机器人学导论第4章操作臂逆运动学ppt课件

第4章 操作臂逆运动学4.1 概述4.2 可解性4.3 当n6时操作臂子空间的描述4.4 代数解法与几何解法4.5 通过化简为多项式的代数解法4.6 三轴相交的PIEPER解法4.7 操作臂逆运动学实例4.8 标准坐标系4.9 操作臂求解4.10 重复精度和定位精度4.11 计算问题第4章操作臂逆运动学4.1概述14.1 概述概述在上一章中讨论了已知操作臂的关节角，计算工具坐标系相对于用户工作台坐标系的位置和姿态的问题。在本章中，将研究难度更大的运动学逆问题:已知工具坐标系相对于工作台坐标系的期望位置和姿态，如何计算一系列满足期望要求的关节角?第3章重点讨论操作臂的运动学正问题，而本章重点讨论操作臂的运动学逆问题。4.1概述在上一章中讨论了已知操作臂的关节角，计算工具坐4.2 可解性可解性超越方程：当一元方程f(x)=0的左端函数f(x)不是x的多项式时，称之为超越方程。如指数方程，对数方程，三角方程和反三角方程等。sinx+x=0（1）解的存在性；（2）多重性；（3）求解方法4.2可解性超越方程：当一元方程f(x)=0的左端函机器人学导论第4章操作臂逆运动学ppt课件解的存在性解的存在性解是否存在的问题完全取决于操作臂的工作空间。简单地说，工作空间是操作臂末端执行器所能到达的范围。若解存在，则被指定的目标点必须在工作空间内。灵巧工作空间：指机器人的末端执行器能够从各个方向到达的空间区域。也就是说，机器人末端执行器可以从任意方向到达灵巧工作空间的每一个点。可达工作空间：机器人至少从一个方向上有一个方位可以达到的空间。显然，灵巧工作空间是可达工作空间的子集。解的存在性解是否存在的问题完全取决于操作臂的工作空间。简单地当一个操作臂少于6自由度时，它在三维空间内不能达到全部位姿。显然，图4-1中的平面操作臂不能伸出平面，因此凡是Z坐标不为0的目标点均不可达。在很多实际情况中，具有四个或五个自由度的操作臂能够超出平面操作，但显然不能达到全部目标点。必须研究这种操作臂以便弄清楚它的工作空间。通常这种机器人的工作空间是一个子空间，这个空间是由特定的机器人的工作空间确定的。一个值得研究的问题是，对于少于6个自由度的操作臂来说，给定一个确定的一般目标坐标系，什么是最近的可达目标坐标系？工作空间也取决于工具坐标系的变换，因为所讨论的工具端点一般就是我们所说的可达空间点。一般来说，工具坐标系的变换与操作臂的运动学和逆向运动学无关，所以一般常去研究腕部坐标系W的工作空间。对于一个给定的末端执行器，定义工具坐标系T，给定目标坐标系G，去计算相应的坐标系W。接着我们会问：W的期望位姿是否在这个工作空间内？这里，我们所研究的工作空间（从计算的角度出发）与用户关心的工作空间是有区别的，用户关心的是末端执行器的工作空间（T坐标系）。如果腕部坐标系的期望位姿在这个工作空间内，那么至少存在一个解。当一个操作臂少于6自由度时，它在三维空间内不能达到全部位姿。多重解问题多重解问题在求解运动学方程时可能遇到的另一个问题就是多重解问题。一个具有3个旋转关节的平面操作臂，由于从任何方位均可到达工作空间内的任何位置，因此在平面中有较大的灵巧工作空间（给定适当的连杆长度和大的关节运动范围）。图4-2所示为在某一位姿下带有末端执行器的三连杆平面操作臂。虚线表示第二个可能的位形，在这个位形下，末端执行器的可达位姿与第一个位形相同。因为系统最终只能选择一个解，因此操作臂的多重解现象会产生一些问题。解的选择标准是变化的，然而比较合理的选择应当是取“最短行程”解。例如，在图4-3中，如果操作臂处于A点，我们希望它移动到点B，最近解就是使得每一个运动关节的移动量最小。因此，在没有障碍的情况下，可选择图4-3中上部虚线所示的位形，这表明对于操作臂的当前位置来说只需要对逆运动学程序输入一个小位移量即可。