中南大学线性代数1.2行列式ppt课件

第二节 行列式第一章一、一、n n 阶行列式的定义阶行列式的定义三、三、行列式按行行列式按行(列列)展开展开二、行列式的性质二、行列式的性质四、四、小结小结第二节 行列式第一章一、n 阶行列式的定义三、行列式按一、二阶行列式的概念一、二阶行列式的概念一、二阶行列式的概念一、二阶行列式的概念数数 aij(i,j=1,2)表示第表示第 i 行第行第 j 列的元素列的元素.副对角线主对角线定义定义二阶行列式二阶行列式二阶行列式二阶行列式说明说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则一、二阶行列式的概念数 aij(i,j=1,2)定义定义二、三阶行列式二、三阶行列式二、三阶行列式二、三阶行列式其中其中 aij(i,j=1,2,3)表示第表示第 i 行第行第 j 列上的元素列上的元素.三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式的计算可如下图:+定义二、三阶行列式其中 aij(i,j=1,2,定理定理定义定义三、排列与逆序数三、排列与逆序数三、排列与逆序数三、排列与逆序数为了得到 n 阶行列式的定义和讨论其性质,先引 入排列和逆序数的概念.由由自自然然数数 1,2,n 组组成成的的一一个个有有序序数数组组，称称为为一一个个 n n n n 级级级级排排排排列列列列.其其中中若若某某两两数数之之间间前前面面的的数数大大于于后后面面的的数数,则则称称它它们们构构成成一一个个逆逆逆逆序序序序.一一个个排排列列中中所所有有逆逆序序的的总数称为该总数称为该排列的逆序数排列的逆序数排列的逆序数排列的逆序数.n 级排列(i1 i2in)的逆序数记为(i i1 1i i2 2i in n),简记为.例如,四级排列 2314 中,2与1,3 与 1 构成逆序,故(2314)=2;再如六级排列 243516 中,2 与 1,4 与 1,3 与 1,5与 1,4 与 3 均构成逆序,故(243516)=5.奇、偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列偶排列偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列奇排列奇排列.如四级排列 2314 是偶排列，而六级排列 243516 为奇排列.对换：将一个排列某两个数的位置互换而其余的数不动,则称对该排列作了一次对换对换.如排列 31524 是排列 21534 经过 2 与 3 对换而得,而(21534)=3,(31524)=4,即经过对换后排列的奇偶性改变了.一次对换改变排列的奇偶性一次对换改变排列的奇偶性.定理定义三、排列与逆序数为了得到 n 阶行列式的定义和讨四、四、四、四、n n 阶行列式的定义阶行列式的定义阶行列式的定义阶行列式的定义利用排列与逆序数的概念,可以看出三阶行列式中共 3!=6 项,其中一半带正号,一半带负号.(123)=0(312)=2(231)=2(321)=3(132)=1(213)=1其中 是对所有三级排列(j1 j2 j3)求和.三阶行列式可记为其中 是对所有二级排列(j1 j2)求和.同样,二阶行列式四、n 阶行列式的定义利用排列与逆序数的概念,可以看出三例1解解解解定义定义仿此,可得n n n n 阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式其中其中 是对所有是对所有 n 级排列级排列(j1 j2jn)求和求和,而而 aij 仍称为第仍称为第 i 行第行第 j 列的元素列的元素.由定义 可知,n 阶行列式是所有取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和,且共有 n!项,其中一半带正号,一半带负号.在一个五阶行列式中 a13 a24 a32 a41a55 的前面应取什么符号?由于(3 4 2 1 5)=5,列下标为奇排列 ,故 a13 a24 a32 a41 a55 前应带负号.