工业机器人第三章欧拉角DH参数ppt课件

3.5 机器人常用坐机器人常用坐标系及系及变换方程方程3.5 机器人常用坐标系及变换方程机器人常用坐标系及变换方程工业机器人第三章欧拉角工业机器人第三章欧拉角DH参数参数ppt课件课件3.6 RPY角和欧拉角角和欧拉角 (一一一一)RPY)RPY角角角角 RPYRPY角是描述船舶在海中角是描述船舶在海中角是描述船舶在海中角是描述船舶在海中航行时姿态的一种方法。将船航行时姿态的一种方法。将船航行时姿态的一种方法。将船航行时姿态的一种方法。将船的行驶方向取为的行驶方向取为的行驶方向取为的行驶方向取为Z Z轴，则绕轴，则绕轴，则绕轴，则绕Z Z轴轴轴轴的旋转的旋转的旋转的旋转(角角角角)称为滚动称为滚动称为滚动称为滚动(Roll)(Roll)；把；把；把；把绕绕绕绕Y Y轴的旋转轴的旋转轴的旋转轴的旋转(角角角角)称为俯仰称为俯仰称为俯仰称为俯仰(Pitch)(Pitch)；而把垂直方向取为；而把垂直方向取为；而把垂直方向取为；而把垂直方向取为X X轴，轴，轴，轴，将绕将绕将绕将绕X X轴的旋转轴的旋转轴的旋转轴的旋转(角角角角)称为偏转称为偏转称为偏转称为偏转(Yaw)(Yaw)，如右图，如右图，如右图，如右图1-91-9所示。操作所示。操作所示。操作所示。操作臂手爪姿态的规定方法类似臂手爪姿态的规定方法类似臂手爪姿态的规定方法类似臂手爪姿态的规定方法类似(如如如如图图图图1-10)1-10)，故习惯上称为，故习惯上称为，故习惯上称为，故习惯上称为RPYRPY角角角角方法。方法。方法。方法。1-9 1-9 滚动、俯仰、偏转滚动、俯仰、偏转滚动、俯仰、偏转滚动、俯仰、偏转1-10 1-10 机器人手的滚动、俯仰、偏转机器人手的滚动、俯仰、偏转机器人手的滚动、俯仰、偏转机器人手的滚动、俯仰、偏转3.6 RPY角和欧拉角角和欧拉角1-9 滚动、俯仰、偏转滚动、俯仰、偏转1-10 这种描述活动坐标系方位的法则这种描述活动坐标系方位的法则这种描述活动坐标系方位的法则这种描述活动坐标系方位的法则如下：如下：如下：如下：活动系的初始方位与固定坐活动系的初始方位与固定坐活动系的初始方位与固定坐活动系的初始方位与固定坐标系重合，首先将活动系绕固定标系重合，首先将活动系绕固定标系重合，首先将活动系绕固定标系重合，首先将活动系绕固定坐标系的坐标系的坐标系的坐标系的X X轴旋转轴旋转轴旋转轴旋转 角，再绕固定角，再绕固定角，再绕固定角，再绕固定坐标系的坐标系的坐标系的坐标系的Y Y轴转轴转轴转轴转 角，最后绕固定角，最后绕固定角，最后绕固定角，最后绕固定坐标系的坐标系的坐标系的坐标系的Z Z轴转轴转轴转轴转 角，如图角，如图角，如图角，如图1-111-11所所所所示。因为三次旋转都是相对于固示。因为三次旋转都是相对于固示。因为三次旋转都是相对于固示。因为三次旋转都是相对于固定坐标系的，所以得相应的旋转定坐标系的，所以得相应的旋转定坐标系的，所以得相应的旋转定坐标系的，所以得相应的旋转矩阵：矩阵：矩阵：矩阵：1-11 RPY1-11 RPY角角角角 这种描述活动坐标系方位的法则如下：这种描述活动坐标系方位的法则如下：1-11 RPY角角其中：其中：将矩阵相乘得：将矩阵相乘得：它表示绕固定坐标系的三个轴依次旋转得到的旋它表示绕固定坐标系的三个轴依次旋转得到的旋它表示绕固定坐标系的三个轴依次旋转得到的旋它表示绕固定坐标系的三个轴依次旋转得到的旋转转转转矩矩矩矩阵，因此称为绕固定轴阵，因此称为绕固定轴阵，因此称为绕固定轴阵，因此称为绕固定轴X-Y-ZX-Y-Z旋转的旋转的旋转的旋转的RPYRPY角法。