这样利用算法能够选择关节空间内的最短行程解。多重解问题在求解运动学方程时可能遇到的另一个问题就是多重解问解的个数取决于操作臂的关节数量，它也是连杆参数和关节运动范围的函数。例如，PUMA560机器人到达一个确定的目标有8个不同的解。图4-4所示为其中的4个解，它们对于手部来说具有相同的位姿。对于图中所示的每一个解，存在另外一种解，其中最后三个关节变为另外一种位形，如下式所示：通常，连杆的非零参数越多，达到某一特定目标的方式也越多。以一个具有6个旋转关节的操作臂为例，图4-5表明解的最大数目与等于零的连杆长度参数的数目有关。非零参数越多，解的最大数目就越大。对于一个全部为旋转关节的6自由度操作臂来说，可能多达16种解。解的个数取决于操作臂的关节数量，它也是连杆参数和关节运动范围解法解法与线性方程组不同，非线性方程组没有通用的求解算法。我们把操作臂的全部求解方法分成两大类：封闭解和数值解法。由于数值解法的迭代性质，因此它一般要比相应的封闭解法的求解速度慢很多。实际上在大多数情况下，我们并不喜欢用数值解法求解运动学问题。因为封闭解的计算速度快，效率高，便于实时控制。而数值法不具有些特点为。“封闭形式”意指基于解析形式的解法，或者意指对于不高于四次的多项式不用迭代便可完全求解。可将封闭解的求解方法分为两类：代数法和几何法。有时它们的区别又并不明显：任何几何方法中都引入了代数描述，因此这两种方法是相似的。这两种方法的区别或许仅是求解过程的不同。解法与线性方程组不同，非线性方程组没有通用的求解算法。我们把牛顿迭代法的几何解释：方程 的根 在几何上是曲线 与 x 轴的交点的横坐标。若 是根 的一个近似，过曲线上横坐标为 的点 作曲线 的切线，则该切线与 x 轴交点的横坐标即为 。xyx*x0牛顿法基本思想：将非线性方程线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解。牛顿迭代法的几何解释：方程4.3 当当n 6时操作臂子空间的描述时操作臂子空间的描述确定n自由度操作臂子空间的一种方法就是给出腕部坐标系或工具坐标系的表达式，它是含有n个变量的函数。如果将这n个变量看着自由变量，那么它们所有的可能取值就构成了这个子空间。4.3当n6时操作臂子空间的描述确定n自由度操作臂子为了对具有n个自由度操作臂的目标点进行定义，通常采用n个参数来确定这个目标点。也就是说，如果给定的目标点有6个自由度，一般自由度n6的操作臂是无法到达这个目标点的。在这种情况下，可寻找一个位于操作臂子空间内的可达目标点代替目标点，并且和原期望目标点尽可能“靠近”。为了对具有n个自由度操作臂的目标点进行定义，通常采用n个参数首先确定工具坐标系原点到期望目标点的位置，然后选择一个接近期望姿态的可达姿态。正如我们在例4.1和4.2中所见的，子空间的计算取决于操作臂的几何特征。对每个操作臂必须单独考虑，从而得到相应的计算方法。为了计算关节角使得操作臂能够到达距期望坐标系最近的可达坐标系，在4.7节中给出了将一个一般目标点投影到五自由度操作臂子空间的例子。首先确定工具坐标系原点到期望目标点的位置，然后选择一个接近期4.4 代数解法与几何解法代数解法与几何解法代数解法：代数解法：以第三章所介绍三连杆平面操作臂为例，其坐标和连杆参数如下按第三章的方法，应用这些连杆参数可以求得这个机械臂的运动学方程：4.4代数解法与几何解法代数解法：以第三章所介绍三连杆平令式（4-6）和（4-7）相等，可以求得四个非线性方程，进而求出1，2和3：令式（4-6）和（4-7）相等，可以求得四个非线性方程，进而解得S2的表达式为最后利用2幅角反正切公式计算2，得解得S2的表达式为最后利用2幅角反正切公式计算2，得式（4-15）是多解的，可选择“正”解或“负”解确定式（4-15）的符号。