概率论第一章ppt课件

“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计1“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。概率论与数理统计是研究什么的？概率论与数理统计是研究什么的？概率论概率论概率论概率论从数量上研究随机现象的统计规律性的从数量上研究随机现象的统计规律性的从数量上研究随机现象的统计规律性的从数量上研究随机现象的统计规律性的科学科学科学科学。数理统计数理统计数理统计数理统计从应用角度研究处理随机性数据，建从应用角度研究处理随机性数据，建从应用角度研究处理随机性数据，建从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。立有效的统计方法，进行统计推理。立有效的统计方法，进行统计推理。立有效的统计方法，进行统计推理。随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性概率论与数理统计是研究什么的？概率论概率论与数理统计是研究什么的？概率论从数量上研究随机现象从数量上研究随机现象2“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布第三章第三章 多维随机变量及其概率分布多维随机变量及其概率分布第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理第六章第六章 数理统计的基本概念数理统计的基本概念第七章第七章 参数估计参数估计第八章第八章 假设检验假设检验主要内容主要内容第一章第一章 概率论的基本概念主要内容概率论的基本概念主要内容3“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。第一章 概率论的基本概念1.1 随机事件及其运算1.2 概率的定义及其性质1.3 古典概型与几何概型1.4 条件概率1.5 独立性第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念1.1 随机事件及其运算随机事件及其运算4“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。1.1 随机事件及其运算随机事件及其运算如何研究随机现象呢？如何研究随机现象呢？如何研究随机现象呢？如何研究随机现象呢？1.1.1 随机现象 自然界的现象按照发生的可能性（或者必然性）分为两类：一类是确定性现象，特点是条件完全决定结果 一类是随机现象，特点是条件不能完全决定结果 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象成为随机现象。1.1 随机事件及其运算如何研究随机现象呢？随机事件及其运算如何研究随机现象呢？1.1.15“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。1.1.2 随机试验随机试验E1:抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况；E2:掷一颗骰子，观察出现的点数；E3:记录110报警台一天接到的报警次数；E4:在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命；E5:记录某物理量的测量误差；E6:在区间 上任取一点，记录它的坐标。例例1-1：1.1.2 随机试验随机试验E1:抛一枚硬币，观察正面抛一枚硬币，观察正面H、反面、反面T6“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。上述试验具有如下特点：上述试验具有如下特点：1.试验的可重复性试验的可重复性在相同条件下可重复进行在相同条件下可重复进行；2.一次试验结果的随机性一次试验结果的随机性一次试验的可能结果不一次试验的可能结果不止一个，且试验之前无法确定具体是哪种结果出现；止一个，且试验之前无法确定具体是哪种结果出现；3.全部试验结果的可知性全部试验结果的可知性所有可能的结果是预先所有可能的结果是预先可知可知 的，且每次试验有且仅有一个结果出现。的，且每次试验有且仅有一个结果出现。在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试随机试验验，简称，简称试验试验。随机试验常用。随机试验常用E表示。表示。上述试验具有如下特点：上述试验具有如下特点：7“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。v样本空间样本空间:试验的试验的所有可能结果所有可能结果所组成的所组成的集合集合称为称为试验试验E的样本空间的样本空间,记为记为.v样本点样本点:试验的试验的每一个可能出现的结果每一个可能出现的结果（样本空（样本空间中的元素）间中的元素）称为称为试验试验E的的一个一个样本点样本点,记为记为.1.1.3 随机事件与样本空间随机事件与样本空间样本空间样本空间:试验的所有可能结果所组成的集合称为试验试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E8“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。