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导数及其应用导数及其应用要点梳理要点梳理1.1.函数函数y y=f f(x x)从从x x1 1到到x x2 2的平均变化率的平均变化率 函数函数y y=f f(x x)从从x x1 1到到x x2 2的平均变化率为的平均变化率为 ，若若x x=x x2 2-x x1 1,y y=f f（x x2 2）-f f（x x1 1），则平均变化率），则平均变化率可表示为可表示为 .导数及其应用要点梳理12.2.函数函数y y=f f（x x）在）在x x=x x0 0处的导数处的导数 （1 1）定义）定义 称函数称函数y y=f f（x x）在）在x x=x x0 0处的瞬时变化率处的瞬时变化率 =为函数为函数y y=f f（x x）在）在x x=x x0 0处的导数，记作处的导数，记作f f（x x0 0）或）或y y|x x=x x0 0，即即f f(x x0 0)=)=.（2 2）几何意义）几何意义 函数函数f f(x x)在点在点x x0 0处的导数处的导数f f(x x0 0)的几何意义是在曲的几何意义是在曲线线y y=f f（x x）上点）上点 处的处的 .相应相应地，切线方程为地，切线方程为 .(x x0 0,f f(x x0 0)切线的斜率切线的斜率y y-y y0 0=f f(x x0 0)()(x x-x x0 0)2.函数y=f（x）在x=x0处的导数(x0,f(x0)切23.3.函数函数f f(x x)的导函数的导函数 称函数称函数f f(x x)=)=为为f f（x x）的导函）的导函 数，导函数有时也记作数，导函数有时也记作y y.4.4.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 cos cos x x0 0-sin-sin x xa ax xln ln a a(a a0)0)nxnxn n-1-13.函数f(x)的导函数cos x0-sin xaxln a3e ex x5.5.导数运算法则导数运算法则 （1 1）f f（x x）g g(x x)=;(2)(2)f f(x x)g g(x x)=;(3)=(3)=(g g(x x)0).)0).6.6.复合函数的导数复合函数的导数 复合函数复合函数y y=f f(g g(x x)的导数和函数的导数和函数y y=f f(u u),),u u=g g(x x)的的 导数间的关系为导数间的关系为y y =，即，即y y对对x x的的 导数等于导数等于 的导数与的导数与 的导数的乘积的导数的乘积.(a a0,0,且且a a1)1)f f(x x)g g(x x)f f(x x)g g(x x)+)+f f(x x)g g(x x)y yu uy y对对u uu u对对x xx xu ux xex5.导数运算法则(a0,且a1)f(x)g(x4要点梳理要点梳理1.1.函数的单调性函数的单调性 在在（a,ba,b)内内可可导导函函数数f f(x x),f,f(x x)在在(a,ba,b)任任意意子子区区间内都不恒等于间内都不恒等于0 0.f f(x x)0 0f f(x x)为为 ；f f(x x)0 0f f(x x)为为 .3.2 3.2 导数的应用导数的应用增函数增函数减函数减函数要点梳理3.2 导数的应用增函数减函数52.2.函数的极值函数的极值 （1 1）判断）判断f f(x x0 0)是极值的方法是极值的方法 一般地，当函数一般地，当函数f f(x x)在点在点x x0 0处连续时，处连续时，如如果果在在x x0 0附附近近的的左左侧侧 ，右右侧侧 ，那么那么f f(x x0 0)是极大值；是极大值；如果在如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧 ，右侧，右侧 ，那么那么f f(x x0 0)是极小值是极小值.(2)(2)求可导函数极值的步骤求可导函数极值的步骤 求求f f(x x););求方程求方程 的根；的根；检查检查f f(x x)在方程在方程 的根左右值的符号的根左右值的符号.