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2.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律*角动量概念的引入角动量概念的引入由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零，由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零，系统有机械运动，总动量却为零？系统有机械运动，总动量却为零？说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。问题：问题：将一绕通过质心的固定轴将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，系转动的圆盘视为一个质点系，系统总动量为多少？统总动量为多少？C CM M*引入与动量引入与动量 对应的角量对应的角量 角动量（动量矩）角动量（动量矩）动量对参考点（或轴）求矩动量对参考点（或轴）求矩*角动量概念的引入由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量12.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律1.角动量角动量质点的角动量质点的角动量:质量为质量为 的质的质点以速度点以速度 在空间运动，某时在空间运动，某时刻相对原点刻相对原点 O 的位矢为的位矢为 ，质，质点相对于原点的角动量定义为点相对于原点的角动量定义为大小大小 的方向符合右手法则的方向符合右手法则.单位：单位：一一 角动量角动量质点的角动量:质量为 的质点以速度 在空间22.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律质点做曲线运动时，对某点具有角动量，质质点做曲线运动时，对某点具有角动量，质点做直线运动时是否也具有角动量呢？点做直线运动时是否也具有角动量呢？质点作变速直线运动时质点作变速直线运动时一个质量为一个质量为m的质点由的质点由A点自由下落，不计点自由下落，不计空气阻力。若以空气阻力。若以A点为参考点，则在任意时点为参考点，则在任意时刻刻t，有：，有：质点做曲线运动时，对某点具有角动量，质点做直线运动时是否也具32.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律若以若以O为参考点，质点在任意为参考点，质点在任意时刻的角动量为：时刻的角动量为：若以O为参考点，质点在任意时刻的角动量为：42.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律若若质点作匀速直线运动质点作匀速直线运动，以，以O O点为参考点，质点的角动点为参考点，质点的角动量为：量为：注意：对不同的参考点有不同的角动量注意：对不同的参考点有不同的角动量若质点作匀速直线运动，以O点为参考点，质点的角动量为：注意：52.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律质点系的角动量质点系的角动量：质点系对给定参考点的角动量，：质点系对给定参考点的角动量，等于各质点对该参考点的角动量的矢量和，即等于各质点对该参考点的角动量的矢量和，即质点在平面内运动时，质点质点在平面内运动时，质点对平面内某参考点的角动量对平面内某参考点的角动量矢量与这个平面垂直。这时矢量与这个平面垂直。这时可以把质点对运动平面内某可以把质点对运动平面内某参考点的角动量的数值称为参考点的角动量的数值称为质点对过质点对过o o点垂直于平面的点垂直于平面的轴的角动量。轴的角动量。质点系的角动量：质点系对给定参考点的角动量，等于各质点对该参62.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律如图，有一个作半径为如图，有一个作半径为r的的圆周运动的质点圆周运动的质点m，其对，其对o点的角动量为点的角动量为对对z轴的角动量大小为轴的角动量大小为角动量角动量L的方向就是的方向就是 的方向，可以用右手定的方向，可以用右手定则判断。则判断。刚体定轴转动时，总角动量为刚体定轴转动时，总角动量为如图，有一个作半径为r的圆周运动的质点m，其对o点的角动量为72.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律2.角动量的时间变化率角动量的时间变化率2.角动量的时间变化率82.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律 作用于质点的合力对作用于质点的合力对参考点参考点 O 的力矩的力矩，等于质点对该点，等于质点对该点 O 的的角角动量动量随时间的随时间的变化率变化率.力矩力矩 的大小为力的大小为力 的大小与参考点到力的大小与参考点到力的作用线的垂直距离的作用线的垂直距离 d 的乘积。的乘积。作用于质点的合力对参考点 O 的力矩，等于92.