=OCA+OCB=1802=90.想一想如图，线段AB是O的直径，点C是 O上的任意一点（98圆周角和直径的关系u圆周角和直径的关系：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90.知识要点圆周角和直径的关系圆周角和直径的关系：知识要点99典例精析例1 如图，AB是O的直径，A=80.求ABC的大小.OCAB解：AB是O的直径，ACB=90（直径所对的圆周角等于90.）ABC=180-A-ACB =180-90-80=10.典例精析例1 如图，AB是O的直径，A=80.求AB100例2 如图，分别求出图中x的大小.60 x3020 x解：(1)同弧所对圆周角相等，x=60.ADBEC(2)连接BF，F同弧所对圆周角相等，ABF=D=20，FBC=E=30.x=ABF+FBC=50.例2 如图，分别求出图中x的大小.60 x3020 x解101 例3：如图，O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；（2）若ADC的平分线交 O于B,求AB、BC的长B解：(1)AC是直径，ADC=90.在RtADC中，中，例3：如图，O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.（2102在RtABC中，AB2+BC2=AC2，(2)AC是直径,ABC=90.BD平分ADC,ADB=CDB.又ACB=ADB,BAC=BDC.BAC=ACB,AB=BC.B 解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.归纳在RtABC中，AB2+BC2=AC2，(2)AC是直103如图，BD是O的直径，CBD30，则A的度数为()A30 B45 C60 D75解析：BD是O的直径，BCD90.CBD30，D60，AD60.故选C.方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题练一练C如图，BD是O的直径，CBD30，则A的度数为(104例4 如图,AB是O的直径,弦CD交AB于点P,ACD=60,ADC=70.求APC的度数.OADCPB解:连接BC,则ACB=90,DCBACBACD9060=30.又BAD=DCB=30,APC=BADADC3070100.例4 如图,AB是O的直径,弦CD交AB于点P,.OA105 如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形三 如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做106 如图，四边形ABCD为 O的内接四边形，O为四边形ABCD的外接圆.u探究性质猜想：A与C,B与D之间的关系为：A+C=180，B+D=180想一想：如何证明你的猜想呢？如图，四边形ABCD为O的内接四边形，O为四边形107 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，AC180，同理BD180，证明猜想归纳总结推论：圆的内接四边形的对角互补.弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，AC108CODBA 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，AC180，同理BD180，E延长BC到点E，有BCDDCE180.ADCE.想一想图中A与DCE的大小有何关系？CODBA 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，109归纳总结推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.CODBAE归纳总结推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.1101四边形ABCD是 O的内接四边形，且A=110，B=80，则C=，D=.2 O的内接四边形ABCD中，ABC=1 2 3，则D=.7010090练一练1四边形ABCD是O的内接四边形，且A=110，B111例5：如图，AB为O的直径，CFAB于E，交O于D，AF交O于G.求证：FGDADC.证明：四边形ACDG内接于O，FGDACD.又AB为O的直径，CFAB于E，AB垂直平分CD，ACAD，ADCACD，FGDADC.方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据例5：如图，AB为O的直径，CFAB于E，交O于D，A112如图，在O的内接四边形ABCD中，BOD120，那么BCD是()A120 B100C80 D60解析：BOD120，A60，C18060120，故选A.练一练A如图，在O的内接四边形ABCD中，BOD120，那么113解：设A，B，C的度数分别对于2x，3x，6x，例6 在圆内接四边形ABCD中，A，B，C的度数之比是236.求这个四边形各角的度数.四边形ABCD内接于圆，A+C=B+D=180，2x+6x=180，x=22.5.A=45，B=67.5，C=135，D=180-67.5=112.5.解：设A，B，C的度数分别对于2x，3x，6x，例6 1141.判断（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （）（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （）（3）同弦所对的圆周角相等（）当堂训练当堂训练1.判断当堂训练1152.已知ABC的三个顶点在 O上,BAC=50,ABC=47,则AOB=BACO1662.已知ABC的三个顶点在O上,BAC=50,BAC1163.如图，已知BD是O的直径，O的弦ACBD于点E，若AOD=60，则DBC的度数为（）A.30 B.40 C.50 D.60A【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.3.如图，已知BD是O的直径，O的弦ACBD于点E，若117ABCDO4.如图，四边形ABCD内接于O,如果BOD=130,则BCD的度数是（）A 115 B 130 C 65 D 505.如图，等边三角形ABC内接于O，P是AB上的一点，则APB=.ABCPC120ABCDO4.如图，四边形ABCD内接于O,如果BOD=1186.如图，已知圆心角AOB=100,则圆周角ACB=，ADB=.DAOCB130507.