如果左正右负，那么如果左正右负，那么f f(x x)在这个根处取得在这个根处取得 ；如果左负右正，那么如果左负右正，那么f f(x x)在这个根处取得在这个根处取得 .f f(x x)0 0f f(x x)0 0f f(x x)0 0f f(x x)0 0f f(x x)=0)=0f f(x x)=0)=0极大值极大值极小值极小值2.函数的极值f(x)0f(x)0f(x)0f63.3.函数的最值函数的最值 （1 1）在在闭闭区区间间a a,b b上上连连续续的的函函数数f f(x x)在在a a,b b上上必有最大值与最小值必有最大值与最小值.(2)(2)若若函函数数f f(x x)在在a a,b b上上单单调调递递增增，则则 为为函函数数的的最最小小值值，为为函函数数的的最最大大值值；若若函函数数f f(x x)在在a a,b b上单调递减，则上单调递减，则 为函数的最大值，为函数的最大值，为函数的最小值为函数的最小值.(3)(3)设设函函数数f f(x x)在在a a,b b上上连连续续，在在(a a,b b)内内可可导导，求求f f(x x)在在a a,b b上的最大值和最小值的步骤如下：上的最大值和最小值的步骤如下：求求f f(x x)在（在（a a,b b)内的内的 ；将将f f(x x)的的各各极极值值与与 比比较较，其其中中最最大大的的一一个是最大值，最小的一个是最小值个是最大值，最小的一个是最小值.f f(b b)f f(a a)f f(b b)极值极值f f(a a),),f f(b b)f f(a a)3.函数的最值f(b)f(a)f(b)极值f(a),f(b)74.4.生活中的优化问题生活中的优化问题 解决优化问题的基本思路是解决优化问题的基本思路是:4.生活中的优化问题8题型一题型一 导数的几何意义导数的几何意义【例例1 1】（1212分）已知曲线方程为分）已知曲线方程为y y=x x2 2,（1 1）求过）求过A A（2 2，4 4）点且与曲线相切的直线方程；）点且与曲线相切的直线方程；（2 2）求过）求过B B（3 3，5 5）点且与曲线相切的直线方程）点且与曲线相切的直线方程.（1 1）A A在曲线上在曲线上,即求在即求在A A点的切线方程点的切线方程.（2 2）B B不在曲线上，设出切点求切线方程不在曲线上，设出切点求切线方程.解解 （1 1）A A在曲线在曲线y y=x x2 2上上,过过A A与曲线与曲线y y=x x2 2相切的直线只有一条，且相切的直线只有一条，且A A为切点为切点.2 2分分 由由y y=x x2 2,得得y y=2=2x x,y y|x x=2=2=4,4=4,4分分 因此所求直线的方程为因此所求直线的方程为y y-4=4(-4=4(x x-2),-2),即即4 4x x-y y-4=0.-4=0.6 6分分 思维启迪思维启迪题型一 导数的几何意义思维启迪9（2 2）方法一方法一 设过设过B B（3 3，5 5）与与曲线曲线y y=x x2 2相切的直线相切的直线方程为方程为y y-5=-5=k k(x x-3),-3),即即y y=kxkx+5-3+5-3k k,8,8分分 y y=k kx x+5-3+5-3k k,y y=x x2 2得得x x2 2-k kx x+3+3k k-5=0,=-5=0,=k k2 2-4(3-4(3k k-5)=0.-5)=0.整理得整理得:(:(k k-2)(-2)(k k-10)=0,-10)=0,k k=2=2或或k k=10.=10.1010分分所求的直线方程为所求的直线方程为 2 2x x-y y-1=0,10-1=0,10 x x-y y-25=0.-25=0.1212分分方法二方法二 设切点设切点P P的坐标为的坐标为(x x0 0,y y0 0),),由由y y=x x2 2得得y y=2=2x x,x x=x x0 0=2=2x x0 0,8 8分分由已知由已知k kPAPA=2=2x x0 0,即即 =2 =2x x0 0.又又y y0 0=代入上式整理得代入上式整理得:x x0 0=1=1或或x x0 0=5,=5,1010分分切点坐标为切点坐标为(1,1),(5,25),(1,1),(5,25),所求直线方程为所求直线方程为 2 2x x-y y-1=0,10-1=0,10 x x-y y-25=0.-25=0.1212分分由由（2）方法一 设过B（3，5）与曲线y=x2相切的直线由10探探究究提提高高 （1 1）解解决决此此类类问问题题一一定定要要分分清清“在在 某某 点点处处 的的 切切 线线”，还还 是是“过过 某某 点点 的的 切切 线线”的的 问问 法法.