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律 质点系角动量对时间的变化率质点系角动量对时间的变化率设质点系由设质点系由N个质点组成，每个质点所受的外个质点组成，每个质点所受的外力力矩为力力矩为 ，内力的力矩为，内力的力矩为 ，则有，则有 对以上各式求和，得对以上各式求和，得 质点系角动量对时间的变化率设质点系由N个质点组成，每个质点102.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律说明：说明：1)在质点系的情况下，合力矩是指作用于质点系在质点系的情况下，合力矩是指作用于质点系的各个力的力矩的矢量和，而不是合力的力矩的各个力的力矩的矢量和，而不是合力的力矩注意：注意：作用于系统的外力矢量和为零时，合力作用于系统的外力矢量和为零时，合力矩不一定为零矩不一定为零如图的一对力偶，其如图的一对力偶，其矢量和为零，而合力矢量和为零，而合力矩不为零。矩不为零。说明：1)在质点系的情况下，合力矩是指作用于质点系的各个力112.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律2)一对内力对同一参考点的力矩之和恒为零，从而一对内力对同一参考点的力矩之和恒为零，从而质点系所有内力矩之和恒为零，即质点系所有内力矩之和恒为零，即证明：一对内力对同一参考点的力矩之和恒为零证明：一对内力对同一参考点的力矩之和恒为零O2)一对内力对同一参考点的力矩之和恒为零，从而质点系所有内力122.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律因此，质点系角动量对时间的变化率等于质点系所受因此，质点系角动量对时间的变化率等于质点系所受合外力矩，而与内力矩无关。合外力矩，而与内力矩无关。因此，质点系角动量对时间的变化率等于质点系所受合外力矩，而与132.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律 质点所受对参考点质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该的合力矩为零时，质点对该参考点参考点 O 的角动量为一恒矢量的角动量为一恒矢量.恒矢量恒矢量 质点的角动量定理质点的角动量定理：对同一参考点：对同一参考点 O，质点所受，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量的冲量矩等于质点角动量的增量.冲量矩冲量矩质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律3、质点的角动量定理及守恒定律、质点的角动量定理及守恒定律 质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质142.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律在有心力场中运动的质点角动量守恒：在有心力场中运动的质点角动量守恒：有心力：方向始终指向或背向一个固定中心的力，有心力：方向始终指向或背向一个固定中心的力，该固定中心称为力心该固定中心称为力心在有心力场中运动的质点角动量守恒：有心力：方向始终指向或背向152.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律开普勒第二定律开普勒第二定律对于任一行星，由太阳对于任一行星，由太阳到行星的矢径在相等的到行星的矢径在相等的时间内扫过相等的面积时间内扫过相等的面积dS：矢径在：矢径在dt 时间时间=扫过的面积扫过的面积开普勒第二定律dS：矢径在dt 时间=扫过的面积162.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律质点系角动量对时间的变化率等质点系角动量对时间的变化率等于质点系所受合外力矩，而与内于质点系所受合外力矩，而与内力矩无关。力矩无关。写成积分式写成积分式质点系的角动量定理：表明质点系在质点系的角动量定理：表明质点系在t0到到t时间内所时间内所受合力矩的冲量等于同一时间内质点系的角动量的受合力矩的冲量等于同一时间内质点系的角动量的增量。增量。3、质点系的角动量定理及守恒定律、质点系的角动量定理及守恒定律质点系角动量对时间的变化率等于质点系所受合外力矩，而与内力矩172.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律：当质点系所受的外力质点系的角动量守恒定律：当质点系所受的外力对某参考点的力矩的矢量和为零时，则质点系对对某参考点的力矩的矢量和为零时，则质点系对该参考点的总角动量不随时间变化。该参考点的总角动量不随时间变化。恒矢量恒矢量当当 时，时，质点系的角动量守恒定律：当质点系所受的外力对某参考点的力矩的182.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律质点的角动量质点的角动量质点的角动量定理质点的角动量定理 恒矢量恒矢量 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律质点的角动量质点的角动量定理 恒矢量 质点的角动量守恒定律192.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律质点系的角动量质点系的角动量质点系的角动量定理质点系的角动量定理恒矢量恒矢量当当 时，时，质点系的角动量守恒质点系的角动量守恒质点系的角动量质点系的角动量定理恒矢量当 202.