角法。角法。角法。.(11).(11)其中：将矩阵相乘得：其中：将矩阵相乘得：它表示绕固定坐标它表示绕固定坐标 现在来讨论逆问题：从给定的旋转矩阵求现在来讨论逆问题：从给定的旋转矩阵求出等价的绕固定轴出等价的绕固定轴X-Y-Z的的转转角角、。令：令：式中有式中有3个未知数，共个未知数，共9个方程，其中个方程，其中6个个方程不独立因此可以利用其中的方程不独立因此可以利用其中的3个方程解出个方程解出未知数。未知数。.(12).(12)现在来讨论逆问题：从给定的旋转矩阵求出现在来讨论逆问题：从给定的旋转矩阵求出由式由式由式由式(1111)、(1212)可以看出：可以看出：可以看出：可以看出：如果如果如果如果cos 0cos 0，则得到各个角的反正切表达式，则得到各个角的反正切表达式，则得到各个角的反正切表达式，则得到各个角的反正切表达式:式中，式中，式中，式中，AtaAtan n(y(y，x)x)是双变量反正切函数。是双变量反正切函数。是双变量反正切函数。是双变量反正切函数。式式式式(1313)中的根式一般有两个解，我们总是取中的根式一般有两个解，我们总是取中的根式一般有两个解，我们总是取中的根式一般有两个解，我们总是取-90900 0 90900 0中的一个解。中的一个解。中的一个解。中的一个解。.(13).(13)由式由式(11)、(12)可以看出：如果可以看出：如果cos 0，则得到各，则得到各 (二二二二)欧拉角欧拉角欧拉角欧拉角1 1绕运动系绕运动系绕运动系绕运动系X-Y-ZX-Y-Z转动的欧拉角转动的欧拉角转动的欧拉角转动的欧拉角 这种坐标系运动的描述如下：这种坐标系运动的描述如下：这种坐标系运动的描述如下：这种坐标系运动的描述如下：运动坐标系的初始方位与参运动坐标系的初始方位与参运动坐标系的初始方位与参运动坐标系的初始方位与参考系相同，首先使运动系绕考系相同，首先使运动系绕考系相同，首先使运动系绕考系相同，首先使运动系绕Z Z轴轴轴轴转转转转角，然后绕运动系的角，然后绕运动系的角，然后绕运动系的角，然后绕运动系的Y Y轴转轴转轴转轴转角，最后绕运动系的角，最后绕运动系的角，最后绕运动系的角，最后绕运动系的X X轴转轴转轴转轴转角，角，角，角，如图如图如图如图1-121-12所示。这种描述法中的所示。这种描述法中的所示。这种描述法中的所示。这种描述法中的各次转动都是相对于运动坐标系各次转动都是相对于运动坐标系各次转动都是相对于运动坐标系各次转动都是相对于运动坐标系的某轴进行的，而不是相对于固的某轴进行的，而不是相对于固的某轴进行的，而不是相对于固的某轴进行的，而不是相对于固定的参考系。这样的三次转动角定的参考系。这样的三次转动角定的参考系。这样的三次转动角定的参考系。这样的三次转动角称为欧拉角。因此可以得出欧拉称为欧拉角。因此可以得出欧拉称为欧拉角。因此可以得出欧拉称为欧拉角。因此可以得出欧拉变换矩阵变换矩阵变换矩阵变换矩阵1-12 1-12 绕绕绕绕Z-Y-XZ-Y-X转动转动转动转动的欧拉角的欧拉角的欧拉角的欧拉角 (二二)欧拉角欧拉角1-12 绕绕Z-Y-X转动的欧拉角转动的欧拉角欧拉变换矩阵：欧拉变换矩阵：欧拉变换矩阵：欧拉变换矩阵：其中：其中：将矩阵相乘得：将矩阵相乘得：欧拉变换矩阵：其中：将矩阵相乘得：欧拉变换矩阵：其中：将矩阵相乘得：这一结果与绕固定轴这一结果与绕固定轴X-Y-Z旋转的结果旋转的结果完全相同。这是因为绕固定轴旋转的顺序与完全相同。这是因为绕固定轴旋转的顺序与绕运动轴旋转的顺序相反，且旋转的角度也绕运动轴旋转的顺序相反，且旋转的角度也对应相等时，所得到的变换矩阵是相同的。