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返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 在第一章与第二章中,我们已经证明了实数集中的确界定理、单调有界定理、柯西收敛准则、致密性定理.这几个定理反映了实数的一种特性,这种特性称之为完备性.而有理数集是不具备这种性质的.在本章中,将着重介绍与上述四个定理的等价性定理及其应用.这些定理是数学分析理论的基石.1 关于实数集完备性的基本定理返回返回返回返回 在第一章与第二章中,我们已经证明了实数集中的确界返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、区间套定理二、聚点定理与有限覆盖定理三、实数完备性基本定理的等价性一、区间套定理二、聚点定理与有限覆盖定理三、实数完备性基本定返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定义定义1定义定义1 中的条件中的条件1 实际上等价于条件实际上等价于条件一、区间套定理定义1定义1 中的条件1 实际上等价于条件一、区间套定理返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理7.1(区间套定理区间套定理)或者或者定理7.1(区间套定理)或者返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则任给则任给 0,存在存在 N,当当 n N 时时,推论推论 设设 an,bn 是一个区间套是一个区间套,注注1 该推论有着很强的应用价值该推论有着很强的应用价值,请大家务请大家务必必牢记牢记.注注2 区间套定理中的闭区间若改为开区间区间套定理中的闭区间若改为开区间,那么结那么结论不一定成立论不一定成立.例如对于开区间列例如对于开区间列 ,显然显然则任给 0,存在 N,当 n N 时,推论 设返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页但是定理但是定理1中的中的 是不存在的是不存在的,这是因为这是因为例例1.1.用区间套定理证明用区间套定理证明连续函数根的存在性定理连续函数根的存在性定理但是定理1中的 是不存在的,这是因为例1.用区间套定理证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定义定义2 设设 S 为数轴上的非空点集为数轴上的非空点集,为直线上的为直线上的一个定点一个定点(当然可以属于当然可以属于 S,也可以不属于也可以不属于S).若对若对于任意正数于任意正数 ,在在(,+)中含有中含有S 的无限的无限个点个点,二、聚点定理与有限覆盖定理则称则称 是是 S 的一个的一个聚点聚点.即即定义2 设 S 为数轴上的非空点集,为直线上的一返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为了便于应用为了便于应用,下面介绍两个与定义下面介绍两个与定义 2 等价的定义等价的定义.定义定义2定义定义2若存在各项互异的收敛数列若存在各项互异的收敛数列下面简单叙述一下这三个定义的等价性下面简单叙述一下这三个定义的等价性.若设若设 S 是是 0,1中的无理数全体中的无理数全体,则则 S 的聚点的聚点集集合合 为闭区间为闭区间 0,1.为了便于应用,下面介绍两个与定义 2 等价的定义.定义2定返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定义定义2 定义定义2 由定义直接得到由定义直接得到.定义定义2 定义定义2 因为因为 那么那么定义2 定义2 由定义直接得到.定义2 定义返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页互异互异,并且并且定义定义2定义定义2 由极限的定义可知这是显然的由极限的定义可知这是显然的.定理定理7.2(魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯Weierstrass 聚点定理聚点定理)实数轴上的任意有界无限点集实数轴上的任意有界无限点集 S S 必有聚点必有聚点.互异,并且定义2定义2 由极限的定义可知这是显然的.定返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页我们再次使用区间套定理来证明聚点定理我们再次使用区间套定理来证明聚点定理,请务必请务必证证 因为因为S为有界点集为有界点集,所以存在正数所以存在正数 M,使使现将现将 a1,b1 等分为两个子区间等分为两个子区间 a1,c1,c1,b1,中至少有一中至少有一个区间个区间含有含有 S 的无限多个点的无限多个点.记该区间为记该区间为a2,b2.要注意在区间套的构成中所建立的性质要注意在区间套的构成中所建立的性质(iii).我们再次使用区间套定理来证明聚点定理,请务必证 因为S为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页再将再将a2,b2等分为两个子区间等分为两个子区间.同样至少有一个子同样至少有一个子区区间含有间含有 S 的无限多个点的无限多个点,将这个区间记为将这个区间记为a3,b3.再将a2,b2等分为两个子区间.同样至少有一个子区间返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(iii)每个闭区间每个闭区间an,bn 均含均含S 的无限多个点的无限多个点.无限重复这个过程无限重复这个过程,就可得到一列闭区间就可得到一列闭区间(iii)每个闭区间an,bn 均含S 的无限多返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以由所建立的性质所以由所建立的性质(iii)这就证明了这就证明了 是是 S 的一个聚点的一个聚点.定理定理7.2 有一个非常重要的推论有一个非常重要的推论(致密性定理致密性定理).).该该定理在整个数学分析中定理在整个数学分析中,显得十分活跃显得十分活跃.