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律 例例1 一半径为一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内的光滑圆环置于竖直平面内.一质一质量为量为 m 的小球穿在圆环上的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动并可在圆环上滑动.小球开始小球开始时静止于圆环上的点时静止于圆环上的点 A(该点在通过环心该点在通过环心 O 的水平面上的水平面上),然后从然后从 A 点开始下滑点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点求小球滑到点 B 时对环心时对环心 O 的角动量和角速度的角动量和角速度.解解 小球受重力和支持小球受重力和支持力作用力作用,支持力的力矩为零支持力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理由质点的角动量定理 例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖212.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律考虑到考虑到得得由题设条件积分上式由题设条件积分上式考虑到得由题设条件积分上式222.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律 例例2：在一光滑水平面上，有一轻弹簧，一端固定，：在一光滑水平面上，有一轻弹簧，一端固定，一端连接一质量一端连接一质量m=1 kg 的滑块，如图所示弹簧的滑块，如图所示弹簧自然长度自然长度l0=0.2 m，劲度系数，劲度系数k=100 Nm-1.设设t=0时，弹簧长度为时，弹簧长度为l0，滑块速度，滑块速度v0=5 ms-1，方向与，方向与弹簧垂直以后某一时刻，弹簧长度弹簧垂直以后某一时刻，弹簧长度l=0.5 m 求求该时刻滑块速度该时刻滑块速度 的大小和夹角的大小和夹角 例2：在一光滑水平面上，有一轻弹簧，一端固定，一端连接一质232.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律解：由角动量守恒和机械能守恒可得解：由角动量守恒和机械能守恒可得 解：由角动量守恒和机械能守恒可得 242.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律 例例3 一质量一质量 的登月飞船的登月飞船,在离在离月球表面高度月球表面高度 处绕月球作圆周运动处绕月球作圆周运动.飞船飞船采用如下登月方式采用如下登月方式:当飞船位于点当飞船位于点 A 时时,它向外侧短它向外侧短时间喷气时间喷气,使飞船与月球相切地到达点使飞船与月球相切地到达点 B,且且OA 与与 OB 垂直垂直.飞船所喷气体相对飞船的速度为飞船所喷气体相对飞船的速度为 .已知已知月球半径月球半径 ;在飞船登月过程中在飞船登月过程中,月球的月球的重力加速度视为常量重力加速度视为常量 .试问登月飞船在登月过程试问登月飞船在登月过程中所需消耗燃料的质量中所需消耗燃料的质量 是多少是多少?BhORA 例3 一质量 252.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律 解解 设飞船在点设飞船在点 A 的的速度速度 ,月球质量月球质量 mM,由万有引力和牛顿定律由万有引力和牛顿定律BhORA已知已知求求 所需消耗燃料的质量所需消耗燃料的质量 .解 设飞船在点 A 的速度 ,262.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律得得得得 当飞船在当飞船在A点以相对速度点以相对速度 向外喷气的短时间里向外喷气的短时间里,飞船飞船的质量减少了的质量减少了m 而为而为 ,并并获得速度的增量获得速度的增量 ,使飞船使飞船的速度变为的速度变为 ,其值为其值为质量质量 在在 A 点和点和 B 点只受有心力作用点只受有心力作用,角动量守恒角动量守恒BhORA得得 当飞船在A点以相对速度 向外喷气的272.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律飞船在飞船在 A点喷出气体后点喷出气体后,在到在到达月球的过程中达月球的过程中,机械能守恒机械能守恒即即于是于是而而BhORA飞船在 A点喷出气体后,在到达月球的过程中,机械能守恒即282.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律3B-1.3.4.53B-1.3.4.5292.4 2.4 角动量守恒定律角动量守恒定律直线运动与定轴转动规律对照直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动质点的直线运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动刚体的定轴转动30
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