（2 2）解解决决“过过某某点点的的切切线线”问问题题，一一般般是是设设出出切切点点坐坐 标标 为为 P P（x x0 0，y y0 0），然然后后求求其其切切线线斜斜率率 k k=f f(x x0 0),写写出出其其切切线线方方程程.而而“在在某某点点处处的的切切线线”就就是是指指“某某点点”为切点为切点.（3 3）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确.探究提高 （1）解决此类问题一定要分清“在某点11题型二题型二 函数的单调性与导数函数的单调性与导数【例例2 2】已知函数】已知函数f f(x x)=)=x x3 3-axax-1.-1.（1 1）若若f f(x x)在在实实数数集集R R上上单单调调递递增增，求求实实数数a a的的取取值值范围；范围；（2 2）是是否否存存在在实实数数a a，使使f f(x x)在在（-1-1，1 1）上上单单调调递递减减？若若存存在在，求求出出a a的的取取值值范范围围；若若不不存存在在，说说明明理由理由.求求 f f(x x)f f(x x)0)0或或 f f(x x)0)0恒恒 成成立立a a的范围的范围.思维启迪思维启迪题型二 函数的单调性与导数 思维启迪12解解 （1 1）由已知）由已知f f(x x)=3)=3x x2 2-a a.f f（x x）在（）在（-，+）上是增函数，）上是增函数，f f（x x）=3=3x x2 2-a a00在（在（-，+）上恒成立）上恒成立.即即a a33x x2 2对对x xR R恒成立恒成立.33x x2 20,0,只要只要a a0.0.又又a a=0=0时，时，f f(x x)=3)=3x x2 200，f f（x x）=x x3 3-1-1在在R R上是增函数，上是增函数，a a0.0.（2 2）由）由f f(x x)=3)=3x x2 2-a a00在（在（-1-1，1 1）上恒成立）上恒成立.a a33x x2 2在在x x（-1-1，1 1）上恒成立）上恒成立.又又-1-1x x1,31,3x x2 23,3,只需只需a a3.3.当当a a=3=3时时，f f(x x)=3()=3(x x2 2-1)-1)在在x x(-1,1)上上，f f(x x)0,0,即即f f(x x)在（在（-1-1，1 1）上为减函数，）上为减函数，a a3.3.故存在实数故存在实数a a3,3,使使f f(x x)在（在（-1-1，1 1）上单调递减）上单调递减.解 （1）由已知f(x)=3x2-a.13 探探究究提提高高 利利用用导导数数研研究究函函数数的的单单调调性性比比用用函函数数单单调调性性的的定定义义要要方方便便，但但应应注注意意f f(x x)0(0(或或f f(x x)0)0)仅仅是是f f(x x)在在某某个个区区间间上上为为增增函函数数（或或减减函函数数）的的充充分分条条件件，在在（a a，b b）内内可可导导的的函函数数f f(x x)在在（a a,b b)上上 递递 增增（或或 递递 减减）的的 充充 要要 条条 件件 应应 是是f f(x x)0)0或或f f(x x)0)0,x x(a a,b b)恒恒成成立立，且且f f(x x)在在（a a,b b）的的任任意意子子区区间间内内都都不不恒恒等等于于0 0，这这就就是是说说，函函数数f f(x x)在在区区间间上上的的增增减减性性并并不不排排斥斥在在区区间间内内个个别别点点处处有有f f(x x0 0)=0,)=0,甚甚至至可可以以在在无无穷穷多多个个点点处处f f（x x0 0）=0,=0,只只要要这这样样的的点点不不能能充充满满所所给给区区间间的的任何一个子区间，任何一个子区间，探究提高 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义14 因因此此，在在已已知知函函数数f f(x x)是是增增函函数数（或或减减函函数数）求求参参数数的的取取值值范范围围时时，应应令令f f(x x)0)0或或f f(x x)0)0恒恒成成立立，解解出出参参数数的的取取值值范范围围（一一般般可可用用不不等等式式恒恒成成立立理理论论求求解解），然然后后检检验验参参数数的的取取值值能能否否使使f f(x x)恒恒等等于于0 0，若若能能恒恒等等于于0 0，则则参参数数的的这这个个值值应应舍舍 去去，若若 f f(x x)不不 恒恒 为为 0 0，则则 由由 f f(x x)0)0 或或f f(x x)0)0恒成立解出的参数的取值范围确定恒成立解出的参数的取值范围确定.