一维随机变量函数的分布ppt课件

概率统计（ZYH）在在实实际际问问题题中中,我我们们常常对对某某些些随随机机变变量量的的函函数数更更感感兴兴趣趣.例例如如,我我们们能能测测量量圆圆轴轴截截面面的的直直径径d，而而关关心心的的却却是是截截面面面面积积A.这这里里,随随机机变变量量A是是随随机机变变量量d的函数的函数.这这一一章章我我们们将将讨讨论论如如何何由由一一维维（或多维）随机变量的分布去求它的（或多维）随机变量的分布去求它的函数的分布函数的分布.在实际问题中,我们常对某些随机变量的函数更概率统计（ZYH）一一般般地地，若若X是是分分布布已已知知的的随随机机变变量量,g(x)为为一一元元连连续续函函数数,那那么么由由Yg(X)定定义义的的Y也也是是一一个个随机变量按定义，随机变量按定义，Yg(X)的分布函数应为的分布函数应为 下下面面我我们们就就依依据据此此式式,讨讨论论如如何何由由已已知知的的随随机变量机变量X的分布去求它的函数的分布去求它的函数Yg(X)的分布的分布 4、一维随机变量函数的分布一维随机变量函数的分布 一般地，若X是分布已知的随机变量,g(x)概率统计（ZYH）例例1 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为求随机变量函数求随机变量函数 X-1,-2X,X 2的分布律的分布律解解 由由X的分布律可列出下表的分布律可列出下表pk 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.3X -2 -1 0 1 2 3X-1 -3 -2 -1 0 1 2-2X 4 2 0 -2 -4 -6X 2 4 1 0 1 4 9此表反映了函数此表反映了函数 X-1,-2X,X 2的概率取值规律的概率取值规律.例1设随机变量X的分布律为求随机变量函数 X-1,-2X,概率统计（ZYH）现现在在只只要要分分别别将将X-1,-2X,X 2 的的所所有有可可能能取取值值按按一一定定的的顺顺序序重重新新排排列列，并并合合并并其其取取相相同同值值时时的概率即可得到所求函数的的概率即可得到所求函数的分布律分布律分布律计算方法分布律计算方法本例反映了离散型随机变量函数的本例反映了离散型随机变量函数的 现在只要分别将X-1,-2X,X 2 的概率统计（ZYH）求随机变量函数求随机变量函数 的分布律的分布律例例2 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为解解所以所以求随机变量函数 的分概率统计（ZYH）例例3 设设 X 服从服从N(0,1),求求Y=X 2的分布密度的分布密度.解解所以所以即即y=0时可任时可任意规定其值意规定其值本例正是连续型随机变量函数本例正是连续型随机变量函数分布密度分布密度的的计算方法计算方法例3设 X 服从N(0,1),求Y=X 2的分布密度.解概率统计（ZYH）（以（以a 0为例证明）为例证明）定理定理1 设设 X 服从正态分布服从正态分布N(,2),则随机变则随机变证证量量Y=aX+b 服从正态分布服从正态分布N(a+b,a2 2)亦即亦即Y=aX+b 服从正态分布服从正态分布N(a+b,a2 2)所以所以定理定理2定理定理1 1的推论的推论（以a 0为例证明）定理1设 X 服从正态分布N(,概率统计（ZYH）设设 X 服从服从N(1.5,4),计算计算例例4解解 利用定理利用定理2,知知（即（即4.1节的例节的例5）,故有故有设 X 服从N(1.5,4),计算例4解 利用定理2,概率统计（ZYH）设设X是是以以 f(x)为为分分布布密密度度的的连连续续型型随随机机变变量量,其其所所有有可可能能取取值值构构成成区区间间I,函函数数 yg(x)在在区区间间I上上严严格格单单调调可可微微,g(I)为为相相应应的的值值域域,则则Yg(X)也是一个连续型随机变量且分布密度为也是一个连续型随机变量且分布密度为按照上述求随机变量函数分布密度的方法按照上述求随机变量函数分布密度的方法,可证明可证明定理定理3 设X是以 f(x概率统计（ZYH）答答思考题思考题答思考题概率统计（ZYH）例例所以所以解解注意注意:此例中随机变量此例中随机变量Y 即非离散型即非离散型,也非连续型也非连续型.例所以解注意:此例中随机变量Y 即非离散型,也非连续型.