在确定时，再次应用求解运动学参数的方法，即常用的先确定期望关节角的正弦和余弦，然后应用2幅角反正切公式的方法。这样确保得出所有的解，且所求的角度是在适当的象限里。式（4-15）是多解的，可选择“正”解或“负”解确定式（4-式（4-17）和（4-18）可以写成：因此利用2幅角反正切公式，得从而式（4-17）和（4-18）可以写成：因此利用2幅角反正切公注意如果x=y=0,则是（4-27）不确定，此时1可取任意值。最后，由式（4-8）（4-9）能够求出1，2，3的和：由于1，2 已知，从而可以解出3总之，用代数方法求解运动学方程是求解操作臂的基本方法之一。注意如果x=y=0,则是（4-27）不确定，此时1可取任意几何解法在几何方法中，为求出操作臂的解，须将操作臂的空间几何参数分解成为平面几何参数。用这种方法在求解操作臂时（特别是1=0或90）是相当容易的。然后应用平面几何方法可以求出关节角度。几何解法在几何方法中，为求出操作臂的解，须将操作臂的空间几何利用余弦定理求解2现在，cos(180+2)=-cos(2)，所以有讨论：为了保证解存在，目标点(x,y)应满足；在满足解存在的前提下，有两个解利用余弦定理求解2现在，cos(180+2)=-cos为了求解1，需要建立图4-8所示的和角的表达式。首先，可以位于任意象限，这是由x和y的符号决定的。为此，应用2幅角反正切公式：再利用余弦定理解出：其中当时取“+”号当时取“”号为了求解1，需要建立图4-8所示的和角的表达式。首先，可由解出关节角可由解出关节角4.5 通过化简为多项式的代数解法超越方程往往很难求解，即使只有一个变量，因为它一般常以sin和cos的形式出现。可进行下列变换，用单一变量u来表示：这是在求解运动学方程中经常用到的一种很重要的几何变换方法。这个变换是把超越方程变换成关于u的多项式方程。4.5通过化简为多项式的代数解法超越方程往往很难求解，即例4.3 将超越方程 变换成含有半角正切的一次多项式，以求解。例4.3将超越方程4.6 三轴相交的PIEPER解法如前所述，尽管一般具有6个自由度的机器人没有封闭解，但在某些特殊情况下还是可解的。Pieper研究了3个相邻的轴交于一点的6自由度操作臂。在本节中，我们将介绍Pieper提出的方法，这种方法是针对6个关节均为旋转关节、且后面3个轴相交的操作臂。当最后3根轴相交时，连杆坐标系4，5和6原点均位于这个交点上。这点的基坐标如下4.6三轴相交的PIEPER解法如前所述，尽管一般具有6机器人学导论第4章操作臂逆运动学ppt课件即，对于i=4，由式（3-6）的第4列有或式中，在式（4-44）中，对于应用式（3-6）得出下列的表达式：（3-6）即，对于i=4，由式（3-6）的第4列有或式中，在式（4-4在式（4-43）中，对于 和 应用式（3-6）得式中，现在写出 平方的表达式，这里 ，从式（4-46）可以看出在式（4-43）中，对于和应用式所以，对于gi，由式（4-47）得现在，由式（4-46）写出z方向分量的方程，那么表示这个系统的两个方程如下：式中，所以，对于gi，由式（4-47）得现在，由式（4-46）写出方程式（4-50）很有用，因为它消去了因变量1，并且简化了因变量2的形式。现在讨论如何由式（4-50）求解3，分三种情况：1.若a1=0，则r=k3，这里r是已知的。K3的右边仅是关于3的函数。代入式（4-35）后，由包含tan（3/2）的一元二次方程可以解出3。2.若s1=0，则z=k4，这里z是已知的。再次代入式（4-35）后，利用上面的一元二次方程可以解出3。3.否则，从方程（4-50）中消去s2和c2，得到解出3后，就可以根据式（4-50）解出2，再根据式（4-46）解出1。（4-50）方程式（4-50）很有用，因为它消去了因变量1，并且简化了4.7 操作臂逆运动学实例在本节中，将研究两个工业机器人的逆运动学问题。