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卡尔曼滤波的直观 推导卡卡尔尔曼曼滤滤波的直波的直观观 推推导导1、kalman滤波问题考虑一离散时间的动态系统，它由描述状态向量的过程方程和描述观测向量的观测方程共同表示。（1）、过程方程 式中，M 1向量x(n)表示系统在离散时间n的状态向量，它是不可观测的；M M矩阵F（n+1,n）成为状态转移矩阵，描述动态系统在时间n的状态到n+1的状态之间的转移，应为已知。而M 1向量 为过程噪声向量，它描述状态转移中间的加性噪声或误差。1、kalman滤滤波波问题问题考考虑虑一离散一离散时间时间的的动态动态系系统统，它由描述状，它由描述状1、kalman滤波问题（1）、观测方程 式中，N 1向量y(n)表示动态系统在时间n的观测向量；N M矩阵C（n）称为观测矩阵（描述状态经过其作用，变成可预测的），要求也是已知的；v2(n)表示观测噪声向量，其维数与观测向量的相同。过程方程也称为状态方程，为了分析的方便，通常假定过程噪声v1(n)和观测噪声v2(n)均为零均值的白噪声过程，它们的相关矩阵分别为：1、kalman滤滤波波问题问题（1）、）、观测观测方程方程1、kalman滤波问题1、kalman滤滤波波问题问题1、kalman滤波问题还假设状态的初始值x(0)与v1(n)、v2(n)，n 0均不相关，并且噪声向量v1(n)与v2(n)也不相关，既有：1、kalman滤滤波波问题还问题还假假设设状状态态的初始的初始值值x(0)与与v1(n2、新息过程考虑一步预测问题，给定观测值y(1),.，y(n-1)，求观测向量y(n)的最小二乘估计，记作（1）、新息过程的性质 y(n)的新息过程定义为：式中，N 1向量 表示观测数据y(n)的新的信息，简称新息。2、新息、新息过过程考程考虑虑一步一步预测问题预测问题，给给定定观测值观测值y(1),.，2、新息过程新息 具有以下性质：性质1 n时刻的新息 与所有过去的观测数据y(1),.，y(n-1)正交，即：性质2 新息过程由彼此正交的随机向量序列 组成，即有 2、新息、新息过过程新息程新息 具有以下性具有以下性质质：2、新息过程性质3 表示观测数据的随机向量序列y(1),y(n)与表示新息过程的随机向量序列a(1),a(n)一一对应，即以上性质表明：n时刻的新息a(n)是一个与n上课之前的观测数据y(1),.，y(n-1)不相关，并具有白噪声性质的随机过程，但它却能够提供有关y(n)的新息，这就上信息的内在物理含义。2、新息、新息过过程性程性质质3 表示表示观测观测数据的随机向量序列数据的随机向量序列y(12、新息过程（2）、新息过程的计算 下面分析新息过程的相关矩阵 在kalman滤波中，并不直接估计观测数据向量的进一步预测 ，而是先计算状态向量的一步预测然后再用到下式得到 ：2、新息、新息过过程（程（2）、新息）、新息过过程的程的计计算算2、新息过程将上式代入新息过程的定义式（6），可得到：这就是新息过程的实际计算公式，条件是：一步预测的状态向量估计 业已求出。定义向量的一步预测误差：2、新息、新息过过程将上式代入新息程将上式代入新息过过程的定程的定义义式（式（6），可得到：），可得到：2、新息过程将此式代入式（13），则有在新息过程的相关矩阵定义式（10）中代入式（14），并注意到观测矩阵C（n）是一已知的确定矩阵，故有式中Q2(n)是观测噪声v2(n)的相关矩阵，而表示（一步）预测状态误差的相关矩阵2、新息、新息过过程将此式代入式（程将此式代入式（13），），则则有有3、kalman滤波算法由上一节的的新息过程的相关知识和信息后，即可转入kalman滤波算法的核心问题的讨论：如何利用新息过程估计状态向量的预测？最自然的方法是用新息过程序列a(1),a(n)的线性组合直接构造状态向量的一布预测：式中W1(k)表示与一步预测项对应的权矩阵，且k为离散时间。现在的问题是如何确定这个权矩阵？