有限元法基础-4单元和插值函数的构造ppt课件

第四章 单元与插值函数 4.1 面积坐标4.2 Lagrange 单元4.3 Serendipity单元4.4 体积坐标 4.5 Hermite插值1第四章 单元与插值函数 4.1 4.单元与插值函数 通通过变分法或加分法或加权余量法建立有限元方程余量法建立有限元方程时，首先是，首先是在确定在确定单元形状后，在元形状后，在单元域内假元域内假设场函数的函数的试解。解。本章重点介绍本章重点介绍l构造构造单元插元插值函数函数规范化形式的两范化形式的两类自然坐自然坐标的建立方的建立方法和特点法和特点l构造构造单元插元插值函数的两函数的两类方法的步方法的步骤和特点和特点有限元法基础24.单元与插值函数 通过变分法或加权余量法建立有限元方4.单元与插值函数关键概念关键概念自然坐标自然坐标 面积坐标面积坐标 体积坐标体积坐标 Lagrange单元单元 Serendipity单元单元有限元法基础34.单元与插值函数关键概念有限元法基础34.单元与插值函数广义坐标有限元法的存在的问题：广义坐标有限元法的存在的问题：1 1）建立单元插值函数方法繁琐）建立单元插值函数方法繁琐2 2）形成单元矩阵过于复杂）形成单元矩阵过于复杂有限元法基础44.单元与插值函数广义坐标有限元法的存在的问题：有限元法基4.单元与插值函数单元插值函数的构造单元插值函数的构造 与求解问题的微分方程无关与求解问题的微分方程无关插值函数的构造方法插值函数的构造方法 与单元形状有关与单元形状有关 与单元节点数量与位置有关与单元节点数量与位置有关 与单元节点与单元节点DOFDOF的类型和数量有关的类型和数量有关有限元法基础54.单元与插值函数单元插值函数的构造有限元法基础54.单元与插值函数有限元法基础64.单元与插值函数有限元法基础64.1 面积坐标l定义定义 在三角形内任意一点在三角形内任意一点P P的位置的位置由其三角形子域的面积与三角形由其三角形子域的面积与三角形面积的比值确定，即面积的比值确定，即其中其中A为三角形面积，为三角形面积，为为 的面积，的面积，为为 的的面积，面积，为为 的面积。的面积。有限元法基础74.1 面积坐标定义有限元法基础74.1 面积坐标记记则三角形内的点则三角形内的点P P 表示为表示为 称为面积坐标。称为面积坐标。有限元法基础84.1 面积坐标记有限元法基础8l面积坐标的性质面积坐标的性质 1 1）与）与j-m j-m 平行的线上具有相同的平行的线上具有相同的L Li i4.1 面积坐标有限元法基础9面积坐标的性质4.1 面积坐标有限元法基础94.1 面积坐标2 2）角点坐标为）角点坐标为 i i(1,0,0),(1,0,0),j j(01,0),(01,0),m m(0,0,1)(0,0,1)3 3）形心坐标为）形心坐标为4 4）三角形三条边的坐标为）三角形三条边的坐标为 j-m j-m边边:L:Li i=0,=0,m-im-i边边:L Lj j =0,=0,i-ji-j边边:L Lm m =0=05 5）三个坐标只有）三个坐标只有2 2个是独立的个是独立的有限元法基础104.1 面积坐标2）角点坐标为 i(1,0,0),j(01,4.1 面积坐标l面积坐标与直角坐标的关系面积坐标与直角坐标的关系 三角形单元三角形单元 的面积的面积 三角形内任意点三角形内任意点 P P(x,yx,y),),有限元法基础114.1 面积坐标面积坐标与直角坐标的关系有限元法基础114.1 面积坐标 有限元法基础124.1 面积坐标 有限元法基础124.1 面积坐标l面积坐标的微积分运算面积坐标的微积分运算 1 1）导数）导数 有限元法基础134.1 面积坐标面积坐标的微积分运算有限元法基础134.1 面积坐标2 2）面积分）面积分3)3)i-j 边长为边长为 l 的线积分的线积分有限元法基础144.1 面积坐标2）面积分有限元法基础144.1 面积坐标例：例：有限元法基础154.1 面积坐标例：有限元法基础154.1 面积坐标例：均质等厚单元的自重例：均质等厚单元的自重有限元法基础164.1 面积坐标例：均质等厚单元的自重有限元法基础164.1 面积坐标l用面积坐标给出的单元的插值函数用面积坐标给出的单元的插值函数 以面积坐标作为三角形单元的自然坐标，表以面积坐标作为三角形单元的自然坐标，表示的插值函数，对每一个节点来讲，插值函数示的插值函数，对每一个节点来讲，插值函数是对称的。