一种是仅用代数方法求操作臂的解，第二种是用部分代数方法和部分几何方法求操作臂的解。下面的解法并不是适用于解决所有机器人运动学问题，但是对于大多数通用操作臂来说，这些解法是最常用的。注意，前面提到的Pieper的解法能够适用于这些操作臂，但在这里我们选择一种不同的方法来求解，以便对各种有效解法有所了解。4.7操作臂逆运动学实例在本节中，将研究两个工业机器人的The Unimation PUMA 560机器人将PUMA 560的运动方程写为:若末端连杆的位姿已经给定,即 为已知,则求关节变量 的值称为运动反解.TheUnimationPUMA560机器人将PUMA1.求式中,正、负号对应于 的两个可能解.1.求式中,正、负号对应于的两个可能解.元素(1,4)和(3,4)分别对应相等元素(1,4)和(3,4)分别对应相等2.求再令矩阵方程(4-64)两端的元素(1,4)和(3,4)分别对应相等,则得两方程:式(4-65)与式(4-57)的平方和为:式中,正、负号对应于 的两个可能解.2.求再令矩阵方程(4-64)两端的元素(1,4)和(3,3.求令矩阵方程(4-70)两端的元素(1,4)和(2,4)分别对应相等,则得两方程:3.求令矩阵方程(4-70)两端的元素(1,4)和(2,4元素(1,4)和(2,4)分别对应相等元素(1,3)和(3,3)分别对应相等元素(1,4)和(2,4)分别对应相等元素(1,3)和(3联立上述两个方程可以解出s23和c23，结果为根据 解的四种可能组合可以得到相应的四种可能值 ,于是可得到 的四种可能解.联立上述两个方程可以解出s23和c23，结果为根据4.求令式(4-70)两端的元素(1,3)和(3,3)分别对应相等,则得两方程:当S5=0时,机械手处于奇异形位.此时,关节轴4和6重合,只能解出4和6的和或差.奇异形位可以由式(3.79)中的atan2的两个变量是否接近零来判别.若都接近零,则为奇异形位,否则,不是奇异形位.在奇异形位时,可任意选取4值,再计算相应的6值.4.求令式(4-70)两端的元素(1,3)和(3,3)分别5.求令矩阵方程(4-77)两端的元素(1,3)和(3,3)分别对应相等,则得两方程:5.求令矩阵方程(4-77)两端的元素(1,3)和(3,3元素(1,3)和(3,3)分别对应相等元素(1,3)和(3,3)分别对应相等6.求令矩阵方程(4-77)两端的元素(3,1)和(1,1)分别对应相等式中6.求令矩阵方程(4-77)两端的元素(3,1)和(1,1由于在式（4-64）和（4-68）中出现了号，因此这些方程可能有4种解。另外，由于作臂腕关节“翻转”可得到另外4个解。对于以上计算出的4种解，由腕关节的“翻转”可得到当计算出所有8种答案以后，由于关节运动范围的限制要将其中的一些解（甚至全部）舍去。在余下的有效解中，通常选取一个最接近于当前操作臂的解。由于在式（4-64）和（4-68）中出现了号，因此这些方程解的多重性PUMA560的运动反解可能存在8种解.但是,由于结构的限制,例如各关节变量不能在全部360度范围内运动,有些解不能实现.在机器人存在多种解的情况下,应选取其中最满意的一组解,以满足机器人的工作要求.解的多重性PUMA560的运动反解可能存在8种解.但是,由于Yasukawa Motoman L-3型机器人由第3章中第二个例子，这里将要求解Yasukawa Motman L-3型机器人的运动学方程。这个解将由部分代数解以及部分几何解组成。Motman L-3有三个特征使它的逆运动学特性不同于PUMA机器人。YasukawaMotomanL-3型机器人由第3章中第如果考虑Motoman操作臂子空间的特性，可以很快看到这个子空间可以通过一个可达方位的约束来描述。