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17.1.1 常量与变量常量与变量 大千世界处在不停的大千世界处在不停的运动变化运动变化之中之中,如何来研究如何来研究这些运动变化并寻找规律呢这些运动变化并寻找规律呢?数学上常用数学上常用变量量与与函数函数来来刻画各种运刻画各种运动变化化.17.1.1 常量与变量常量与变量 大千世界处在不停的运动变大千世界处在不停的运动变汽车行驶的汽车行驶的路程路程会随着行驶会随着行驶时间时间的变化而变化。的变化而变化。先看什么叫先看什么叫变量？变量？一辆以一辆以60千米千米/小时行驶的汽车所小时行驶的汽车所走的路程走的路程S和时间和时间t之间有之间有S=60t汽车行驶的路程会随着行驶时间的变化而变化。汽车行驶的路程会随着行驶时间的变化而变化。先看先看 像这样像这样像这样像这样在某一变化过程中在某一变化过程中在某一变化过程中在某一变化过程中,可以可以可以可以取不同数值的量取不同数值的量取不同数值的量取不同数值的量,叫做叫做叫做叫做变量变量变量变量.刻画汽车运动变化的量是路程刻画汽车运动变化的量是路程刻画汽车运动变化的量是路程刻画汽车运动变化的量是路程S S和时间和时间和时间和时间t t,路程路程路程路程S S随随随随着时间着时间着时间着时间t t的变化而变化的变化而变化的变化而变化的变化而变化,它们都会取不同的数值它们都会取不同的数值它们都会取不同的数值它们都会取不同的数值在以上在以上问题中出中出现了可以取不同数了可以取不同数值的量的量.像这样在某一变化过程中像这样在某一变化过程中,可以取不同数值的量可以取不同数值的量,叫做变叫做变这天的这天的这天的这天的2 2时时时时3030分、分、分、分、9 9时和时和时和时和1414时的气温分别为少？任时的气温分别为少？任时的气温分别为少？任时的气温分别为少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温 这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？段的气温在逐渐降低？段的气温在逐渐降低？段的气温在逐渐降低？时间时间t(时时)810246121416182022240 温度温度T(C)2468-2-40问题问题1 1 下图是某地一天的气温变化图下图是某地一天的气温变化图下图是某地一天的气温变化图下图是某地一天的气温变化图,看图回答：看图回答：看图回答：看图回答：什么叫什么叫函数函数呢呢?在以上在以上变化化过程中存在着两个程中存在着两个变量量t和和T,对于于时间t每每取一个取一个值,温度温度T都有都有唯一唯一的的值与之与之对应.我我们就就说t是是自自变量量,T是是因因变量量.也称也称T是是t的的函数函数.这张图是怎样这张图是怎样来展示这天各时刻来展示这天各时刻的温度和刻画这天的温度和刻画这天的气温变化规律的的气温变化规律的?这张图这张图这张图这张图告诉我们告诉我们告诉我们告诉我们哪些信息哪些信息哪些信息哪些信息?这天的这天的2时时30分、分、9时和时和14时的气温分别为少？任意给出这天时的气温分别为少？任意给出这天问题问题2 2 小蕾在过小蕾在过14岁生日时，看到了爸爸为岁生日时，看到了爸爸为她记录的体重，如下表：她记录的体重，如下表：观察上表察上表,说说随着周随着周岁x的增的增长,小蕾的体重小蕾的体重y是是如何如何变化的？化的？在以上在以上变化化过程中存在着两个程中存在着两个变量量x和和y,对于于x每每取一个取一个值,y都有都有唯一唯一的的值与之与之对应.我我们就就说x是是自自变量量,y是是因因变量量.也称也称y是是x的的函数函数.周岁周岁x123456体重体重（kg）7.912.215.618.420.723.0问题问题2 小蕾在过小蕾在过14岁生日时，看到了爸爸为她记录的体重，如下岁生日时，看到了爸爸为她记录的体重，如下问题问题3 3 收音机上的刻度收音机上的刻度盘的波的波长和和频率分率分别是用米是用米(m)和千赫和千赫兹(kHz)为单位位标刻的刻的下面是一些下面是一些对应的数：的数：细心的同学可能会心的同学可能会发现：与与 f 的乘的乘积是一个定是一个定值，即，即 f300 000，或者或者说f 在以上在以上变化化过程中存在着两个程中存在着两个变量量 和和f,对于于 每取一个每取一个值,f都有都有唯一唯一的的值与之与之对应.我我们就就说 是是自自变量量,f是是因因变量量.也称也称f是是 的的函数函数.300000300000 波长波长(m)30050060010001500频率频率f(kHz)1000600500300200问题问题3 收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹和千赫兹 问题问题4 4 圆的面积随着半径的增大而增大如果用圆的面积随着半径的增大而增大如果用r表示圆的表示圆的半径，半径，S表示圆的面积则表示圆的面积则S与与r之间满足下列关系：之间满足下列关系：S_ 利用这个关系式利用这个关系式,试求出半径为试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积时圆的面积,并将结果填入下表并将结果填入下表:(3.14)r 在以上在以上变化化过程中存在着两个程中存在着两个变量量r和和S,对于于r每取一个每取一个值,S都有都有唯一唯一的的值与之与之对应.