是对称的。有限元法基础174.1 面积坐标用面积坐标给出的单元的插值函数有限元法基础14.1 面积坐标1 1）线性单元）线性单元3 3节点三角形单元节点三角形单元根据形函数的特点根据形函数的特点这样可用过其他两节点的直线方程这样可用过其他两节点的直线方程来构成。例如节点来构成。例如节点1 1，可用，可用2 23 3边边的直线方程来构成插值函数，即的直线方程来构成插值函数，即有限元法基础184.1 面积坐标1）线性单元3节点三角形单元有限元法基础4.1 面积坐标2 2）二次单元）二次单元6 6节点三角形单元节点三角形单元节点节点1 1：节点节点4 4：通用表达式：通用表达式：角节点角节点中节点中节点注：注：有限元法基础194.1 面积坐标2）二次单元6节点三角形单元有限元法基础4.1 面积坐标2 2）三次单元）三次单元1010节点三角形单元节点三角形单元 节点节点1 1 节点节点4 4 节点节点1010 有限元法基础204.1 面积坐标2）三次单元10节点三角形单元有限元法基4.2 Lagrange单元单元场函数的插值表示为单元场函数的插值表示为插值函数满足下列性质插值函数满足下列性质 有限元法基础214.2 Lagrange单元单元场函数的插值表示为有限元法基4.2 Lagrange单元l一维一维LagrangeLagrange插值插值1 1）总体坐标下的位移插值函数总体坐标下的位移插值函数 对于对于n n个节点的一维单元，节点坐标为个节点的一维单元，节点坐标为 多多项式插值可达项式插值可达n-1n-1阶，即阶，即 有限元法基础224.2 Lagrange单元一维Lagrange插值有限元法4.2 Lagrange单元当当2 2时时令令 ，则，则引进无量纲坐标引进无量纲坐标 有限元法基础234.2 Lagrange单元当2时有限元法基础234.2 Lagrange单元2 2）自然）自然坐标下的位移插值函数坐标下的位移插值函数 对于对于n n个节点的一维单元，节点坐标为个节点的一维单元，节点坐标为 多多项式插值可达项式插值可达n-1n-1阶，即阶，即 或或 有限元法基础244.2 Lagrange单元2）自然坐标下的位移插值函数有限4.2 Lagrange单元当当n=2n=2时，时，通式通式有限元法基础254.2 Lagrange单元当n=2时，有限元法基础254.2 Lagrange单元当当n=3n=3时，时，有限元法基础264.2 Lagrange单元当n=3时，有限元法基础264.2 Lagrange单元l二维二维LagrangeLagrange单元单元 二维二维LagrangeLagrange单元的场插值函数由一维单元的场插值函数由一维LagrangeLagrange插值插值分别在两个方向插值，即分别在两个方向插值，即场插值函数为场插值函数为有限元法基础274.2 Lagrange单元二维Lagrange单元有限元法4.2 Lagrange单元可以证明可以证明有限元法基础284.2 Lagrange单元可以证明有限元法基础284.2 Lagrange单元l一次单元一次单元4 4节点单元节点单元 双线性插值双线性插值有限元法基础294.2 Lagrange单元一次单元4节点单元有限元法基4.2 Lagrange单元l二次单元二次单元99节点单元节点单元角节点角节点边中节点边中节点内部节点内部节点有限元法基础304.2 Lagrange单元二次单元9节点单元有限元法基础4.2 Lagrange单元l三维三维LagrangeLagrange单元单元单元节点单元节点 场插值函数场插值函数有限元法基础314.2 Lagrange单元三维Lagrange单元有限元法4.2 Lagrange单元可以证明可以证明 有限元法基础324.2 