分别写出例分别写出例1-1各试验各试验 所对应的样本空间所对应的样本空间例例1-2：分别写出例分别写出例1-1各试验各试验 所对应的样本空间所对应的样本空间9“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。例如在试验E2中，令A表示“出现奇数点”，A就是一个随机事件。A还可以用样本点的集合形式表示，即A=1，3，5.它是样本空间的一个子集。事件发生事件发生：例如，在试验E2中，无论掷得1点、3点还是5点，都称这一次试验中事件A发生了。基本事件基本事件：随机事件仅包含一个样本点，单点子集。如如，在试验E1中H表示“正面朝上”，就是个基本事件基本事件。v随机事件：随机事件：样本空间的任意一个子集子集称为随机事随机事件件,简称“事件”，记作A、B、C等。复合事件复合事件：包含两个或两个以上样本点的事件。例如在试验例如在试验E2中，令中，令A表示表示“出现奇数点出现奇数点”，A就是一个就是一个10“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。两个特殊的事件两个特殊的事件必然事件：；不可能事件：.两个特殊的事件必然事件：两个特殊的事件必然事件：；不可能事件：；不可能事件：.11“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。1.包含关系与相等：包含关系与相等：“事件事件 A A发生必有事件发生必有事件B B发生发生”记为记为A B。AB A B且且B A.1.1.4 事件间的关系与运算事件间的关系与运算A BAB 1.包含关系与相等：包含关系与相等：“事件事件 A发生必发生必12“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。2.和（并）事件：和（并）事件：“事件事件A与事件与事件B至少有一个发至少有一个发生生”，记作，记作A B或或A+B。推广推广：n个事件个事件A1,A2,An至少有一个发生，至少有一个发生，记作记作 或或2.和（并）事件：和（并）事件：“事件事件A与事件与事件B至少有一个发生至少有一个发生”，13“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。3.积（交）事件积（交）事件:事件事件A与事件与事件B同时发生，记同时发生，记作作 A B 或或AB。推广推广：n个事件个事件A1,A2,An同时发生，记作同时发生，记作 A1A2An或或 或或3.积（交）事件积（交）事件:事件事件A与事件与事件B同时发生，记作同时发生，记作 A14“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。4.差事件差事件：AB称为称为A与与B的差事件的差事件,表示事件表示事件 A发生而事件发生而事件B不发生不发生4.差事件：差事件：AB称为称为A与与B的差事件的差事件,表示事件表示事件 15“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。5.互不相容事件（也称互斥的事件）：互不相容事件（也称互斥的事件）：即事件即事件A与事件与事件B不能同时发生不能同时发生。AB 。ABAB=推广推广：n个事件个事件A1,A2,An任意两个都互不相任意两个都互不相容，则称容，则称n个事件个事件两两互不相容两两互不相容。若若n个事件个事件A1,A2,An 两两互不相容，且两两互不相容，且则称则称n个事件个事件A1,A2,An 构成一个构成一个完备事件组完备事件组完备事件组完备事件组。5.互不相容事件（也称互斥的事件）：互不相容事件（也称互斥的事件）：即事件即事件A与事件与事件B16“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。6.对立（逆）对立（逆）事件事件 A B ,且且AB 6.对立（逆）事件对立（逆）事件 AB ,且且AB 17“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。思考思考：事件事件A和事件和事件B互不相容与事件互不相容与事件A和事件和事件B互互为对立事件的区别为对立事件的区别.对立事件一定是互不相容事件对立事件一定是互不相容事件，互不相容互不相容事件不一定是对立事件事件不一定是对立事件思考：事件思考：事件A和事件和事件B互不相容与事件互不相容与事件A和事件和事件B互互 对立事件一对立事件一18“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。交换律：交换律：ABBA，ABBA。结合律结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)CA(BC)。分配律分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)。对偶对偶(De Morgan)律律：7.事件的运算性质交换律：交换律：ABBA，ABBA。结合律：。结合律：(AB)C=19“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。例例1-3：某射手向一目标射击3次,Ai表示“第i次射击命中目标”,i=1,2,3.Bj表示“三次射击恰命中目标j次”,j=0,1,2,3.试用 A1,A2,A3的运算表示Bj,j=0,1,2,3.