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复习总结性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零则此行列式为零.性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和.性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值复习总结性质1 行列式与它的转置行列式相等.性质2 互换1复习总结定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其与其对应的代数余子式对应的代数余子式乘积之和，即乘积之和，即行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则(Laplace 定理定理)性质性质 奇数阶反对称行列式等于零奇数阶反对称行列式等于零性质性质 范德蒙行列式的结构特点和结果范德蒙行列式的结构特点和结果复习总结定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的2复习总结例例矩阵的逆矩阵的逆复习总结例矩阵的逆3复习总结性质性质复习总结性质4矩阵的初等变换矩阵的初等变换5矩阵的初等变换矩阵的初等变换6矩阵的初等变换矩阵的初等变换7矩阵的初等变换 定理定理 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一施行一次初等行变换，相当于在次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于施行一次初等列变换，相当于在在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵.矩阵的初等变换 定理 设 是一个 矩阵，对8矩阵的初等变换性质：矩阵的初等变换性质：9复习总结性质：经过同样的行初等变换，从而，用矩阵乘法表示求矩阵逆的方法求矩阵的初等分解方法复习总结性质：经过同样的行初等变换，从而，用矩阵乘法表示求矩10Gauss 消去法消去法定理线性方程组有解自由未知量个数为Gauss 消去法定理线性方程组有解自由未知量个数为11Gauss 消去法消去法推论 若推论 若Gauss 消去法推论 若推论 若12向量的线性相关性定义定义则称向量组则称向量组 是是线性相关线性相关的，否则称它线性无关的，否则称它线性无关(1)只有只有 时时,（1）式成立）式成立线性无关的等价说法：线性无关的等价说法：或者（1）式成立时，必有）式成立时，必有向量的线性相关性定义则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无13向量的线性相关性例 含有零向量的向量组必线性相关.性质 若向量组的一个部分组线性相关，则整个向量组也线性相关性质 若向量组线性无关，则其任意部分组也线性无关例 一个零向量形成的向量组是线性相关的，一个非零向量 是线性无关的.向量的线性相关性例 含有零向量的向量组必线性相关.性质 14向量的线性相关性根据定义，列出齐次线性方程组，由解的情况进行判断:有唯一零解 线性无关；有非零解 线性相关；推论 个 维向量线性相关线性无关推论 个 维向量必线性相关推论 设 维向量组，若则 线性相关向量的线性相关性根据定义，列出齐次线性方程组，由解的情况进行15向量的线性相关性向量的线性相关性16向量组的秩满足如下条件：（I）向量组（2）线性无关；（II）向量组（1）中每个向量都可由向量组（2）线性表示.(即再添加任何一个向量都线性相关)则称向量组（2）为（1）的一个极大线性无关组.定义定义 一个向量组中，它的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩.推论推论 两个等价的向量组有相同的秩.向量组的秩满足如下条件：17向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系：定义定义 矩阵 的行向量组的秩称为 的行秩；的列向量组的秩称为 的列秩.向量组的秩与矩阵的秩互相转化向量组与矩阵互相转化向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系：定义 矩阵 18向量组的秩上述定理还提供了求向量组的秩的方法：（1）将所给向量组中的各个向量作为矩阵的行向量（或列向量）得到矩阵 ；（2）将矩阵 施行初等变换化为如（7）形式的的矩阵.（3）观察（7）知 ，则 即为所求向量组的秩.性质 初等行（列）变换不改变矩阵的行秩，列秩以及矩阵的秩向量组的秩上述定理还提供了求向量组的秩的方法：（1）将所给向19向量组的秩定理定理 矩阵 经初等行变换得矩阵 ，则 与 的行向量组等价,且 与 的列向量组具有相同的线性相关性.所以线性组合系数也相同的矩阵的初等变换：线性表示，线性相关性，求矩阵、向量组的秩，求极大无关组，求线性表示系数，求线性方程组的解等等向量组的秩定理 矩阵 经初等行变换得矩阵 ，20向量组的秩推论推论3 给定则向量组的秩推论3 给定则21子空间定义 为一个向量空间，向量 满足（1）线性无关；（2）中任意一个向量都可由向量组线性表出.则向量组 称为向量空间 的一个基，称为向量空间 的维数，也称 为 维向量空间.基的实质：向量组 的一个极大无关组子空间定义 为一个向量空间，向量 22线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构23线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构24线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构25线性方程组解的结构线性方程组解的结构通解的向量表示形式线性方程组解的结构通解的向量表示形式26线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构27线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构28线性方程组解的结构线性方程组解的结构通解的向量形式线性方程组解的结构通解的向量形式29线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构30线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构31线性方程组解的结构线性方程组解的结构(1)写出系数矩阵及其增广矩阵；求解过程：(2)初等行变换化增广矩阵为简化的阶梯型矩阵(4)写出对应的齐次导出组的基础解系;(3)写出原来的非齐次组的一个特解；(5)写出原来的非齐次组的一个通解。线性方程组解的结构(1)写出系数矩阵及其增广矩阵；求解过程32复习总结第五章 特征值特征向量矩阵特征值，特征向量的定义及实质矩阵相似的定义及相关性质相关性质相似对角化的条件，实对称矩阵特征值、特征向量的性质(3条)特征值，特征向量的具体求法实对称矩阵的正交相似对角化特征值的性质，与行列式、迹之间的关系复习总结第五章 特征值特征向量矩阵特征值，特征33复习总结第六章 二次型二次型定义，其与矩阵元素之间的关系矩阵的合同关系，二次型的标准型，规范型复、实对称矩阵的合同（对角化）条件，正定矩阵的性质与判定定理：四条复习总结第六章 二次型二次型定义，其与矩阵元素34二次型的规范形定理定理 复数域上任意一个二次型都可以经可逆线性替换转化成唯一的规范形，即定理定理 任意一个复对称矩阵都合同于一个形式为亦即推论推论 复对称矩阵彼此合同的充要条件是它们的秩相同二次型的规范形定理 复数域上任意一个二次型都可以经可逆线性35二次型的规范形定理定理 实数域上任意一个二次型都可经可逆替换转化成唯一的规范形。定义定义 二次型的规范形中，正平方项的个数 称之为二次型的正惯性指数；负平方项的个数 称之为二次型的负惯性指数，他们的差 称之为符号差当然，正负惯性指数之和等于矩阵的秩或者二次型的秩。推论推论 实对称矩阵彼此合同等价于它们的正负惯性指数是相同的二次型的规范形定理 实数域上任意一个二次型都可经可逆替换转36常用解题思路常用解题思路利用向量空间 的思想4.条件要求确定参数的取值，考虑是否有某行列式为零等等反之，向量组的求秩等运算也经常转化为矩阵之间的乘积运算常用解题思路利用向量空间 37线性代数的常用解题思路线性代数的常用解题思路线性代数的常用解题思路38例例1.1.设设且且满足满足证明：证明：分析：分析：如果将矩阵如果将矩阵看作列向量组，看作列向量组，即即那么它的每一列那么它的每一列都是线性方程组都是线性方程组的解的解.则则例1.设且满足证明：分析：如果将矩阵看作列向量组，即那么它的39证：证：将矩阵将矩阵按列分块按列分块由由可知可知由此得到由此得到基础解系含有基础解系含有 个向量，所以个向量，所以即即证：将矩阵按列分块由可知由此得到基础解系含有 40例例2.2.分析：分析：利用例利用例1的结果：的结果：再利用再利用证：证：例2.分析：利用例1的结果：再利用证：41又因为又因为所以有：所以有：即即综上所述，综上所述，又因为所以有：即综上所述，42
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