工具端的指向（ZT轴）必须位于“操作臂的平面内”，该面是一个包含关节1的轴线以及轴4和轴5交点的垂直面。以最小旋转量改变工具端的指向从而获得离一般方位最近的方位，该方位位于上述平面内。不需要给出这个子空间的显函数方程，而只需要建立一种将一般目标坐标系投影到这个子空间的方法。注意，对于这种情况的讨论仅是由于腕部坐标系和工具坐标系沿ZW的平移不同。如果考虑Motoman操作臂子空间的特性，可以很快看到这个子图4-9中所示为操作臂平面的法向M以及工具端的期望指向ZT。为了在这个平面内产生一个新的指向ZT，该指向必须绕某一矢量K旋转角。显然，使最小的K位于这个平面内，同时ZT与ZT和正交。对于任何给定的目标坐标系，M的定义如下图4-9中所示为操作臂平面的法向M以及工具端的期望指向ZT。的旋转量为应用Rodrique公式，有的旋转量为应用Rodrique公式，有机器人学导论第4章操作臂逆运动学ppt课件假定已知腕部坐标系在操作臂的子空间内，我们按照下述方法求解运动学方程。在求解MotomanL-3运动学方程时，可以构造连杆变换矩阵的乘积：如果令假定已知腕部坐标系在操作臂的子空间内，我们按照下述方法求解运式中左边为右边为式（4-94）中一些元素并没有给出。令方程两边的元素（3,4）相等，得式中左边为右边为式（4-94）中一些元素并没有给出。令方程两由此求得令元素（3,1）和（3,2）相等，得令元素（2,3）和（1,3）相等，得由此得由此求得令元素（3,1）和（3,2）相等，得令元素（2,3则有则有最终得到最终得到因为驱动器运动范围已被限定，因此必须检查计算出的结果是否在这个范围之内。事实上，“这个范围”的检查是复杂的。由于机构布局使得驱动器之间相互作用，彼此的运动范围相互影响。对于Motoman机器人，驱动器2和3相互作用而且始终要满足下列关系：即驱动器3的运动范围是驱动器2位置的函数，同样，因为驱动器运动范围已被限定，因此必须检查计算出的结果是否在这4.8 标准坐标系求解关节角度的能力实际上是许多机器人控制系统的核心问题。再次参考图4-11所示的标准坐标系的范例。4.8标准坐标系求解关节角度的能力实际上是许多机器人控制在一般的机器人系统中，我们按照如下方法应用这些坐标系：（1）由用户确定系统中工作台坐标系的位置，这个坐标系可能在工作台的角点上，如图4-12所示，或者附于一个移动的传送带上。工作台坐标系S是相对于基坐标系B定义的。（2）用户通过规定坐标系T给出机器人所用工具的描述。对于每种末端执行器，机器人抓持的每一种工具都应当有一个相应的工具坐标系T。注意，以不同的方式抓持相同的工具，工具坐标系T的定义是不同的。工具坐标系T是相对于腕部坐标系W定义的，即（3）用户通过给定目标坐标系G相对于工作台坐标系的描述来指定机器人运动的目标点。对于机器人的某些运动，T和S的定义经常保持不变。在这种情况下，一旦它们被定义，用户仅需给出一系列G的规定。在许多系统中，工具坐标系的定义（）是一个常量（比如，由两指端中心的原点来定义）。工作台坐标系可以被固定，也可以由用户通过机器人简单示教。在这些系统中，并不需要用户搞清楚这五种标准坐标系他们只需要相对于由工作台坐标系确定的工作区域，移动工具到指定的位置（目标）。（4）机器人系统需要计算一系列关节角度使关节依次运动，工具坐标系从初始位置以连续方式运动，直到T=G时运动结束。在一般的机器人系统中，我们按照如下方法应用这些坐标系：机器人学导论第4章操作臂逆运动学ppt课件4.9 操作臂求解SOLVE函数可进行笛卡尔变换，称为逆运动学函数。这个逆运动学是广义的，使得工具坐标系和工作台坐标系的定义可以应用于基本逆运动学，从而可以求解相对于基坐标系的腕部坐标系。4.9操作臂求解SOLVE函数可进行笛卡尔变换，称为逆运习 题4.1 4.2 4.16 4.17Hu 4.1 4.16Liu 4.2 4.17习题4.14.24.16