上一页例1解定义仿此,可得n 阶行列式其中 是对所有 n 上一页例例2 2 计算计算上上三角行列式三角行列式展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解上一页例2 计算上三角行列式展开式中项的一般形式是所以例3计算下列 n 阶行列式(称为下三角行列式)由定义，D 中取自不同行不同列的 n 个元素的乘积，除了 a11 a22 ann 外，其余全为 0，而 a11 a22 ann 的 列下标的排列为 (12 n),(1 2 n)=0,D=(1)0 a11 a22 ann故解解解解作为例 3 的 特例，可知下面的 n 阶行列式(称为对角行列式)上一页=a11 a22 ann例3计算下列 n 阶行列式(称为下三角行列式)例4 计算 n 阶行列式取 D 中不在同一行不在同一 列的 n 个元素的乘积,除 a1n a2,n-1 an1 外,其余全为 0,而 a1n a2,n-1 an1 的列下标的排列为(n,n1,1),故解解解解由例 4 立即可知上一页例4 计算 n 阶行列式取 D 中不在同一行不在同一 列的在 n 阶行列式的定义中，为了确定每一项的符号，把 n 个元素的行下标均按自然顺序排列.事实上，数的乘法是可交换的，因而这 n 个元素相乘时次序可以是任意的，故有定理定理n 阶行列式的定义也可写成阶行列式的定义也可写成由上述定理还可知道,若将列下标按自然顺序排列,则有小结:n 阶行列式的定义有三种形式：上一页在 n 阶行列式的定义中，为了确定每一项的符号，把 n 个元性质性质1 1n 阶行列式与它的转置行列式相等阶行列式与它的转置行列式相等.则 D=DT .即如：如：由此可得行列式的下列性质由此可得行列式的下列性质由此可得行列式的下列性质由此可得行列式的下列性质性质1n 阶行列式与它的转置行列式相等.则 由性质 1 可知上三角行列式下三角行列式三角行列式上一页由性质 1 可知上三角行列式下三角行列式三角行列式上一页性质性质1 1按定义计算行列式较麻烦按定义计算行列式较麻烦,因此有必要讨论行列式的性质以简化行列式的计算因此有必要讨论行列式的性质以简化行列式的计算.行列互换，行列式的值不变行列互换，行列式的值不变.即五、行列式的性质五、行列式的性质五、行列式的性质五、行列式的性质说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立对行成立的对列也同样成立.则 D=DT .性质1按定义计算行列式较麻烦,因此有必要讨论行列式的性质以性质性质2 2交换交换 n 阶行列式的任意两行阶行列式的任意两行(列列),行列式仅改变符号行列式仅改变符号.即即这是因为行列式 D 的这两行互换后得 D =D,从而 D =0.如二阶行列式而两者异号.推论推论1 1若若 n 阶行列式有两行阶行列式有两行(列列)的对应元素相同的对应元素相同,则行列式为零则行列式为零.上一页性质2交换 n 阶行列式的任意两行(列),行列式仅性质性质3 3把行列式的某行把行列式的某行(列列)的所有元素同乘以数的所有元素同乘以数 k,等于该行列式乘以数等于该行列式乘以数 k.即即由性质 3 可知,若行列式某行若行列式某行(列列)有公因式则可提出来有公因式则可提出来。结合性质 2 和性质 3,有 若若 n n 阶行列式有两行阶行列式有两行(列列)对应元素成比例对应元素成比例,则该行列式为零则该行列式为零.若若 n n 阶行列式有某行阶行列式有某行(列列)全为零全为零,则行列式为零则行列式为零.推论推论2 2推论推论3 3证证证证=右上一页性质3把行列式的某行(列)的所有元素同乘以数 k,等于性质性质4 4若若 n n 阶行列式的某行阶行列式的某行(列列)的各元素是两个数的和的各元素是两个数的和,则该行列式等于则该行列式等于两个行列式的和两个行列式的和.即即如=10 ,而即上一页性质4若 n 阶行列式的某行(列)的各元素是两个数的和,则该性质性质5 5把把 n 阶行列式的某行阶行列式的某行(列列)的各元素乘以数的各元素乘以数 k 后加到另一行后加到另一行(列列)的对应元素上去的对应元素上去,行列式的值不变行列式的值不变.即即性质 5 可由性质 4 及性质 3 的推论 2 得出.如两者相等.上一页性质5把 n 阶行列式的某行(列)的各元素乘以数 行列式还有三条推论：行列式还有三条推论：1.行列式 D 有两行(列)各元素对应相同，则 D=0；2.行列式 D 有两行(列)各元素对应成比例，则 D=0；3.行列式 D 有某行(列 )各元素全为零，则 D=0.由上节例 2 可知上（下）三角形行列式简单易求,因此对任一行列式,可利用行列式的性质,将其化为 一个与之相等的上（下）三角形行列式,从而简化行列式的计算.为表达简捷,计算行列式时,以 ri 表示每 i 行,ci以 k 加到第 i 行记作 ri+krj.，将第 j 行乘表第 i 列,交换 i,j 两行记作小结：小结：2.