解解例例1-3：某射手向一目标射击某射手向一目标射击3次次,Ai表示表示“第第i次射击命次射击命20“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。例例1-4：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分分21“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。本节课主要讲授：本节课主要讲授：1.随机现象；随机现象；2.随机试验和样本空间；随机试验和样本空间；3.随机事件的概念；随机事件的概念；4.随机事件的关系和运算（随机事件的关系和运算（重点重点）。）。小小 结结本节课主要讲授：小本节课主要讲授：小 结结22“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。1.2 概率的定义及其性质概率的定义及其性质1.2.1 概率的统计定义概率的统计定义1.2 概率的定义及其性质概率的定义及其性质1.2.1 概率的统计定义概率的统计定义23“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。概率论第一章概率论第一章ppt课件课件24“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。频率的性质：频率的性质：一口袋中有6个乒乓球，其中4个白的，2个红的有放回地进行重复抽球，观察抽出红色球的次数。频率的性质：一口袋中有频率的性质：一口袋中有6个乒乓球，其中个乒乓球，其中4个白的，个白的，2个红的有个红的有25“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。频率是概率的近似值，概率频率是概率的近似值，概率P(A)也应有类似特征：也应有类似特征：频率是概率的近似值，概率频率是概率的近似值，概率P(A)也应有类似特征：也应有类似特征：26“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。定义定义2：在相同的条件下进行n次重复试验，当n趋于无穷大时，事件A发生的频率 稳定于某个确定的常数p，称此常数p为事件A发生的概率，记作 注注注注1 1 1 1：概率的统计定义不仅提供了一种定义概率的方法，更重要概率的统计定义不仅提供了一种定义概率的方法，更重要的是给了一种估算概率的方法在实际问题中，事件发生的概率往的是给了一种估算概率的方法在实际问题中，事件发生的概率往往是未知的，由于频率具有稳定性，我们就用大量试验中得到的频往是未知的，由于频率具有稳定性，我们就用大量试验中得到的频率值作为概率的近似值率值作为概率的近似值注注注注2 2 2 2：但上述定义存在着明显的不足，首先，人们无法把一个试但上述定义存在着明显的不足，首先，人们无法把一个试验无限次的重复下去，因此要精确获得频率的稳定值是困难的其验无限次的重复下去，因此要精确获得频率的稳定值是困难的其次，定义中对频率与概率关系的描述是定性的、非数学化的，从而次，定义中对频率与概率关系的描述是定性的、非数学化的，从而容易造成误解容易造成误解 注注注注3 3 3 3：定义定义2 2中的叙述易使人想到概率是频率的极限，概率是否为中的叙述易使人想到概率是频率的极限，概率是否为频率的极限，以什么方式趋于概率呢？频率的极限，以什么方式趋于概率呢？定义定义2：在相同的条件下进行：在相同的条件下进行n次重复试验，当次重复试验，当n趋于无穷大时，事趋于无穷大时，事27“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。1.2.2 概率的公理化定义概率的公理化定义定义定义3：若对随机试验：若对随机试验E所对应的样本空间所对应的样本空间 中的每一事件中的每一事件A，均赋予一实数，均赋予一实数P(A)，集合函数，集合函数P(A)满足条件：满足条件：(1)非负性公理：非负性公理：P(A)0；(2)规范性公理：规范性公理：P()1，P()0；(3)可列可加性公理可列可加性公理：设设A1，A2，,是一列两两互不相容是一列两两互不相容的事件，即的事件，即AiAj，(i j),i,j1,2,有有 P(A1 A2 )P(A1)P(A2)+.则称则称P(A)为事件为事件A的的概率概率概率概率。1.2.2 概率的公理化定义定义概率的公理化定义定义3：若对随机试验：若对随机试验E所对应的所对应的28“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。性质性质 1v概率的性质概率的性质性质性质 2（有限可加性有限可加性）设设A1，A2，,An是一列两两是一列两两互不相容互不相容的事件，即的事件，即AiAj，(i j),i,j1,2,n，有有 P(A1 A2 An )P(A1)P(A2)+.P(An)性质性质 3 （互补性互补性）性质性质4 P(A-B)=P(A)-P(AB).性质性质 5（加法公式）（加法公式）对于任意事件对于任意事件A,B，有，有 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).性质性质 1概率的性质性质概率的性质性质 2（有限可加性）设（有限可加性）设A1，A2，,29“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。