（1）、状态向量的一布预测 根据正交性原理，最优预测的估计误差3、kalman滤滤波算法由上一波算法由上一节节的的新息的的新息过过程的相关知程的相关知识识和信息和信息3、kalman滤波算法应该与已知值正交，故有将式（18）代入（19），并利用新息过程的正交性，得到由此可以求出权矩阵的表达式：3、kalman滤滤波算法波算法应该应该与已知与已知值值正交，故有正交，故有3、kalman滤波算法 将式（20）代入式（18），状态向量的一步预测的最小均方估计可表示为注意到 并利用状态方程(1)，易知下式对k=0，1，n成立：3、kalman滤滤波算法波算法 将式（将式（20）代入式（）代入式（18），状），状态态3、kalman滤波算法将式（22）代入式（21）右边第一项（求和项），可将其化简为：3、kalman滤滤波算法波算法3、kalman滤波算法若定义 并将式（23）和式（24）代入式（21），则得到状态向量一步预测的更新公式：式（25）在kalman滤波算法中起着关键的作用，因为它表明，n+1时刻的状态向量的一步预测分为非自适应（即确定）部分 和自适应（即校正）部分G(n)a(n)。从这个意义上讲，G(n)称为kalman增益（矩阵）是合适的。3、kalman滤滤波算法若定波算法若定义义3、kalman滤波算法（2）、kalman增益的计算 为了完成kalman自适应滤波算法，需要进一步推导kalman增益的实际计算公式。由定义式（24）知，只需要推导期望项 的具体计算公式即可。将新息过程的计算公式（13）代入式（22），不难得出：这里使用了状态向量与观测噪声不相关的事实。进一步地，由正交原理引理知，在最小均方误差准则下求得的一步预测估 与预测误差e(n,n-1)彼此正交，即3、kalman滤滤波算法（波算法（2）、）、kalman增益的增益的计计算算3、kalman滤波算法因此，由式(26)及式(27)易得：将式(27)代入式(24)，便得到kalman增益的计算公式如下：式中R(n)是信息过程的相关矩阵，由式(10)定义。3、kalman滤滤波算法因此，由式波算法因此，由式(26)及式及式(27)易得：易得：3、kalman滤波算法（3）、Riccati方程 由式(28)表示的kalman增益与预测状态误差的相关矩阵K(n,n-1)有关，为了最后完成kalman自适应滤波算法，还需要再推导K(n,n-1)的递推公式。考察状态向量的预测误差：将状态方程(1)和状态向量的一步预测更新公式(25)代入式(29)中，有：将观测方程(2)代入上式，并代入 ，则有：3、kalman滤滤波算法（波算法（3）、）、Riccati方程方程3、kalman滤波算法求式(3)所示状态向量的一步预测误差向量的相关矩阵，容易证明：式中使用了e(n+1,n)，v1(n)，v2(n)彼此不相关的事实，以及和 等关系式。对式(31)的右边进行展开，然后代入式(28)和(29)，可以证明：状态向量预测误差的相关矩阵的递推公式为：式中 式(32)称为Riccati差分方程。3、kalman滤滤波算法求式波算法求式(3)所示状所示状态态向量的一步向量的一步预测误预测误差差3、kalman滤波算法若定义 是利用已知的y(1),y(n)求得的状态向量的滤波估计，则定义滤波状态向量的误差向量，可以证明：因此，Riccati差分方程中的矩阵P(n)事实上是滤波误差状态向量的相关矩阵。（4）、kalman滤波算法 将上面推导得到的式(28)、(16)、(13)、(25)、(33)和(32)依次加以归纳，得到基于一步预测的kalman自适应滤波算法如下。初始条件：3、kalman滤滤波算法若定波算法若定义义 是利用已知的是利用已知的y3、kalman滤波算法输入观测向量过程：观测向量=y(1),y(n)已知参数：状态转移矩阵F(n+1,n)观测矩阵C(n)过程噪声向量的相关矩阵Q1(n)观测噪声向量的相关矩阵Q2(n)计算：n=1,2,3,3、kalman滤滤波算法波算法输输入入观测观测向量向量过过程：程：3、kalman滤波算法 Kalman滤波器是一种线性的离散时间有限维系统。Kalman滤波器的估计性能是：它使滤波后的状态估计误差的相关矩阵P(n)的迹最小化。这意味着，kalman滤波器是状态向量x(n)的线性最小差估计。由前面的公式可以得出kalman滤波算法的结构图，如下：3、kalman滤滤波算法波算法 3、kalman滤波算法3、kalman滤滤波算法波算法
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