所以由所建立的性质(iii)这就证明了 是 S 的一个聚点返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 设设xn为有界数列为有界数列,若若xn 中有无限项相等中有无限项相等,取取这些相等的项可成一个子列这些相等的项可成一个子列.该子列显然是收敛该子列显然是收敛若数列若数列xn 不含有无限多个相等的项不含有无限多个相等的项,则则xn作为作为点集是点集是有界无限点集有界无限点集.由聚点原理由聚点原理,可设可设 是是xn 的一个的一个推论推论(致密性定理致密性定理)有界数列必有收敛子列有界数列必有收敛子列.的的.一个各项互异的子列一个各项互异的子列 收敛于收敛于 .聚点聚点,那么再由定义那么再由定义 2,可知可知 xn 中有中有证 设xn为有界数列,若xn 中有无限项相等,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定义定义3 设设 S 为数轴上的一个点集为数轴上的一个点集,H为一些开区间为一些开区间则称则称 H 是是 S 的一个的一个开覆盖开覆盖.若若 H是是 S 的一个开覆盖的一个开覆盖,并且并且H 中的元素中的元素(开区开区间间)仅有有限个仅有有限个,则称则称 H 是是 S 的一个的一个有限开覆盖有限开覆盖.一个开覆盖一个开覆盖.定义3 设 S 为数轴上的一个点集,H为一些开区间则称 H 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理7.3(海涅博雷尔有限覆盖定理海涅博雷尔有限覆盖定理)设设 H是闭区间是闭区间 a,b 的一个开覆盖的一个开覆盖,则从则从 H 中可中可选选海涅海涅(Heine,H.E.1821-1881,德国德国)博雷尔博雷尔(Borel,E.1871-1956,法国法国)出出有限个开区间有限个开区间,构成闭区间构成闭区间 a,b 的一个子覆盖的一个子覆盖.证明：证明：本定理证明方法本定理证明方法 多种，这里采用多种，这里采用 区间套定理。区间套定理。定理7.3(海涅博雷尔有限覆盖定理)设 H是闭区间 a返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页若定理不成立若定理不成立,也就是说也就是说 a,b不能不能被被 H 中任何中任何再将再将 a1,b1 等分成两个子区间等分成两个子区间,其中至少有一个其中至少有一个 有限个开区间所覆盖有限个开区间所覆盖.将区间将区间a,b等分成两个子等分成两个子区间区间,那么这两个子区间中至少有一个不能被那么这两个子区间中至少有一个不能被 H中任意有限个开区间所覆盖中任意有限个开区间所覆盖,设该区间为设该区间为a1,b1.不能被不能被 H 中有限个开区间所覆盖中有限个开区间所覆盖.设该区间为设该区间为显然有显然有若定理不成立,也就是说 a,b不能被 H 中任何再将返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(iii)对每一个闭区间对每一个闭区间 an,bn,都不能被都不能被 H 中有限中有限个个满足下列三个性质满足下列三个性质:a2,b2.同样有同样有将上述过程无限进行下去将上述过程无限进行下去,可得一列闭区间可得一列闭区间(iii)对每一个闭区间 an,bn,都不能被 H返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这就是说这就是说,aN,bN 被被 H 中的一个开区间所覆盖中的一个开区间所覆盖,开开区间所覆盖区间所覆盖.矛矛盾盾.这就是说,aN,bN 被 H 中的一个开区间所覆盖返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页区间区间(0,1).很明显很明显,H 中的任何有限个开区间均中的任何有限个开区间均不不 注注 定理定理7.3中的闭区间不可以改为开区中的闭区间不可以改为开区间间.能覆盖能覆盖(0,1).例例2 2：用有限覆盖定理证明：闭区间上连续函数的用有限覆盖定理证明：闭区间上连续函数的有界性定理。有界性定理。区间(0,1).很明显,H 中的任何有限个开区间均不返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页我们已经学习了关于实数完备性的六个定理我们已经学习了关于实数完备性的六个定理,它它三、实数完备性定理的等价性确界定理确界定理 单调有界定理单调有界定理 区间套定理区间套定理下面证明这六个定理是等价的下面证明这六个定理是等价的.们是们是:聚点定理聚点定理（致密性定理）（致密性定理）有限覆盖定理有限覆盖定理 柯西收敛准则柯西收敛准则我们已经学习了关于实数完备性的六个定理,它三、实数完备性定返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 柯西收敛准则柯西收敛准则 区间套定理区间套定理 聚点定理聚点定理 确界定理确界定理 有限覆盖定理有限覆盖定理 单调有界定理单调有界定理 654321 柯西收敛准则 区间套定理 聚点定理 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例3 用有限覆盖定理证明聚点定理用有限覆盖定理证明聚点定理.证证 设设 S 是无限有界点集是无限有界点集,则存在则存在 M 0,使得使得在上图的等价性关系中在上图的等价性关系中,仅仅 和和 尚未证尚未证明明.这里这里46给出给出 的证明的证明,请大家自己阅读教材请大家自己阅读教材.46例3 用有限覆盖定理证明聚点定理.证 设 S 是无限有界点返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页很明显很明显,H 覆盖了闭区间覆盖了闭区间 M,M.根据有限覆根据有限覆盖盖设开区间集设开区间集由由H 的构造的构造,所以所以矛盾矛盾.定理定理,存在存在 H 中的有限子覆盖中的有限子覆盖覆盖覆盖-M,M-M,M ，进而覆盖，进而覆盖 S.S.很明显,H 覆盖了闭区间 M,M.根据有限覆
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