因此，在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值15题型三题型三 函数的极值与导数函数的极值与导数【例例3 3】设设x x=1=1与与x x=2=2是是函函数数f f(x x)=)=a aln ln x x+bxbx2 2+x x的的两两个个极极值点值点.（1 1）试确定常数）试确定常数a a和和b b的值；的值；（2 2）试试判判断断x x=1,=1,x x=2=2是是函函数数f f(x x)的的极极大大值值点点还还是是极极小值点，并说明理由小值点，并说明理由.（1 1）函函数数的的导导函函数数在在极极值值点点处处的的函函数数值值为为0 0，列方程组求解，列方程组求解.（2 2）极大值点与极小值点的判断应根据极值点的定）极大值点与极小值点的判断应根据极值点的定 义判断义判断.思维启迪思维启迪题型三 函数的极值与导数思维启迪16解解 （1 1）f f(x x)=+2)=+2bxbx+1,+1,解 （1）f(x)=+2bx+1,17函数定义域为（函数定义域为（0 0，+），列表），列表x x=1=1是是f f（x x）的极小值点，）的极小值点，x x=2=2是是f f（x x）的极大值点）的极大值点.此题属于逆向思维，但仍可根据函数极值此题属于逆向思维，但仍可根据函数极值的步骤求解，但要注意极值点与导数之间的关系，利的步骤求解，但要注意极值点与导数之间的关系，利用用这这一一关关系系（f f(x x)=0)=0）建建立立字字母母系系数数的的方方程程，通通过过解方程（组）确定字母系数，从而解决问题解方程（组）确定字母系数，从而解决问题.探究提高探究提高函数定义域为（0，+），列表x=1是f（x）的极小值点，18题型四题型四 函数的最值与导数函数的最值与导数【例例4 4】已知】已知a a为实数，且函数为实数，且函数f f(x x)=()=(x x2 2-4)(-4)(x x-a a).).(1)(1)求导函数求导函数f f(x x););(2)(2)若若f f(-1)=0(-1)=0，求函数，求函数f f(x x)在在-2-2，2 2上的最大上的最大值、最小值值、最小值.先求函数的极值，然后再与端点值进行先求函数的极值，然后再与端点值进行比较、确定最值比较、确定最值.解解 （1 1）f f(x x)=)=x x3 3-axax2 2-4-4x x+4+4a a,得得f f(x x)=3)=3x x2 2-2-2axax-4.-4.思维启迪思维启迪题型四 函数的最值与导数思维启迪19（2 2）因为）因为f f(-1)=0,(-1)=0,所以所以a a=,=,有有f f(x x)=)=x x3 3-x x2 2-4-4x x+2,+2,所以所以f f(x x)=3)=3x x2 2-x x-4.-4.又又f f(x x)=0,)=0,所以所以x x=或或x x=-1.=-1.又又f f =,=,f f(-1)=,(-1)=,f f(-2)=0,(-2)=0,f f(2)=0,(2)=0,所以所以f f(x x)在在-2-2，2 2上的最大值、最小值分别为上的最大值、最小值分别为 、.（2）因为f(-1)=0,所以a=,20 探探究究提提高高 在在解解决决类类似似的的问问题题时时，首首先先要要注注意意区区分分函函数数最最值值与与极极值值的的区区别别.求求解解函函数数的的最最值值时时，要要先先求求函函数数y y=f f（x x）在在a a，b b内内所所有有使使f f（x x）=0=0的的点点，再再 计计 算算 函函 数数 y y=f f（x x）在在 区区 间间 内内 所所 有有 使使f f（x x）=0=0的的点点和和区区间间端端点点处处的的函函数数值值，最最后后比比较较即得即得.探究提高 在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与21
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