如图，ABC的顶点A、B、C都在 O上，C30，AB2，则 O的半径是 .CABO解：连接OA、OBC=30 ，AOB=60 又OA=OB，AOB是等边三角形OA=OB=AB=2，即半径为2.26.如图，已知圆心角AOB=100,则圆周角DAOCB1119AOBCACB=2BAC证明：8.如图，OA，OB，OC都是O的半径，AOB=2BOC.求证：ACB=2BAC.AOB=2BOC，AOBCACB=2BAC证明：8.如图，OA，OB，1209.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，与“危险角”有怎样的大小关系？解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即O外），与两个灯塔的夹角小于“危险角”.9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图121拓展提升：如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?(2)求证：.ABCDEAB是圆的直径，点D在圆上，ADB=90，ADBC，AB=AC，BD=CD.AD平分顶角BAC，即BAD=CAD，（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）.解:BD=CD.理由是:连接AD,拓展提升：如图，在ABC中，AB=AC,ABCDEAB是122圆心角类比圆周角圆周角定义圆周角定理圆周角定理的推论课堂小结课堂小结在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.1.90的圆周角所对的弦是直径；2.圆内接四边形的对角互补.1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）圆周角与直线的关系半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90（直角）.圆心角类比圆周角圆周角定义圆周角定理圆周角定理的推论课堂小结12324.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系第二十四章 圆24.2 点和圆、直线和圆24.2.1 点和圆的位置关系第1241.理解并掌握点和圆的三种位置关系.（重点）2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.（重点）3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.4.了解反证法的证明思想.学习目标1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.（重点）学习目标125导入新课导入新课 你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上不同位置的成绩是如何计算的吗？情境引入想一想导入新课 你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，你知126问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？.o o.C.B.A.点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.点和圆的位置关系一问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？.o.C.127问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？点P在O内 点P在O上 点P在O外 d d drPdPrd Prdr r=r反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三1281.O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与 O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 .练一练：圆内圆上圆外2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP=，则点P在（）A.大圆内 B.小圆内 C.小圆外 D.大圆内，小圆外oD1.O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8129要点归纳点和圆的位置关系rPdPrd PrdRrP点点P在在 O内内 dr 点点P在在圆环圆环内内 rdR 数形结合：数形结合：位置关系位置关系数量关系数量关系要点归纳点和圆的位置关系rPdPrd PrdRrP点P在O130例1：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.（1）以A为圆心，4为半径作A，则点B、C、D与A的位置关系如何？解：AD=4=r，故D点在A上 AB=3r，故C点在A外例1：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.（1）以131（2）若以A点为圆心作A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求A的半径r的取值范围？（直接写出答案）3r60,B60,C60A+B+C180三角形的内角和为180度ABC中至少有一个内角小于或等于60.A+B+C60+60+60=180例4 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60.1511.如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?ABCO当堂练习当堂练习1.如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?ABCO152 2.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作 A，则点B在 A ；点C在 A ；点D在 A .上外上3.O的半径r为5，O为原点，点P的坐标为（3,4），），则点P与 O的位置关系为（）A.在 O内 B.在 O上 C.在 O外 D.在 O上或 O外 B 2.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径153 4.