推广：推广：2）设设A1，A2，An 是是 n 个随机事件，个随机事件，则则推广：推广：2）设设A1，A2，An 是是 n 个随机事件，个随机事件，则则30“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。性质性质 6（可分性可分性）对任意两事件A、B,有 P(A)P(AB)P(AB),P(B)P(AB)P(AB)例例1-5 设A,B为两个随机事件,P(A)=0.5,P(AB)=0.8,P(AB)=0.3,求求P(B).解解 由P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),得 P(B)=P(AB)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6.性质性质 6（可分性）（可分性）对任意两事件对任意两事件A、B,有例有例1-5 设设31“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。解解 由性质6可知，例例1-6 设A,B两个随机事件,P(A)=0.8,P(AB)=0.5,求P(AB).P(AB)=P(A)-P(AB)=0.8-0.5=0.3例例1-7 设设A与与B互不相容互不相容,P(A)=0.5,P(B)=0.3,求求P(AB).解解 P(AB)=P()=1-P(AB)=1-P(A)+P(B)=1-(0.5+0.3)=0.2 解解 由性质由性质6可知，例可知，例1-6 设设A,B两个随机事件两个随机事件,P(32“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。概率论第一章概率论第一章ppt课件课件33“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。本节课主要讲授：本节课主要讲授：1.概率的统计定义；概率的统计定义；2.概率的公理化定义；概率的公理化定义；3.概率的性质（概率的性质（重点重点）。）。小小 结结本节课主要讲授：小本节课主要讲授：小 结结34“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。1.3 古典概型与几何概型古典概型与几何概型1.3.1 古典概型古典概型2.2.等可能性等可能性：每个基本事件发生的可能性相同.理论上理论上,具有下面两个特点的随机试验的概率模型具有下面两个特点的随机试验的概率模型,称为称为古典概型（或等可能概型）古典概型（或等可能概型）：1.1.有限性：有限性：基本事件的总数是有限的,换句话说样本空间仅含有有限个样本点;1.3 古典概型与几何概型古典概型与几何概型1.3.1 古典概型古典概型2.等等35“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。设事件A中所含样本点个数为r,样本空间中样本点总数为n,则有古典概型的概率计算公式古典概型的概率计算公式:设事件设事件A中所含样本点个数为中所含样本点个数为r,样本空间样本空间36“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。例例1-9 从从1,2,9这这9个数字中任意取一个数个数字中任意取一个数,取后放回取后放回,而而后再取一数后再取一数,试求取出的两个数字不同的概率试求取出的两个数字不同的概率.解解 基本事件总数基本事件总数n=92,因为第一次取数有因为第一次取数有9中可能取法中可能取法,这这时可重复排列问题时可重复排列问题.设设A表示表示“取出的两个数字不同取出的两个数字不同”.A包含的基本事件包含的基本事件数数9*8因为第一次取数有因为第一次取数有9中可能取法中可能取法,为保证两个数不同为保证两个数不同,第二第二次取数应从另外的次取数应从另外的8个数中选取个数中选取,有有8中可能取法中可能取法,r=9*8,故故 P(A)=rn=9*892=89例例1-9 从从1,2,9这这9个数字中任意取一个数个数字中任意取一个数,取后放取后放37“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。例例1-10 袋中有袋中有5个白球个白球3个黑球个黑球,从中任取两个从中任取两个,试求取到的试求取到的两个球颜色相同的概率。两个球颜色相同的概率。解解 从从8个球中任意取两个个球中任意取两个,共有共有 种取法种取法,即基本事件总即基本事件总 数数 .记记A表示表示“取到的两个球颜色相同取到的两个球颜色相同”,A包含两种可包含两种可能能:全是全是白球白球或全是或全是黑球黑球.全是白球有全是白球有 种取法种取法,全是黑球有全是黑球有 种取法种取法,由加法原理由加法原理 知知,A的取法共的取法共 中中,即即A包含的基本事件数包含的基本事件数 r=故故例例1-10 袋中有袋中有5个白球个白球3个黑球个黑球,从中任取两个从中任取两个,试求取到的试求取到的38“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。解：解：(1)例例1-11 将将r个人随机地分配到个人随机地分配到n(r n)个房间里，设个房间里，设 A=“某指定的某指定的r个房间中各有一人个房间中各有一人”，B=“恰有恰有r个房间中各有一人个房间中各有一人”，C=“某指定房间恰有某指定房间恰有k(k r)人人”，求求A、B、C的概率的概率.(2)(3)解：解：(1)例例1-11 将将r个人随机地分配到个人随机地分配到n(r n39“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。