交换行列式的两行(列)，行列式仅变号;3.行列式某行(列)的公因式可提出；4.行列式某行(列)的元素均为两数之和，则原行列式等于另两行列式之和；5.行列式某行(列)的各元素乘以数 k 后加到另一行(列)对应元素上去，行列式的值不变.行列式有五条性质：行列式有五条性质：上一页1.行列互换，行列式的值不变.行列式还有三条推论：1.行列式 D 有两行(列)r3+4r2r48r2例1计算行列式解解解解上一页r3+4r2r48r2例1计算行列式解上一页例2解解解解计算 n 阶行列式(i 1)上一页例2解计算 n 阶行列式(i 1)上一页例3解解解解计算 n 阶行列式ri+r1(i 1)上一页例3解计算 n 阶行列式ri+r1(i 1)上一页六、行列式按行六、行列式按行六、行列式按行六、行列式按行(列列列列)展开展开展开展开计算行列式时,除将其化为三角行列式外,还可考虑将高阶行列式化为低阶行列式直至二阶行列式,因为二阶行列式的计算极为简单,为此引入余子式和代数余子式的概念.定义定义在在 n 阶阶行行列列式式中中,去去掉掉 aij(i,j=1,2,n)所所在在的的行行与与所所在在列列后后剩剩下下的的 n 1 阶阶行行列列式式称称为为元元素素 aij 的的余余余余子子子子式式式式,记记为为 Mij.余余子子式式 Mij 带带上上符符号号(1)i+j 则称为元素则称为元素 aij 的的代数余子式代数余子式,记为记为 Aij,即即 Aij=(1)i+j Mij .元素 a11=1的余子式和代数余子式分别为如三阶行列式中,元素 a12=2 的余子式和代数余子式分别为而元素 a13=3 的余子式和代数余子式分别为六、行列式按行(列)展开计算行列式时,除将其化为三角行列式 通过直接计算可知而两者相等,这个现象不是偶然的.事实上,有定理定理1 1(Laplace 展开定理展开定理)行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列)的各元素与其对应的代数余的各元素与其对应的代数余子式乘积之和子式乘积之和.D=或或D=即即上一页 通过直接计算可知而两者相等,这个现象不是偶然的.事实上Laplace 展开定理又称为行行列列式式按按行行(列列)展展开开的的法法则则.利用这一法则并结合行列式的性质,可把高阶行列式的计算化为低阶行列式的计算,从而简化计算.用 Laplace 展开定理解例 1.c12c3c4+c3例4解解解解上一页Laplace 展开定理又称为行列式按行(列)展开的法则.例5计算 n 阶行列式将其直接按第一列展开,得解解解解上一页例5计算 n 阶行列式将其直接按第一列展开,得解上一页上一页推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证上一页推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元上一页同理同理相同相同上一页同理相同上一页关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质上一页关于代数余子式的重要性质例6证明范德蒙范德蒙(Vandermonde)(Vandermonde)行列式行列式其中 n 2,称为连乘号,这里表示所有可能的 xi xj (1 j i n)的乘积.上一页 证证用数学归纳法用数学归纳法例6证明范德蒙(Vandermonde)行列式其中 中南大学线性代数1例7解解解解原式=此为四阶范德蒙行列式,于是求四阶行列式例例8 8证明：证明：例7解原式=此为四阶范德蒙行列式,于是求四阶行列式例8证上一页证明证明上一页证明上一页上一页方阵的行列式方阵的行列式定义定义 由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或运算性质运算性质方阵的行列式定义 由 阶方阵 的元素所构 (行列式中行与列具有同等行列式中行与列具有同等的地位的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立样成立).