中南大学线性代数4.1-4.2特征值与特征向量ppt课件

第一节 特征值与特征向量第四章二、二、特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念四、四、小结小结一、一、正交矩阵与正交变换正交矩阵与正交变换三、三、特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质第一节 特征值与特征向量第四章二、特征值与特征向量的概念1证明证明定义定义定理定理一、正交矩阵与正交变换 方阵方阵 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列的列（行）向量组是（行）向量组是正交的正交的单位向量组单位向量组说明：说明：证明定义定理一、正交矩阵与正交变换 方阵 为正交矩阵2由上述定理可知：由上述定理可知：3性质性质 正交变换保持向量的内积正交变换保持向量的内积长度及夹角不变长度及夹角不变证明证明定义定义 若若 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为正交称为正交变换，即变换，即正交矩阵的性质：正交矩阵的性质：性质 正交变换保持向量的内积长度及夹角不变证明定义 4说明说明二、特征值与特征向量说明二、特征值与特征向量5中南大学线性代数46例例 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值，是是A的属于的属于的特征向量，则的特征向量，则证明证明再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得例 证明：若 是矩阵A的特征值，是A的属于7中南大学线性代数48证明：证明：证明：9证明证明则则即即类推之，有类推之，有三、特征值和特征向量的性质证明则即类推之，有三、特征值和特征向量的性质10把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得11注意注意.属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无关的.属于同一特征值的特征向量的非零线性组属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量合仍是属于这个特征值的特征向量注意.属于不同特征值的特征向量是线性无关的.属12.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值可以对应无穷多个特征向量；而言的，一个特征值可以对应无穷多个特征向量；但是一个特征向量只能属于一个特征值但是一个特征向量只能属于一个特征值.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值13例例1 1 解解例1 解14中南大学线性代数415例例2 2 设设求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解例2 设求A的特征值与特征向量解16中南大学线性代数417得基础解系为：得基础解系为：得基础解系为：18解解解19方法一方法一方法二方法二方法一方法二20方法三方法三方法三21例例4 4 设设A是是 阶方阵，其特征多项式为阶方阵，其特征多项式为解解例4 设A是 阶方阵，其特征多项式为解221 1 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：四、小结2.2.正交矩阵的性质：正交矩阵的性质：1 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：四、小结2.233.求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：3.求矩阵特征值与特征向量的步骤：24思考题思考题25解解解26中南大学线性代数427