复习拉普拉斯变换ppt课件

1 在经典控制理论中，系统的数学模型是建立在传在经典控制理论中，系统的数学模型是建立在传递函数基础上的，而传递函数的概念是建立在拉氏变递函数基础上的，而传递函数的概念是建立在拉氏变换基础上的，所以拉氏变换是经典控制理论的数学基换基础上的，所以拉氏变换是经典控制理论的数学基础。础。直接解微分方程 复习拉普拉斯变换复习拉普拉斯变换(附录附录C)C)1 在经典控制理论中，系统的数学模型是建立在2 1 1、拉普拉斯变换定义拉普拉斯变换定义 设设 f(t)是是时间时间t 的函数，当的函数，当t0t0时，时，f(t)=0；则则 f(t)的拉普拉斯变换定义为：的拉普拉斯变换定义为：是是 的的象函数象函数，或称，或称 的拉普拉斯变换。的拉普拉斯变换。是是 的的原函数原函数或拉普拉斯反变换。或拉普拉斯反变换。式中式中 是复变量是复变量 sjw 变换对：变换对：f(t)F(s)电压：u(t)U(s)电流：i(t)I(s)2 1、拉普拉斯变换定义 设 f(t)是时3常采用的典型信号的函数图像常采用的典型信号的函数图像（a）单位阶跃信号（c）单位加速度信号（b）单位斜坡信号（d）单位脉冲信号3常采用的典型信号的函数图像（a）单位阶跃信号（c）单位加速4例例1 1 阶跃函数的拉氏变换阶跃函数的拉氏变换1t0f(t)单位阶跃函数单位阶跃函数已知单位阶跃函数为：已知单位阶跃函数为：则有：则有：可得反变换可得反变换:4例1 阶跃函数的拉氏变换1t0f(t)单位阶跃函数已知单5例例2 2 求指数函数的求指数函数的拉拉氏变换氏变换于是可得反变换于是可得反变换已知指数函数为：已知指数函数为：则有则有:5例2 求指数函数的拉氏变换于是可得反变换已知指数函数为：6例例3 3 求斜坡函数的拉氏变换求斜坡函数的拉氏变换11ty(t)已知单位斜坡函数为：已知单位斜坡函数为：单位斜坡函数单位斜坡函数则有：则有：于是可得反变换：于是可得反变换：推广推广6例3 求斜坡函数的拉氏变换11ty(t)已知单位斜坡函数为7例例4 4 时间迟延延函数的拉氏变换函数的拉氏变换延迟延迟a a个时间单位个时间单位,可表示成可表示成则可完成以下变换则可完成以下变换即即atf(t)0图图 延迟函数延迟函数于是于是如令如令7例4 时间迟延函数的拉氏变换延迟a个时间单位,可表示成则8例例5 单位脉冲函数的拉斯变换单位脉冲函数的拉斯变换 单位脉冲函数为：单位脉冲函数为：单位脉冲函数的拉普拉斯变换为单位脉冲函数的拉普拉斯变换为 8例5 单位脉冲函数的拉斯变换 单位脉冲函数为：单位脉冲函9(t)11(t)常用函数拉氏变换对照表常用函数拉氏变换对照表原函数原函数f(t)象函数象函数F(S)详见详见P275 附录附录B9(t)11(t)常用函数拉氏变换对照表原函数f(t)象函10 线性性质线性性质 线性系统的主要特征是具有线性系统的主要特征是具有齐次性齐次性和和叠加性叠加性。2 2、拉氏变换的性质、拉氏变换的性质例例解：解：例：例：例：例：已知已知已知已知 ，求，求，求，求 的拉氏变换。的拉氏变换。的拉氏变换。的拉氏变换。解：解：10 线性性质 线性系统的主要特征是具有齐次性和叠加11如 2、微分性质、微分性质 表明表明：函数函数f(t)求导后的拉氏变换是原函数的象函数乘求导后的拉氏变换是原函数的象函数乘以复量以复量s，再减去原函数，再减去原函数f(t)在在0 时的值。时的值。