对应相等时，所得到的变换矩阵是相同的。因此，用因此，用Z-Y-X欧拉角与固定轴欧拉角与固定轴X-Y-Z转角描转角描述运动坐标系是完全等价的。述运动坐标系是完全等价的。这一结果与绕固定轴这一结果与绕固定轴X-Y-Z旋转的结旋转的结 2 2绕绕绕绕Z-Y-ZZ-Y-Z转动的欧拉角转动的欧拉角转动的欧拉角转动的欧拉角 这种坐标系运动的描述这种坐标系运动的描述这种坐标系运动的描述这种坐标系运动的描述如下：如下：如下：如下：最初，坐标系与参考最初，坐标系与参考最初，坐标系与参考最初，坐标系与参考坐标系重合。首先使运动坐标系重合。首先使运动坐标系重合。首先使运动坐标系重合。首先使运动系绕系绕系绕系绕Z Z轴转动轴转动轴转动轴转动 角，然后绕角，然后绕角，然后绕角，然后绕运动系的运动系的运动系的运动系的Y Y轴转轴转轴转轴转 角，最后角，最后角，最后角，最后绕运动系的绕运动系的绕运动系的绕运动系的Z Z轴转轴转轴转轴转 角，如角，如角，如角，如图图图图3-93-9所示。所示。所示。所示。绕绕绕绕Z-Y-ZZ-Y-Z转动的欧拉角转动的欧拉角转动的欧拉角转动的欧拉角 2绕绕Z-Y-Z转动的欧拉角转动的欧拉角 绕绕Z-Y-Z转动的欧拉角转动的欧拉角 可以求得：可以求得：可以求得：可以求得：同样，求同样，求同样，求同样，求Z-Y-ZZ-Y-Z欧拉角的逆解方法如下欧拉角的逆解方法如下欧拉角的逆解方法如下欧拉角的逆解方法如下：如果如果如果如果sin 0sin 0，则，则，则，则:令：令：同样，求同样，求Z-Y-Z欧拉角的逆解方法如下：如果欧拉角的逆解方法如下：如果sin 0，工业机器人第三章欧拉角工业机器人第三章欧拉角DH参数参数ppt课件课件(1)(1)Z Zi i坐标轴是沿着坐标轴是沿着坐标轴是沿着坐标轴是沿着i+1i+1关节的运动轴。关节的运动轴。关节的运动轴。关节的运动轴。(2)(2)X Xi i轴是沿着轴是沿着轴是沿着轴是沿着Z Zi i 和和和和Z Zi-1i-1的公垂线，指向离开的公垂线，指向离开的公垂线，指向离开的公垂线，指向离开Z Zi-1i-1 轴的方向。轴的方向。轴的方向。轴的方向。(3)(3)Y Yi i轴的方向按构成轴的方向按构成轴的方向按构成轴的方向按构成X Xi i Y Yi i Z Zi i右手直角坐标系来建立。右手直角坐标系来建立。右手直角坐标系来建立。右手直角坐标系来建立。(4)(4)公垂线长度公垂线长度公垂线长度公垂线长度a ai i是是是是Z Zi-1i-1 和和和和Z Zi i两轴间的最小距离，一段称两轴间的最小距离，一段称两轴间的最小距离，一段称两轴间的最小距离，一段称a ai i 为连杆长度。为连杆长度。为连杆长度。为连杆长度。(5)5)两公垂线两公垂线两公垂线两公垂线a ai-1i-1和和和和a ai i 之间的距离称为连杆距离之间的距离称为连杆距离之间的距离称为连杆距离之间的距离称为连杆距离d di i。(6)(6)X Xi-1i-1轴与轴与轴与轴与X Xi i之间的夹角为之间的夹角为之间的夹角为之间的夹角为 i i，以绕，以绕，以绕，以绕Z Zi-1i-1轴右旋为正，一般称为连杆的夹角。轴右旋为正，一般称为连杆的夹角。轴右旋为正，一般称为连杆的夹角。轴右旋为正，一般称为连杆的夹角。(7)(7)Z Zi-1i-1轴与轴与轴与轴与Z Zi i之间的之间的之间的之间的夹角为夹角为夹角为夹角为 i i，以绕，以绕，以绕，以绕 X Xi i轴轴轴轴右旋为正右旋为正右旋为正右旋为正，i i称为扭转角。