判断：（1）经过三点一定可以作圆 （）（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点 （）（3）三角形的外心到三边的距离相等 （）（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内 （）4.判断：1545.已知：在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径=.56.如图，ABC内接于O，若OAB20，则C的度数是_705.已知：在RtABC中，C=90，AC=6，BC=81557.如图，在55正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）MRQABCPA点P B点Q C点R D点MB7.如图，在55正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，1568.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A第块 B第块 C第块 D第块D8.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为15712cm3cm9.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.O12cm3cm9.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm15810.如图，已知 RtABC 中，若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径.CBAO解：设RtABC 的外接圆的外心为O，连接OC，则OA=OB=OC.O是斜边AB 的中点.C=900，AC=12cm，BC=5cm.AB=13cm，OA=6.5cm.故RtABC 的外接圆半径为6.5cm.10.如图，已知 RtABC 中，CBAO解：设RtA159能力拓展：一个812米的长方形草地，现要安装自动喷水装置,这种装置喷水的半径为5米,你准备安装几个?怎样安装?请说明理由.能力拓展：一个812米的长方形草地，现要安装自动喷水装置,160点与圆的位置关系点 在 圆 外点 在 圆 上点 在 圆 内d rd=rdrd=rdr位16124.2.2 直线和圆的位置关系第1课时 直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系第1课时 直线和圆的位置关1621.了解直线和圆的位置关系.2.了解直线与圆的不同位置关系时的有关概念.3.理解直线和圆的三种位置关系时圆心到直线的距离d和圆 的半径r之间的数量关系.(重点）4.会运用直线和圆的三种位置关系的性质与判定进行有关计 算.(难点）学习目标1.了解直线和圆的位置关系.学习目标163点和圆的位置关系有几种？dr用数量关系如何来判断呢？点在圆内P点在圆上P点在圆外P(令令OP=d)导入新课导入新课知识准备点和圆的位置关系有几种？dr用数量关系如何来164问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？讲授新课讲授新课用定义判断直线与圆的位置关系一问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你165问题2 请同学在纸上画一条直线l，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？l02问题2 请同学在纸上画一条直线l，把硬币的边缘看作圆，在纸166九年级数学上册第二十四章圆课件167直线与圆的位置关系 图形 公共点个数 公共点名称 直线名称2个交点1个切点切线0个相离相切相交位置关系公共点个数填一填：直线与圆的 168 直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）.AlO要点归纳 直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线1691.直线与圆最多有两个公共点.2.若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上.3.若A是 O上一点，则直线AB与 O相切.4.若C为 O外一点，则过点C的直线与 O相交或相离.5.直线a 和 O有公共点，则直线a与 O相交.判一判：1.直线与圆最多有两个公共点.判一判：170问题1 同学们用直尺在圆上移动的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？相关知识：点到直线的距离是指从直线外一点（A)到直线(l)的垂线段(OA)的长度.lAO用数量关系判断直线与圆的位置关系二问题1 同学们用直尺在圆上移动的过程中，除了发现公共点的个数171问题2 怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？Od问题2 怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置172合作探究直线和圆相交d rrdrdrd数形结合：数形结合：位置关系位置关系数量关系数量关系（用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分）ooo公共点公共点个数个数要点归纳合作探究直线和圆相交d 5cmd=5cm0cmd r,因此 C和AB相离.BCA43Dd记住：斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边.解：过C作CDAB，垂足为D.在ABC中，AB=5.根据176（2）当r=2.4cm时,有d=r.因此 C和AB相切.BCA43Dd（3）当r=3cm时，有dr，因此，C和AB相交.BCA43Dd（2）当r=2.4cm时,有d=r.因此C和AB相切.BC177ABCAD453 变式题变式题:1.RtABC,C=90AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与直线AB没有公共点？当0cmr2.4cm或r4cm时,C与线段AB没有公共点.ABCAD453 变式题:当0cmr2.4cm或r1782.RtABC,C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与线段AB有一个公共点？当半径r为何值时，圆C与线段AB有两个公共点？ABCAD453当r=2.4cm或3cmr4cm时,C与线段AB有一个公共点.