Lagrange单元可以证明有限元法基础324.2 Lagrange单元lLagrangeLagrange单元族的特点单元族的特点1 1）插值函数构造方便）插值函数构造方便2 2）高次单元内部节点过多，影响计算效率）高次单元内部节点过多，影响计算效率 有限元法基础一次单元一次单元内部节点内部节点 0二次单元二次单元内部节点内部节点 1三次单元三次单元内部节点内部节点 4平面单元内部节点数（平面单元内部节点数（n-1)(m-1)334.2 Lagrange单元Lagrange单元族的特点有限4.3 Serendipity单元lSerendipity单元族单元族 单元的节点仅配置在单元的节点仅配置在角点和边界上。角点和边界上。不改变精度的情况下，不改变精度的情况下，减少内节点。减少内节点。Irons等首先提出，按等首先提出，按字面意思是意外发现的，字面意思是意外发现的，但有规律可循。但有规律可循。有限元法基础344.3 Serendipity单元Serendipity单元4.3 Serendipity单元lSerendipity单元族单元族 有限元法基础354.3 Serendipity单元Serendipity单元4.3 Serendipity单元lSerendipity插值函数的构造插值函数的构造 4节点单元的插值函数与节点单元的插值函数与Lagrange单元相同单元相同 有限元法基础364.3 Serendipity单元Serendipity插值4.3 Serendipity单元l8节点单元在边中点的插值函数节点单元在边中点的插值函数 有限元法基础374.3 Serendipity单元8节点单元在边中点的插值函4.3 Serendipity单元显然显然 有限元法基础384.3 Serendipity单元显然有限元法基础384.3 Serendipity单元lSerendipity插值函数的一般构造方法插值函数的一般构造方法 有限元法基础394.3 Serendipity单元Serendipity插值4.3 Serendipity单元lSerendipity单元族单元族 有限元法基础404.3 Serendipity单元Serendipity单元4.3 Serendipity单元l二次平面单元二次平面单元8 8节点单元节点单元 有限元法基础414.3 Serendipity单元二次平面单元8节点单元4.3 Serendipity单元l划线法构造插值函数划线法构造插值函数 二次平面单元二次平面单元8 8节点单元节点单元 由由 ，得，得 有限元法基础424.3 Serendipity单元划线法构造插值函数有限元法4.3 Serendipity单元l平面四边形平面四边形8 8节点单元插值函数节点单元插值函数 有限元法基础434.3 Serendipity单元平面四边形8节点单元插值函4.3 Serendipity单元l三维三维Serendipity单元族单元族1)1)线性单元线性单元8 8节点单元节点单元 有限元法基础444.3 Serendipity单元三维Serendipity4.3 Serendipity单元2)2)二次单元二次单元2020节点单元节点单元 插值函数完备到二次。插值函数完备到二次。有限元法基础454.3 Serendipity单元2)二次单元20节点4.3 Serendipity单元lSerendipity插值与插值与Lagrange插值的差异插值的差异 Serendipity插值函数的多项式表示插值函数的多项式表示 与与Lagrange插值相比少插值相比少 都是二次完备，没达到三次完备。都是二次完备，没达到三次完备。