称为扭转角。称为扭转角。称为扭转角。转动连杆参数转动连杆参数转动连杆参数转动连杆参数3.7 机器人连杆参数及其机器人连杆参数及其DH坐标变换坐标变换(1)Zi坐标轴是沿着坐标轴是沿着i+1关节的运动轴。转动连杆参数关节的运动轴。转动连杆参数3.7工业机器人第三章欧拉角工业机器人第三章欧拉角DH参数参数ppt课件课件 若两杆以移动副连接，则连杆构件坐标系的建若两杆以移动副连接，则连杆构件坐标系的建若两杆以移动副连接，则连杆构件坐标系的建若两杆以移动副连接，则连杆构件坐标系的建立及参数的规定如图立及参数的规定如图立及参数的规定如图立及参数的规定如图2-22-2所示。图中各符号所表示的所示。图中各符号所表示的所示。图中各符号所表示的所示。图中各符号所表示的意义仍与图意义仍与图意义仍与图意义仍与图2-12-1相同。由于对于移动相同。由于对于移动相同。由于对于移动相同。由于对于移动副副副副来说，连杆长来说，连杆长来说，连杆长来说，连杆长度度度度a ai i 已经没有意义，已经没有意义，已经没有意义，已经没有意义，故故故故令其为零，形成的构件坐标系令其为零，形成的构件坐标系令其为零，形成的构件坐标系令其为零，形成的构件坐标系见图见图见图见图2-22-2。移动连杆参数移动连杆参数移动连杆参数移动连杆参数 若两杆以移动副连接，则连杆构件坐标系若两杆以移动副连接，则连杆构件坐标系 由图由图由图由图2-12-1和图和图和图和图2-22-2可知，四个参数可知，四个参数可知，四个参数可知，四个参数ai，di，i，i完完完完全确定了连杆全确定了连杆全确定了连杆全确定了连杆i-1i-1和和和和连杆连杆连杆连杆i i之间之间之间之间的的的的相对关系，一般相对关系，一般相对关系，一般相对关系，一般ai，i 为常量，由连杆为常量，由连杆为常量，由连杆为常量，由连杆i i的形状确定。对于转动关节，的形状确定。对于转动关节，的形状确定。对于转动关节，的形状确定。对于转动关节，di 是是是是常量，常量，常量，常量，i为变量为变量为变量为变量；对于移动关节对于移动关节对于移动关节对于移动关节i是常量，是常量，是常量，是常量，di 是变量。是变量。是变量。是变量。根据上述模式，我们给所有连杆赋根据上述模式，我们给所有连杆赋根据上述模式，我们给所有连杆赋根据上述模式，我们给所有连杆赋予予予予坐标系，并坐标系，并坐标系，并坐标系，并且可以建立且可以建立且可以建立且可以建立i-1i-1和和和和i i坐标系之间的变换关系。应当说明的坐标系之间的变换关系。应当说明的坐标系之间的变换关系。应当说明的坐标系之间的变换关系。应当说明的是，尽管是，尽管是，尽管是，尽管Z Zi i轴通过关节轴通过关节轴通过关节轴通过关节i+1i+1的轴线，但坐标系的轴线，但坐标系的轴线，但坐标系的轴线，但坐标系X Xi i Y Yi i Z Zi i 是是是是固定在连固定在连固定在连固定在连杆杆杆杆i i上的，随连杆上的，随连杆上的，随连杆上的，随连杆i i运动而一起运动。运动而一起运动。运动而一起运动。运动而一起运动。