我我们就就说r是是自自变量量,S是是因因变量量.也称也称S是是r的的函数函数.半径半径l(cm)11.522.63.2圆面积圆面积S(cm)3.143.147.077.0712.5712.5721.2421.2432.1732.17 问题问题4 圆的面积随着半径的增大而增大如果用圆的面积随着半径的增大而增大如果用r表示圆的表示圆的在某一变化过程中在某一变化过程中,可以取不同数值的量可以取不同数值的量,叫做叫做变量变量.上面各个问题中上面各个问题中,都出现了两个变量都出现了两个变量,它们互相依它们互相依赖赖,密切相关密切相关.一般地一般地,如果在一个变化过程中如果在一个变化过程中,有两个变量有两个变量,例如例如x和和y,对于对于x的每一个值的每一个值,y都有唯一的值与之对应都有唯一的值与之对应,我我们就说们就说x是是自变量自变量,y是是因变量因变量,此时也称此时也称y是是x的函数的函数.概概 括括的函数的本质就是唯一确定的对应关系的函数的本质就是唯一确定的对应关系.研究事物的运研究事物的运动变化化,实际是从研究因是从研究因变量与自量与自变量的量的对应关系入手的关系入手的.因因变量与自量与自变量的量的对应关系又叫关系又叫函数关系函数关系.在某一变化过程中在某一变化过程中,可以取不同数值的量可以取不同数值的量,叫做变量叫做变量.试一试：看谁的眼光准试一试：看谁的眼光准例例1、判断下列变量关系是不是函数？、判断下列变量关系是不是函数？(1)等腰三角形的底边长与面积等腰三角形的底边长与面积判断是不是函数，我们可以看它的数学式判断是不是函数，我们可以看它的数学式子中的变量之间是否满足函数的定义子中的变量之间是否满足函数的定义试一试：看谁的眼光准例试一试：看谁的眼光准例1、判断下列变量关系是不是函数？、判断下列变量关系是不是函数？(1)函数的关系式是函数的关系式是等式等式那么函数解析式的书写有没有要求呢？那么函数解析式的书写有没有要求呢？通常等式的右边是含有自变量的代数式，左边的一个字母表示函数如何去书写呢？如何去书写呢？函数的关系式是等式通常等式的右边是含有自变量的代数式，如何去函数的关系式是等式通常等式的右边是含有自变量的代数式，如何去3.写出下列各问题中的关系式写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量并指出其中的常量与变量:(1)圆的周长圆的周长C与半径与半径r的关系式的关系式;(2)火车以火车以90千米千米/时的速度行驶时的速度行驶,它驶过的路程它驶过的路程s(千米千米)和所和所用时间用时间t(时时)的关系式的关系式;(3)n边形的内角和边形的内角和S与边数与边数n的关系式的关系式.3.解解:(2)s=90t,(3)S=(n2)180,(1)C=2 r,2、是常量，是常量，r和和C是变量是变量.90是常量，是常量，t和和s是变量是变量.2和和180是常量，是常量，n和和S是变量是变量.3.写出下列各问题中的关系式写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量并指出其中的常量与变量:3.解解教你一招：教你一招：1、先认真审题，根据题意找出相等关系、先认真审题，根据题意找出相等关系2、按相等关系，写出含有两个变量的等式、按相等关系，写出含有两个变量的等式3、将等式变形为用含有自变量的代数式、将等式变形为用含有自变量的代数式表示函数的式子表示函数的式子教你一招：教你一招：1、先认真审题，根据题意找出相等关系、先认真审题，根据题意找出相等关系2、按相等关系、按相等关系 1、y 比比 x的的 少少22、y 是是 x的的 倒数的倒数的4倍倍根据所给的根据所给的 条件，写出条件，写出y与与x的函数关系式：的函数关系式：3、矩形的周长是、矩形的周长是18 cm,它的长是它的长是y，宽是宽是x cm；1、y 比比 x的的 少少22、y 是是 x的的 倒数的倒数的4倍倍表示表示函数关系函数关系的方法通常有三种：的方法通常有三种：(1)解析法解析法，如，如问题3中的中的f ,问题4中的中的Sr,这些表达式称些表达式称为函数的关系式函数的关系式(2)列表法列表法,如如问题2中的利率表中的利率表,问题3中的波中的波长与与频率关系表率关系表(3)图象法象法,如如问题1中的气温曲中的气温曲线.在在问题的研究的研究过程中程中,还有一种量有一种量,它的取它的取值始始终保保持不持不变,我我们称之称之为常量常量.如如问题3中的中的300 000,问题4中中的的等等.300000300000 表示函数关系的方法通常有三种：表示函数关系的方法通常有三种：(1)解析法，如问题解析法，如问题3中的中的小结：函数的三种表示法及其优缺点小结：函数的三种表示法及其优缺点1.解析法解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数学运算符两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数学运算符号的等式表示，这种表示法叫做号的等式表示，这种表示法叫做解析法解析法。解析法简单明了，能准确地反映整个。