推广：推广：11如 2、微分性质 表明：函数f(t)求导后的1212131314解解 对方程取拉氏变换，对方程取拉氏变换，得得即即例：例：设有方程设有方程14解 对方程取拉氏变换，即例：设有方程15 3、积分性质、积分性质 表明表明：一个函数积分后的信号拉氏变换等于原函数的象一个函数积分后的信号拉氏变换等于原函数的象函数除以复量函数除以复量s。如如则则15 3、积分性质 表明：一个函数积分后的信号拉氏变164、位移性质、位移性质若若 ，则，则 例例 求求的拉氏的拉氏变换。解：解：因因为 故故：164、位移性质若 ，则 例 17 5、延时性质、延时性质 如图所示，原函数沿时间轴如图所示，原函数沿时间轴平移平移，平移后的函数为，平移后的函数为f(t-)17 5、延时性质 如图所示，原函数沿时间轴18拉氏变换基本定理拉氏变换基本定理 相似定理相似定理终值定理终值定理初值定理初值定理积分定理积分定理微分定理微分定理位移定理位移定理线性定理线性定理延时定理延时定理指数函数的拉氏变换指数函数的拉氏变换18拉氏变换基本定理 相似定理终值定理初值定理积分定理微分19课堂练习课堂练习1、求拉氏变换、求拉氏变换解解：2、3、19课堂练习1、求拉氏变换解：2、3、203 3、拉普拉斯反变换、拉普拉斯反变换如果如果 能分解成能分解成 为如下形为如下形式式并假定各分项的并假定各分项的拉氏反变换可以容易地求出，那么拉氏反变换可以容易地求出，那么 对于一般形式的对于一般形式的拉普拉斯变换如何求其反变换？拉普拉斯变换如何求其反变换？由象函数由象函数 F(s)求原函数求原函数 f(t)的运算叫拉普拉斯反变换。的运算叫拉普拉斯反变换。203、拉普拉斯反变换如果 能分解成 为如21例例 已知已知，求，求解解.解得：留数法留数法系数比较法（解系数方程）系数比较法（解系数方程）21例 已知，求解.解得：留数法22拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 留数法留数法一般有一般有设设其中：其中：-Pi 是是 A(s)=0的根的根1.当当 的所有根均为不同实根时的所有根均为不同实根时等式两边分别乘以等式两边分别乘以（s+pi)22拉普拉斯反变换 留数法一般有设其中：-Pi 是 A(s23拉普拉斯反变换练习拉普拉斯反变换练习1 1像函数像函数部分分式展开为部分分式展开为因此因此23拉普拉斯反变换练习1像函数部分分式展开为因此24解解 对方程取拉氏变换，对方程取拉氏变换，得得即即例：例：设有方程设有方程求上述微分方程的解求上述微分方程的解 y(t)课堂练习课堂练习24解 对方程取拉氏变换，即例：设有方程求上述微分方程25 所以所以 y(t)=L 1Y(s)=4.5e t 4e 2t+0.5e 3t 解：解：25 所以 y(t)=L1Y(s)=4.5e26例例4 4 已知已知，求，求解解 .可用可用配方（比较系数）配方（比较系数）的方法解的方法解2.2.当当 有共轭复根时有共轭复根时 26例4 已知，求解.可用配方（比较系数）的方法解2.当27拉普拉斯反变换练习拉普拉斯反变换练习2 2像函数像函数因此因此由于由于像函数展成像函数展成27拉普拉斯反变换练习2像函数因此由于像函数展成283.3.当当 有重根时有重根时(以二重根为例以二重根为例)283.当 有重根时(以二重根为例)29例例 设 ，求f(t)。解解 其中其中 则则 另解另解29例 设 30例例 已知已知，求，求解解.30例 已知，求解.31，求，求解解.课堂练习课堂练习31，求解.课堂练习32习题习题1、求拉氏变换、求拉氏变换2、求拉氏反变换、求拉氏反变换32习题1、求拉氏变换2、求拉氏反变换