计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义(两种两种);(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而求得行列式的值求得行列式的值七、小结行列式的行列式的5个性质个性质 思考题求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和解：解：第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成思考题求第一行各元素的代数余子式之和解：第一行各元素的代数余中南大学线性代数1中南大学线性代数1第二节 行列式第一章一、一、n n 阶行列式的定义阶行列式的定义三、三、行列式按行行列式按行(列列)展开展开二、行列式的性质二、行列式的性质四、小结四、小结第二节 行列式第一章一、n 阶行列式的定义三、行列式按一、二阶行列式的概念一、二阶行列式的概念定义定义二阶行列式二阶行列式二阶行列式二阶行列式主对角线副对角线数数 aij(i,j=1,2)表示第表示第 i 行第行第 j 列的元素列的元素.对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则说明说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式一、二阶行列式的概念定义二阶行列式主对角线副对角线数 aij二、三阶行列式二、三阶行列式其中其中 aij(i,j=1,2,3)表示第表示第 i 行第行第 j 列的元素列的元素.三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式的计算可如下图:定义定义 +二、三阶行列式其中 aij(i,j=1,2,3三、排列与逆序数三、排列与逆序数 为了得到 n 阶行列式的定义和讨论其性质,先引入排列和逆序数的概念.由由自自然然数数 1,2,n 组组成成的的一一个个有有序序数数组组，称称为为一一个个 n n n n 级级级级排排排排列列列列.其其中中若若某某两两数数之之间间前前面面的的数数大大于于后后面面的的数数,则则称称它它们们构构成成一一个个逆逆逆逆序序序序.一一个个排列中所有逆序的总数称为该排列中所有逆序的总数称为该排列的逆序数排列的逆序数排列的逆序数排列的逆序数.n 级排列(i1 i2in)的逆序数记为(i i1 1i i2 2i in n),简记为.例如六级排列 243516 中,2 与 1,4 与 1,3 与 1,5与 1,4 与 3 均构成逆序,故(243516)=5.三、排列与逆序数 为了得到 n 阶行列式的定定理定理奇、偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列偶排列偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列奇排列奇排列.如四级排列 2314 是偶排列，而六级排列 243516 为奇排列.对换：将一个排列某两个数的位置互换而其余的数不动,则称对该排列作了一次对换对换.如排列 31524 是排列 21534 经过 2 与 3 对换而得,而(21534)=3,(31524)=4,即经过对换后排列的奇偶性改变了.一次对换改变排列的奇偶性一次对换改变排列的奇偶性.定理奇、偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数四、四、n n 阶行列式的定义阶行列式的定义利用排列与逆序数的概念,可以看出三阶行列式中共 3!=6 项,其中一半带正号,一半带负号.(123)=0(312)=2(231)=2(321)=3(132)=1(213)=1三阶行列式可记为其中 是对所有三级排列(j1 j2 j3)求和.四、n 阶行列式的定义利用排列与逆序数的概念,可以看出三其中 是对所有二级排列(j1 j2)求和.同样,二阶行列式仿此,可得定义定义n n n n 阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式其中其中 是对所有是对所有 n 级排列级排列(j1 j2jn)求求和和 由定义可知,n 阶行列式是所有取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和,共有 n!项,其中一半带正号,一半带负号.其中 是对所有二级排列(j1 j2)求和.