解析法简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的相依关系，但求对应值时，往往要经过比较复杂的变化过程中自变量与函数的相依关系，但求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的函数关系，不一定能用解析式表达出来。计算，而且在实际问题中，有的函数关系，不一定能用解析式表达出来。2.列表法列表法 把自变量把自变量x的一系列值和函数的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做这种表示法叫做列表法列表法。如平方根表、正弦函数表等。列表法一目了然，。如平方根表、正弦函数表等。列表法一目了然，表格中已有的自变量的每一个值，不需要计算就可以直接查出与它对应的表格中已有的自变量的每一个值，不需要计算就可以直接查出与它对应的函数值，使用起来很方便，但列表法有局限性，因为列出的对应值是有限函数值，使用起来很方便，但列表法有局限性，因为列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数之间的对应规律。的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数之间的对应规律。3.图象法图象法 用图象表示函数关系的方法叫做用图象表示函数关系的方法叫做图象法图象法。图象法形象直观，通过函数的。图象法形象直观，通过函数的图象，可以直接、形象地把函数关系表示出来，能够直观地研究函数的一些图象，可以直接、形象地把函数关系表示出来，能够直观地研究函数的一些性质，例如函数有没有最大值（或最小值）？最大（小）值是多少？函数值性质，例如函数有没有最大值（或最小值）？最大（小）值是多少？函数值是随自变量增大而增大，还是随自变量的增大而减小等等，函数图象是研究是随自变量增大而增大，还是随自变量的增大而减小等等，函数图象是研究函数性质的有力工具。但是，由函数图象观察只能得到近似的数量关系。函数性质的有力工具。但是，由函数图象观察只能得到近似的数量关系。在解决问题时，我们常常综合地运用这三种表示法，来深入地在解决问题时，我们常常综合地运用这三种表示法，来深入地研究函数的性质。研究函数的性质。小结：函数的三种表示法及其优缺点小结：函数的三种表示法及其优缺点1.解析法解析法 交流小结交流小结:1.函数概念包含：(1)两个变量；(2)两个变量之间的对应关系2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量3.函数关系三种表示方法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法 交流小结交流小结:1.函数概念包含：函数概念包含：(1)两个变量；两个变量；(2)两个变量两个变量 练练 习习(1)从表中你能看出从表中你能看出该市市14岁的男学生的平均身高是多少的男学生的平均身高是多少吗?(2)该市男学生的平均身高从哪一市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加开始迅速增加?(3)上表反映了哪些上表反映了哪些变量之量之间的关系的关系?其中哪个是自其中哪个是自变量量?哪个是哪个是因因变量量?2.解解:2.下表是某市下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.1.举举3个日常生活中遇到的函数关系的例子个日常生活中遇到的函数关系的例子.(1)14岁的男学生的的男学生的平均身高是平均身高是146.1cm(2)约从约从11岁开始身高迅速增加岁开始身高迅速增加.(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系间的关系,其中年龄是自变量其中年龄是自变量,平均身高是因变量平均身高是因变量.年龄组年龄组(岁岁)7 78 89 910101111121213131414151516161717男生平均身高男生平均身高(cm)115.4115.4118.3118.3122.2122.2126.5126.5129.6129.6135.5135.5140.4140.4146.1146.1154.8154.8162.9162.9168.2168.2 练练 习习(1)从表中你能看出该市从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多岁的男学生的平均身高是多(1)购买单价价为每本每本10元的元的书籍籍,付款付款总金金额 y(元元),购买本数本数x(本本).问:变量是量是_ ,常量是常量是_,_是自是自变量量,_是因是因变量量,_是是_的函数函数关系的函数函数关系式式为_ (2)半径半径为R的球的球,体体积为V,则V与与R的函数关系的函数关系式式为 ,自自变量是量是_,_是是_的函数的函数,常量是常量是_.RV V3 34 4思考思考:(1)购买单价为每本购买单价为每本10元的书籍元的书籍,付款总金额付款总金额 y(元元),购买购买
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