奇妙的再植数

奇妙的再植数在自然数里,会有好多巧妙的数字规律 ,让人感到奇异有趣.如1428574=571428 ,769233=230769,式子中呈现了这样一种规律:一个数的倍数仍然是这个数字的循环排列,我们从中欣赏到一种秩序对称的美妙。如果给这类数下一个定义,即就是一个自然数A乘以一个自然数K ,其积是A的各位数字的循环排列 ,那么称A是关于K的再植数。再植数的概念早在80年代的一本?数学通讯?月刊中就被提了出来。现在 ,我们要对再植数的范围、性质 ,作进一步的探讨 ,目的是希望大家对这类趣味数学有一个系统的了解。怎样的一个数会成为我们探讨的再植数 ,这是我们首先关心的问题 ,由于再植数乘以一个数会成为这个数字的循环数 ,因此再植数与循环小数有着密切关系。我们知道： , , , , , ,我们看到 ,分别乘以2 ,3 ,4 ,5 ,6以后获得的数的组成同完全一样 ,只是次序有了变化。如果我们把142857写在圆周上 ,我们看到=1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6恰好是142857的循环变化。但不是所有的循环小数的循环节都是我们找的再植数 ,如 ,123并不是再植数。为此我们考察一些质数的倒数： , , ,。=1 ,3 ,4 ,9 ,10 ,12是的循环变化 ,=2 ,5 ,6 ,7 ,8 ,11是153846的循环变化。而=1 ,2 ,17是17647的循环变化。从中可见 ,循环小数的循环节长度与再植数密切相关。的循环节为1 ,为6 ,为2 ,为6 ,为16。当一个质数的倒数的循环节大于2时 ,其循环节与再值数相关.由以上探讨 ,我们可以得到以下再植数 ,(1)142857k ,k=1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6；(2)153846k ,k=1 ,3 ,4；(3)076923k,(k=1,3,4,9,10,12)；(4)17647k,(k=1,2,3,16)；(5)0526321k,(k=1,2,3,4,18)；(6)95652173913k ,k=1 ,2 ,322;(7)275862k,(k=1,2,3,28)；832258064516129k,(k=1,2,4,5,7,8,10,14,16,18,19,20,25,28);96774193548387k,(k=2,3,4,5,7,8,9,10)9027k,(k=1,10,26);1002439k,(k=10,16,18,37);04878k,(k=10,16,18);0731710。这些再植数 ,是我们考察7至41内的10个字数的倒数得到的 ,如果继续探讨下去 ,可发现再植数有无穷多个。再植数有许多奇妙的性质：1、与9的联系：1428577=999999 ,142+857=999 ,14+28+57=99 ,1+4+2+8+5+7=27 ,而2+7=9。这种特点对于142857的倍数也成立 ,例如142857285=40714245 ,245+714+40=999。2、待合再值数 ,把再值数1428577以上的数字时 ,也会出现一些有趣的现象。例如 ,8142857=1142856 ,首尾相加后得142857 ,9142857=1285713 ,首尾相加后得285714 ,13142857=1857141 ,首尾相加后得857142。14142857=2019998 ,首尾相加后得999999。我们把上述现象称为待合再植数 ,待合再植数可归纳如下：结论1：对于自然数m ,假设mimod7i=1,2,3,4,5,6。那么m142857的积的首几位数取下来加到末尾的几个位数上去。结果为142857i。证明：因mi(mod7),那么m=7k+i,142857m=142857(7k+i),=(1428577)k+142857i=999999k+142857i=k+142857i-k显然式中结果的首几位数为k ,末几位数为142857i个位数减去k ,将首位数k取下来加到末尾的几位上去 ,结果为142857i。结论1中 ,当k10时 ,例如71142857=10142847 ,我们首两位数取下来加在末两位数时 ,有142847+10=142857 ,可称为两位待合再植数 ,当k100时 ,如702142857=100285614 ,首三位加末三位后得285714。可称为三位待合再植数。当k时 ,称为n+1位待合再植数。当n+1=6时 ,我们举以下例子：700001142857=999999142857999999+142857=11428576。1428576+1=142857。显然 ,在n+16时 ,我们需要通过首尾两次以上的相合才能复原成再值数。3、再值数的平方数。我们来考察以下再植数的平方数。1428572=20408122449 ,但20408+122449=142857。5714282=326529959184 ,但326529+959184=1285713 ,285713+1=285714 ,4285712=1 ,但183673+102041=285714 ,8571422=734692408164 ,有734692+408164=1142856 ,但142856+1=142857。可见再植数的平方数 ,表现出一种很奇妙的特征 ,前6位与后6位的和 ,又可以重新变成了再植数。现在我们索性来考察一下再植数的立方和四次幂 ,1428573=2915443148696793；2915+443148+696793=1142856；而142856+1=142857；1428574=416491461 ,893377 ,575601 ,而416+491461+893377+575601=2142855 ,而142855+2=142857 ,可以预见 ,再植数的各次幂 ,按6位6位相加 ,最后结果可得再植数。4、再植数与数列 ,数列1 ,3 ,9 ,27 ,81 ,243 ,729 ,2187 ,是公比为3的等比数列 ,下面我们进行一种限位叠加法 ,表示如下：1105+3104+9103+27102+81101+243100+72910-1+218710-2+656110-3+1968310-4+5904910-5+17714710-6+ ,其结果的整数局部是142857 ,我们称这种运算为限位叠加法。我们还可用等差数列14 ,28 ,56 ,112 ,224 ,限两位叠加 ,也可获得再植数142857。以上性质对于其它一些再植数事来说大体上也都是成立的 ,成立的条件是再植数是一个质数的倒数 ,且的循环节的长度h到达最大值 ,这个最大周期为p-1 ,符合这个条件的质量有7 ,17 ,19 ,23 ,29 ,47 ,59 ,61 ,97 ,109 ,113 ,131等 ,按照国外数学研究者商克斯Danillshanks的估计 ,质数中大约只有符合这个条件。此外 ,他还证明 ,循环周期数为偶数的质数恰好比周期数为奇数的质数多一倍。宋以后 ,京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习。到清末 ,学堂兴起 ,各科教师仍沿用“教习一称。其实“教谕在明清时还有学官一意 ,即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者那么谓“教授和“学正。“教授“学正和“教谕的副手一律称“训导。于民间 ,特别是汉代以后 ,对于在“校或“学中传授经学者也称为“经师。在一些特定的讲学场合 ,比方书院、皇室 ,也称教师为“院长、西席、讲席等。5 / 5