由图由图2-1和图和图2-2可知，四个参数可知，四个参数ai1 1旋转连杆坐标系及其旋转连杆坐标系及其旋转连杆坐标系及其旋转连杆坐标系及其D-HD-H坐标变换坐标变换坐标变换坐标变换 1旋转连杆坐标系及其旋转连杆坐标系及其D-H坐标变换坐标变换工业机器人第三章欧拉角工业机器人第三章欧拉角DH参数参数ppt课件课件2 2移动连杆坐标系及其连移动连杆坐标系及其连移动连杆坐标系及其连移动连杆坐标系及其连杆的杆的杆的杆的D-HD-H坐标变换坐标变换坐标变换坐标变换 2移动连杆坐标系及其连杆的移动连杆坐标系及其连杆的D-H坐标变换坐标变换工业机器人第三章欧拉角工业机器人第三章欧拉角DH参数参数ppt课件课件工业机器人第三章欧拉角工业机器人第三章欧拉角DH参数参数ppt课件课件 第三节第三节 建立机器人机构运动学方程的实例建立机器人机构运动学方程的实例 根据上节所述方法，首先建立机器人各杆件根据上节所述方法，首先建立机器人各杆件根据上节所述方法，首先建立机器人各杆件根据上节所述方法，首先建立机器人各杆件的构件坐标系，从而得出齐次变换矩阵的构件坐标系，从而得出齐次变换矩阵的构件坐标系，从而得出齐次变换矩阵的构件坐标系，从而得出齐次变换矩阵T Ti i。一个。一个。一个。一个T T矩阵仅能描述连杆坐标系之间相对平移和旋转的矩阵仅能描述连杆坐标系之间相对平移和旋转的矩阵仅能描述连杆坐标系之间相对平移和旋转的矩阵仅能描述连杆坐标系之间相对平移和旋转的一次齐次变换。一次齐次变换。一次齐次变换。一次齐次变换。T T1 1描述第一个连杆相对于某个坐描述第一个连杆相对于某个坐描述第一个连杆相对于某个坐描述第一个连杆相对于某个坐标系标系标系标系(如机身如机身如机身如机身)的位姿，的位姿，的位姿，的位姿，T T2 2描述第二个描述第二个描述第二个描述第二个连连连连杆杆杆杆(构件构件构件构件)坐标系相对于第一个连杆坐标系相对于第一个连杆坐标系相对于第一个连杆坐标系相对于第一个连杆(构件构件构件构件)坐标系的位姿。坐标系的位姿。坐标系的位姿。坐标系的位姿。第三节第三节 建立机器人机构运动学方程的实例建立机器人机构运动学方程的实例 若有一个六连杆机器人，机器人手的末端若有一个六连杆机器人，机器人手的末端若有一个六连杆机器人，机器人手的末端若有一个六连杆机器人，机器人手的末端(即连即连即连即连杆坐标系杆坐标系杆坐标系杆坐标系6)6)相对于相对于相对于相对于固定固定固定固定坐标系的变换坐标系的变换坐标系的变换坐标系的变换可表示为可表示为可表示为可表示为 若有一个六连杆机器人，机器人手的末端若有一个六连杆机器人，机器人手的末端(一个六连杆机器人有六个自由度一个六连杆机器人有六个自由度一个六连杆机器人有六个自由度一个六连杆机器人有六个自由度(每个连杆有每个连杆有每个连杆有每个连杆有一个自由度一个自由度一个自由度一个自由度)。机器人最后一个构件。机器人最后一个构件。机器人最后一个构件。机器人最后一个构件(手部手部手部手部)有三个有三个有三个有三个自由度用来确定其位置，三个自由度用来确定其自由度用来确定其位置，三个自由度用来确定其自由度用来确定其位置，三个自由度用来确定其自由度用来确定其位置，三个自由度用来确定其方向。对如图方向。对如图方向。对如图方向。对如图2-32-3所示的一个机器人手部，我们可所示的一个机器人手部，我们可所示的一个机器人手部，我们可所示的一个机器人手部，我们可以把描述其位置和方向的坐标系原点定在两个手以把描述其位置和方向的坐标系原点定在两个手以把描述其位置和方向的坐标系原点定在两个手以把描述其位置和方向的坐标系原点定在两个手指的中点，用一个向量指的中点，用一个向量指的中点，用一个向量指的中点，用一个向量p p描述这个原点。用三个向描述这个原点。用三个向描述这个原点。用三个向描述这个原点。用三个向量量量量n n、o o、a a描述机器人的姿态。描述机器人的姿态。描述机器人的姿态。描述机器人的姿态。