同样,例例1 1 计算计算上上三角行列式三角行列式展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解例1 计算上三角行列式展开式中项的一般形式是所以不为零计算下列 n 阶行列式(称为下三角行列式)由定义，D 中取自不同行不同列的 n 个元素的乘积，除了 a11 a22 ann 外，其余全为 0，而 a11 a22 ann 的 列下标的排列为 (12 n),(1 2 n)=0,D=(1)0 a11 a22 ann故=a11 a22 ann例例2 2解解计算下列 n 阶行列式(称为下三角行列式)作为例 2 的 特例，可知下面的 n 阶行列式(称为对角行列式)计算 n 阶行列式例例3 3作为例 2 的 特例，可知下面的 n 阶行列式(称为对角行列 取 D 中不在同一行不在同一 列的 n 个元素的乘积，除 a1n a2,n-1 an1 外，其余全为 0，而 a1n a2,n-1 an1 的列下标的排列为(n,n1,1),故由例 3立即可知解解 取 D 中不在同一行不在同一 列的 n 个元 在 n 阶行列式的定义中，为了确定每一项的符号，把 n 个元素的行下标均按自然顺序排列.事实上，数的乘法是可交换的，因而这 n 个元素相乘时次序可以是任意的，故有定理定理n 阶行列式的定义也可写成阶行列式的定义也可写成由上述定理可知，若将列下标按自然顺序排列，则有 在 n 阶行列式的定义中，为了确定每一项的符号，把 n小结:n 阶行列式的定义有三种形式：由此可得行列式的下列性质由此可得行列式的下列性质由此可得行列式的下列性质由此可得行列式的下列性质性质性质1 1行列式与它的转置行列式相等.小结:n 阶行列式的定义有三种形式：由此可得行列式的下列由性质 1 可知上三角行列式下三角行列式由性质 1 可知上三角行列式下三角行列式 按按定定义义计计算算行行列列式式较较麻麻烦烦,因因此此有有必必要要讨讨论论行行列列式式的的性质以简化行列式的计算性质以简化行列式的计算.行列互换，行列式的值不变行列互换，行列式的值不变.即五、行列式的性质五、行列式的性质说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立质凡是对行成立的对列也同样成立.性质性质1 1 按定义计算行列式较麻烦,因此有必要讨论行列式的性质以交换行列式的任意两行交换行列式的任意两行(列列),行列式仅改变符号行列式仅改变符号.即即如二阶行列式而两者异号.性质性质2 2交换行列式的任意两行(列),行列式仅改变符号.即这是因为行列式 D 的这两行互换后得 D =D,从而 D =0.推论推论1 1若若 n 阶行列式有两行阶行列式有两行(列列)的对应元素相同的对应元素相同,则行列式为零则行列式为零.性质性质3 3把行列式的某行把行列式的某行(列列)的所有元素同乘以数的所有元素同乘以数 k,等于该行列式乘以数等于该行列式乘以数 k.即即这是因为行列式 D 的这两行互换后得 D =由性质 3 可知,若行列式某行若行列式某行(列列)有公因式有公因式则可提出来则可提出来.结合性质 2 和性质 3,有推论推论2 2推论推论3 3证证证证=右行列式 D 有两行(列)各元素对应成比例，则 D=0 行列式 D 有某行(列 )各元素全为零，则 D=0.由性质 3 可知,若行列式某行(列)有公因式则 若若n n 阶行列式的某行阶行列式的某行(列列)的各元素是两个数的和的各元素是两个数的和,则该行列式等于两个行列式的和则该行列式等于两个行列式的和.即即性质性质4 4 若n 阶行列式的某行(列)的各元素是两个数的和,则该行列式 把把 n 阶行列式的某行阶行列式的某行(列列)的各元素乘以数的各元素乘以数 k 后后加到另一行加到另一行(列列)的对应元素上去的对应元素上去,行列式的值不变行列式的值不变.即即性质 5 可由性质 4 及性质 3 的推论 2 得出.性质性质5 5 把 n 阶行列式的某行(列)的各元素乘以数 小结：小结：2.交换行列式的两行(列)，行列式仅变号;3.行列式某行(列)的公因式可提出；4.行列式某行(列)的元素均为两数之和，则原行列式等于另两行列式之和；5.行列式某行(列)的各元素乘以数 k 后加到 另一行(列)对应元素上去，行列式的值不变.行列式有行列式有五条性质五条性质：1.行列互换，行列式的值不变.小结：2.交换行列式的两行(列)，行列式仅变号;3行列式还有行列式还有三条推论三条推论：1.行列式 D 有两行(列)各元素对应相同，则 D=0；2.行列式 D 有两行(列)各元素对应成比例，则 D=0；3.行列式 D 有某行(列 )各元素全为零，则 D=0.由前面例 2 可知上（下）三角形行列式简单易求,因此对任一行列式,可利用行列式的性质,将其化为 一个与之相等的上（下）三角形行列式,从而简化行列式的计算.为表达简捷,计算行列式时,以 ri 表示第 i 行,ci以 k 加到第 i 行记作 ri+krj.