当2.4cmr3cm 时,C与线段AB有两公共点.2.RtABC,C=90，AC=3cm，BC=4cm，以179例2 如图，RtABC的斜边AB=10cm,A=30.(1)以点C为圆心，当半径为多少时，AB与C相切？(2)以点C为圆心，半径r分别为4cm,5cm作两个圆，这两个圆与斜边AB分别有怎样的位置关系？ACB解：(1)过点C作边AB上的高CD.DA=30，AB=10cm,在RtBCD中，有当半径为 时，AB与C相切.例2 如图，RtABC的斜边AB=10cm,A=30180当堂练习当堂练习.O.O.O.O.O1.看图判断直线l与O的位置关系？(1)(2)(3)(4)(5)相离 相交 相切 相交?注意：直线是可以无限延伸的 相交当堂练习.O.O.O.O.O1.看图判断直线l与O的位置1812直线和圆相交，圆的半径为r,且圆心到直线的距离为5，则有（）A.r 5 C.r=5 D.r 53.O的最大弦长为8，若圆心O到直线l的距离为d=5，则直线l与O .4.O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与O的位置关系是（）A.相交或相切 B.相交或相离 C.相切或相离 D.上三种情况都有可能B相离A2直线和圆相交，圆的半径为r,且圆心到直线的距离为5，则有182解析：过点A作AQMN于Q，连接AN，设半径为r，由垂径定理有MQNQ，所以AQ2，ANr，NQ4r，利用勾股定理可以求出NQ1.5，所以N点坐标为(1，2)故选A.5.如图，在平面直角坐标系中，A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交A于M、N两点若点M的坐标是(4，2)，则点N的坐标为()A(1，2)B(1，2)C(1.5，2)D(1.5，2)A解析：过点A作AQMN于Q，连接AN，设半径为r，由垂径定183拓展提升：已知O的半径r=7cm,直线l1/l2,且l1与O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.ol1l2ABCl2解：（1）l2与l1在圆的同一侧：m=9-7=2 cm（2）l2与l1在圆的两侧：m=9+7=16 cm拓展提升：已知O的半径r=7cm,直线l1/l2,且184课堂小结课堂小结直线与圆的位置关系定义性质判定相离相切相交公共点的个数d与r的数量关系定 义 法性 质 法特别提醒：在图中没有d要先做出该垂线段相离:0个相 切：1个相 交：2个相 离:dr相 切:d=r相 交:d r：相 离d=r:相切d r：相 交课堂小结直线与圆的位置关系定义性质判定相离相切相交公共点的个18524.2 直线和圆的位置关系第2课时 切线的判定与性质24.2 直线和圆的位置关系第2课时 切线的判定与性质186学习目标1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点）3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.（难点）学习目标1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的187导入新课导入新课情境引入转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？都是沿切线方向飞出的.生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.导入新课情境引入转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花188ABC问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？观察：（1）圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?（2）二者位置有什么关系？为什么？切线的判定定理一O讲授新课讲授新课ABC问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作189经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OA为为 O的半径BCBC OA于ABCBC为为 O的切线ABC 切线的判定定理应用格式O要点归纳经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OA为O190判一判：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？O.AO.ABAO(1)(2)(3)(1)不是，因为没有垂直.(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.注意判一判：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？O191判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.lAlOlrd要点归纳判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只192例1：如图,ABC=45，直线AB是O上的直径，点A,且AB=AC.求证：AC是O的切线.解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.证明：AB=AC，ABC45，ACBABC45.BAC=180-ABC-ACB=90.AB是O的直径，AC是O的切线.AOCB例1：如图,ABC=45，直线AB是O上的直径，点A,193例2 已知：直线AB经过 O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是 O的切线.O OB BA AC C分析：由于AB过 O上的点C，所以连接OC，只要证明ABOC即可.证明：连接OC(如图).OAOB,CACB,OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.ABOC.OC是O的半径,AB是O的切线.例2 已知：直线AB经过O上的点C，并且OA=OB，CA=194 例3 如图,ABC 中，AB AC，O 是BC的中点，O 与AB 相切于E.求证：AC 是O 的切线BOCEA分析：根据切线的判定定理，要证明AC是O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是O的半径就可以了，而OE是O的半径，因此只需要证明O