概率论第一章概率论第一章ppt课件课件40“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。概率论第一章概率论第一章ppt课件课件41“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。说明：不管是放回抽样还是不放回抽样，也不管取球的先后顺序如何，每次取到白球的概率都是一样的 我们日常生活中的抓阄，就是不放回抽样，可见不管第几个去抽，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无关 说明：不管是放回抽样还是不放回抽样，也不管取球的先后顺序如何说明：不管是放回抽样还是不放回抽样，也不管取球的先后顺序如何42“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。把有限个样本点推广到无限个样本点的场把有限个样本点推广到无限个样本点的场合合,人们引入了人们引入了几何概型几何概型.由此形成了确定概率由此形成了确定概率的另一方法的另一方法 几何方法几何方法.概率的古典定义具有可计算性的优点概率的古典定义具有可计算性的优点,但它也有明显的局但它也有明显的局限性限性.要求样本要求样本点有限点有限,如果样本空间中的样本点有无限个如果样本空间中的样本点有无限个,概概率的古典定义就不适用了率的古典定义就不适用了.1.3.2 几何概型几何概型 把有限个样本点推广到无限个样本点的场合把有限个样本点推广到无限个样本点的场合,人们人们43“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。当随机试验的样本空间是某个区域当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点并且任意一点落在度量落在度量(长度长度,面积面积,体积体积)相同的子区域是等可相同的子区域是等可能的能的,则事件则事件 A 的概率可定义为的概率可定义为说明说明：当古典概型的试验结果为连续无穷多个时：当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为就归结为几何概率几何概率.当随机试验的样本空间是某个区域当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量并且任意一点落在度量(长度长度44“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。例例1-13（约约会会问问题题）甲甲乙乙两两人人约约定定在在下下午午6 6点点到到7 7点点之之间间在在某某处处会会面面，并并约约定定先先到到者者应应等等候候另另一一人人2020分分钟，过时即可离去，求两人能会面的概率钟，过时即可离去，求两人能会面的概率解：以解：以x x和和y y分别表示甲乙两人到分别表示甲乙两人到达约会地点的时间（以分钟为达约会地点的时间（以分钟为单位），在平面上建立单位），在平面上建立xOyxOy直直角坐标系，见图角坐标系，见图1-11-1因为甲乙因为甲乙都是在都是在0 0到到6060分钟内等可能到达，分钟内等可能到达，所以由等可能性知这是一个几何概型问题所以由等可能性知这是一个几何概型问题 会面问题会面问题例例1-13（约会问题）甲乙两人约定在下午（约会问题）甲乙两人约定在下午6点到点到7点之间在某处点之间在某处45“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。样本空间 =(x，y)：0 x，y 60事件A=“甲乙将会面”=(x，y)：|x y|20因此 样本空间样本空间46“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。概率论第一章概率论第一章ppt课件课件47“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。本节课的重点：本节课的重点：小小 结结 （1）古典概型事件概率的计算；（2）几何概型事件概率的计算.本节课的重点：小本节课的重点：小 结结 48“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。1.4.1 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式例例1-15 一家庭有两个孩子，考虑：(1)求两个都是男孩的概率；(2)已知其中一个是男孩，求另一个也是男孩的概率；(3)已知老大是男孩，求老二也是男孩的概率1.4 条件概率条件概率 定义定义1：已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率,记作P(B|A).解：用g表示女孩，b表示男孩，则样本空间为(b,b)，(b,g)，(g,b)，(g,g)，其中括号中第一个位置表示老大，第二个位置表示老二。1.4.1 条件概率与乘法公式例条件概率与乘法公式例1-15 一家庭有两个孩一家庭有两个孩49“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。（2）事件B1=“其中一个是男孩”，B2=“另一个也是男孩”，显然此时的样本空间为 B1=(b,b),(b,g),(g,b)。则事件B1发生的条件下，B2发生的条件概率为P(B2|B1)=1/3.