将第 j 行乘交换 i,j 两行记作表示第 i 列行列式还有三条推论：1.行列式 D 有两行(列)r3+4r2r48r2计算行列式解解解解例例1 1r3+4r2r48r2计算行列式解例1解解解解计算 n 阶行列式(i 1)例例2 2原式原式原式原式解计算 n 阶行列式(i 1)例2原式解解解解计算 n 阶行列式ri+r1(i 1)例例3 3解计算 n 阶行列式ri+r1(i 1)例3六、行列式按行六、行列式按行六、行列式按行六、行列式按行(列列列列)展开展开展开展开 计算行列式时,除将其化为三角行列式外,还可考虑将高阶行列式化为低阶行列式直至二阶行列式,因为二阶行列式的计算极为简单,为此引入余子式和代数余子式的概念.在在 n 阶阶行行列列式式中中,去去掉掉 aij(i,j=1,2,n)所所在在的的行行与与所所在在列列后后剩剩下下的的 n 1 阶阶行行列列式式称称为为元元素素 aij 的的余余余余子子子子式式式式,记记为为 Mij.余余子子式式 Mij 带带上上符符号号(1)i+j 则则称称为为元元素素 aij 的的代数余子式代数余子式,记为记为 Aij,即即 Aij=(1)i+j Mij .元素 a11=1的余子式如三阶行列式中,定义定义和代数余子式分别为六、行列式按行(列)展开 计算行列式时,除将其化为三角行列元素 a12=2 的余子式和代数余子式分别为而元素 a13=3 的余子式和代数余子式分别为元素 a11=1的余子式如三阶行列式中,和代数余子式分别为元素 a12=2 的余子式和代数余子式分别为而元素 通过直接计算可知而两者相等,这个现象不是偶然的.事实上,有 (Laplace 展开定理展开定理)行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.D=或或D=即即定理定理1 1通过直接计算可知而两者相等,这个现象不是偶然的.事实上,Laplace 展开定理又称为行行列列式式按按行行(列列)展展开开的的法法则则.利用这一法则并结合行列式的性质,可把高阶行列式的计算化为低阶行列式的计算,从而简化计算.用 Laplace 展开定理解例 1.c12c3c4+c3解解解解例例4 4 Laplace 展开定理又称为行列式按行(列)展开的法计算 n 阶行列式将其直接按第一列展开,得解解解解例例5 5计算 n 阶行列式将其直接按第一列展开,得解例5证明范德蒙范德蒙(Vandermonde)(Vandermonde)行列式行列式其中 n 2,称为连乘号,这里表示所有可能的 xi xj (1 j i n)的乘积.证证用数学归纳法用数学归纳法例例6 6证明范德蒙(Vandermonde)行列式其中 n 中南大学线性代数1解解解解原式=此为四阶范德蒙行列式,于是求四阶行列式例例8 8证明：证明：例例7 7解原式=此为四阶范德蒙行列式,于是求四阶行列式例8证明：证明证明证明中南大学线性代数1推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证 (Laplace 展开定理展开定理)行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代同理同理相同相同同理相同关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质方阵的行列式方阵的行列式定义定义 由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或运算性质运算性质方阵的行列式定义 由 阶方阵 的元素所构 (行列式中行与列具有同等行列式中行与列具有同等的地位的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立成立).计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义(两种两种);(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而求得行列式的值求得行列式的值七、小结行列式的行列式的5个性质个性质 思考题求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和解：解：第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成思考题求第一行各元素的代数余子式之和解：第一行各元素的代数余中南大学线性代数1中南大学线性代数1