有限元法基础464.3 Serendipity单元Serendipity插值4.3 Serendipity单元有限元法基础474.3 Serendipity单元有限元法基础474.3 Serendipity单元lLagrange插值项插值项 有限元法基础484.3 Serendipity单元Lagrange插值项有限4.3 Serendipity单元lSerendipity插值项插值项 有限元法基础494.3 Serendipity单元Serendipity插值4.3 Serendipity单元lSerendipity插值与插值与Lagrange插值的差异插值的差异有限元法基础504.3 Serendipity单元Serendipity插值4.3 Serendipity单元在在 边，二次变化边，二次变化 在在 边，二次变化边，二次变化单元的每条边上有三个节点，因此插值是协调的。单元的每条边上有三个节点，因此插值是协调的。有限元法基础514.3 Serendipity单元有限元法基础514.4 体积坐标定义：四面体中任一点定义：四面体中任一点P P的位置的位置由下列参数确定由下列参数确定 有限元法基础524.4 体积坐标定义：四面体中任一点P的位置有限元法基础524.4 体积坐标四面体单元族四面体单元族 有限元法基础534.4 体积坐标四面体单元族有限元法基础534.4 体积坐标1 1）线性单元）线性单元4 4节点单元节点单元2 2）二次单元）二次单元1010节点单元节点单元 角节点角节点 边中节点边中节点 有限元法基础544.4 体积坐标1）线性单元4节点单元有限元法基础544.4 体积坐标3 3）三次单元）三次单元2020节点单元节点单元 角节点角节点边中节点边中节点面内节点面内节点 有限元法基础554.4 体积坐标3）三次单元20节点单元有限元法基础554.4 体积坐标l体积坐标的微分体积坐标的微分 复合函数求导公式复合函数求导公式 有限元法基础564.4 体积坐标体积坐标的微分有限元法基础564.4 体积坐标l体积坐标的积分体积坐标的积分 有限元法基础574.4 体积坐标体积坐标的积分有限元法基础574.5 Hermite插值l特点特点1）多项式插值）多项式插值2）节点参数包含导数，例如）节点参数包含导数，例如3）在插值点上导数也连续）在插值点上导数也连续4）0阶连续的阶连续的Hermite插值就是插值就是Lagrange插值插值 有限元法基础584.5 Hermite插值特点有限元法基础584.5 Hermite插值l例：一维问题有例：一维问题有n n个节点，包含有个节点，包含有2n2n个节点未知参数，个节点未知参数，可唯一确定可唯一确定2n2n1 1次多项式的插值函数。次多项式的插值函数。有限元法基础594.5 Hermite插值例：一维问题有n个节点，包含有2n4.5 Hermite插值容易得到容易得到其中其中 为为Lagrange插值函数插值函数 有限元法基础604.5 Hermite插值容易得到有限元法基础604.5 Hermite插值采用采用 局部无量纲坐标时，端点为局部无量纲坐标时，端点为 有限元法基础614.5 Hermite插值采用 局部无量纲坐标4.5 Hermite插值l在无量纲坐标下，插值函数曲线在无量纲坐标下，插值函数曲线 有限元法基础624.5 Hermite插值在无量纲坐标下，插值函数曲线 有4.5 Hermite插值l二阶二阶Hermite插值函数插值函数 有限元法基础634.5 Hermite插值二阶Hermite插值函数 有限4.5 Hermite插值l例：例：2 2节点梁单元节点梁单元有限元法基础644.5 Hermite插值例：2节点梁单元有限元法基础644.6 五面体单元有限元法基础65l线性五面体单元线性五面体单元 单元内任意一点的坐标单元内任意一点的坐标 用面积坐标与自然坐标结合表示用面积坐标与自然坐标结合表示 4.6 五面体单元有限元法基础65线性五面体单元 4.6 五面体单元有限元法基础66l二次五面体单元二次五面体单元 边中点的插值函数边中点的插值函数 4.6 五面体单元有限元法基础66二次五面体单元 4.6 五面体单元有限元法基础67待修正的角节点插值函数待修正的角节点插值函数 4.6 五面体单元有限元法基础674.6 五面体单元有限元法基础68其他中节点的插值函数其他中节点的插值函数 4.6 五面体单元有限元法基础684.6 五面体单元有限元法基础69角节点插值函数角节点插值函数 4.6 五面体单元有限元法基础69