（1）事件A=“两个都是男孩”，显然 P(A)=1/4.（3）事件C1=“老大是男孩”，C2=“老二也是男孩”，显然此时的样本空间为 C1=(b,b),(b,g)。则事件C1发生的条件下，C2发生的条件概率为P(C2|C1)=1/2.（2）事件）事件B1=“其中一个是男孩其中一个是男孩”，B2=“另一个也是男孩另一个也是男孩”50“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。例如：某班有30名学生，其中20名男生，10名女生，身高1.70米以上的有15名，其中12名男生，3名女生。（1）任选一名学生，问该学生的身高在1.70米以上的概率是多少？（2）任选一名学生，选出来后发现是个男生，问该同学的身高在1.70米以上的概率是多少？例如：某班有例如：某班有30名学生，其中名学生，其中20名男生，名男生，10名女生，身高名女生，身高1.51“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。定义定义2 设A,B是两个事件,且P(B)0,称 为在事件B发生条件下事件A发生的概率.显然，P(A)0时，计算条件概率有两个基本的方法：计算条件概率有两个基本的方法：n 用定义计算，即在原样本空间中计算P(AB)与P(B)之比；n 在古典概型中利用古典概型的计算方法直接计算，即在新样本空间B中直接计算A发生的概率.定义定义2 设设A,B是两个事件是两个事件,且且P(B)0,称称 52“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。例例1-11-16 6 在全部产品中有在全部产品中有4%4%是废品是废品,有有72%72%为一等品为一等品.现从现从中任取一件为合格品中任取一件为合格品,求它是一等品的概率求它是一等品的概率.解解 设A表示“任取一件为合格品”,B表示“任取一件为一等品”,显然B A,P(A)=96%,P(AB)=P(B)=72%,则所求概率为例例1-16 在全部产品中有在全部产品中有4%是废品是废品,有有72%为一等品为一等品.现现53“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。解解 设A表示“第一次取球取出的是白球”,B表示“第二次取球取出的是黑球”,所求概率为P(B|A).由于第一次取球取出的是白球,所以第二次取球时盒中有5个黑球2个白球,由古典概型的概率计算方法得例例1-17 盒中有盒中有5个黑球个黑球3个白球个白球,连续不放回的从中取两连续不放回的从中取两次球次球,每次取一个每次取一个,若已知第一次取出的是白球若已知第一次取出的是白球,求第二次取求第二次取出的是黑球的概率出的是黑球的概率.解解 设设A表示表示“第一次取球取出的是白球第一次取球取出的是白球”,B表示表示“第二次取第二次取 54“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。例例1-18 盒中有黄白两色的乒乓球盒中有黄白两色的乒乓球,黄色球黄色球7个个,其中其中3个是新个是新球球;白色球白色球5个个,其中其中4个是新球个是新球.现从中任取一球是新球现从中任取一球是新球,求它求它是白球的概率是白球的概率.解解1 设A表示“任取一球为新球”,B表示“任取一球为白球”,由古典概型的等可能性可知,所求概率为解解2 设A表示“任取一球为新球”,B表示“任取一球为白球”,由条件概率公式可得 例例1-18 盒中有黄白两色的乒乓球盒中有黄白两色的乒乓球,黄色球黄色球7个个,其中其中3个个55“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。性质2 若A与B互不相容，则 性质3 条件概率的性质条件概率的性质性质1若事件 ，两两互不相容，且P(B)0，则性质性质2 若若A与与B互不相容，则互不相容，则 性质性质3 条件概率的性质条件概率的性质56“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。概率的乘法公式概率的乘法公式当当 P(A)0 时，有时，有 P(AB)=P(A)P(B|A).当当 P(B)0 时，有时，有 P(AB)=P(B)P(A|B).乘法公式还可以推广到n个事件的情况：设设 P(AB)0 时，则时，则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).设 P(A1A2An-1)0,则P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1).概率的乘法公式概率的乘法公式57“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。例例1-1-1919 在在1010个产品中个产品中,有有2 2件次品件次品,不放回的抽取不放回的抽取2 2次产品次产品,每次取一个每次取一个,求取到的两件产品都是次品的概率求取到的两件产品都是次品的概率.解解 设A表示“第一次取产品取到次品”,B表示“第二次取产品取到次品”,则 故 例例1-19 在在10个产品中个产品中,有有2件次品件次品,不放回的抽取不放回的抽取2次产次产58“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。例例1-1-20 20 袋中有a只白球，b只黑球，从中任意