图图图图 2-3 2-3 手抓坐标系手抓坐标系手抓坐标系手抓坐标系 一个六连杆机器人有六个自由度一个六连杆机器人有六个自由度(每个连每个连 当手部处于初当手部处于初当手部处于初当手部处于初始始始始位置和姿态时，向量位置和姿态时，向量位置和姿态时，向量位置和姿态时，向量Z Z指向手接指向手接指向手接指向手接近物体的方向近物体的方向近物体的方向近物体的方向。其单位向量其单位向量其单位向量其单位向量a a称为接近向量。向量称为接近向量。向量称为接近向量。向量称为接近向量。向量Y Y的单位向量的单位向量的单位向量的单位向量o o称为方位向量。最后一个单位向量称为称为方位向量。最后一个单位向量称为称为方位向量。最后一个单位向量称为称为方位向量。最后一个单位向量称为正交向量正交向量正交向量正交向量n n。上述向量构成右手矢量积，它们用向量。上述向量构成右手矢量积，它们用向量。上述向量构成右手矢量积，它们用向量。上述向量构成右手矢量积，它们用向量的矢量积来表示：的矢量积来表示：的矢量积来表示：的矢量积来表示：n=o x a 这样，变换这样，变换这样，变换这样，变换T T6060可用下列矩阵表示可用下列矩阵表示可用下列矩阵表示可用下列矩阵表示:当手部处于初始位置和姿态时，向量当手部处于初始位置和姿态时，向量Z指指 根据根据根据根据前面两式前面两式前面两式前面两式即可建立机器人的即可建立机器人的即可建立机器人的即可建立机器人的位姿方程。坐标变位姿方程。坐标变位姿方程。坐标变位姿方程。坐标变换图如图换图如图换图如图换图如图2-42-4所示。所示。所示。所示。图图图图 2-4 2-4 机器人手的坐标变换图机器人手的坐标变换图机器人手的坐标变换图机器人手的坐标变换图 根据前面两式即可建立机器人的位姿方程。根据前面两式即可建立机器人的位姿方程。下面给出两个机器人手运动方程的求解实例下面给出两个机器人手运动方程的求解实例 例例例例11 PUMA560PUMA560六自由六自由六自由六自由度度度度机械手由转动坐标臂机械手由转动坐标臂机械手由转动坐标臂机械手由转动坐标臂(RRRRRR)和欧拉腕组成，其结构示意图参看和欧拉腕组成，其结构示意图参看和欧拉腕组成，其结构示意图参看和欧拉腕组成，其结构示意图参看图图图图2-52-5。关。关。关。关节变量为节变量为节变量为节变量为1,2 ,6，若己若己若己若己知知知知PUMA560PUMA560六自由度六自由度六自由度六自由度机械手机械手机械手机械手190900 0,20 00 0 ,390900 0,40 00 0 ，50 00 0 ，60 00 0 ，a2431431.8 8mm,mm,d2149149.09mm09mm，d4433433.0707mmmm，d65656.2525mmmm。求。求。求。求T Ti i(i il l，2 2，3 3，4 4，5 5，6)6)及及及及T T6060的表达式及当的表达式及当的表达式及当的表达式及当i取给定值时末杆的位取给定值时末杆的位取给定值时末杆的位取给定值时末杆的位姿。姿。姿。姿。下面给出两个机器人手运动方程的求解实例下面给出两个机器人手运动方程的求解实例图图图图 2-5 PUMA-5602-5 PUMA-560机械手坐标系机械手坐标系机械手坐标系机械手坐标系图图 2-5 PUMA-560机械手坐标系机械手坐标系 解解 (1)(1)设定机器人各杆的坐标系设定机器人各杆的坐标系设定机器人各杆的坐标系设定机器人各杆的坐标系 按按按按DHDH坐标系建立各杆的坐标系如图坐标系建立各杆的坐标系如图坐标系建立各杆的坐标系如图坐标系建立各杆的坐标系如图2-52-5所示。所示。所示。所示。将将将将o o0 0z z0 0设置在关节设置在关节设置在关节设置在关节1 1的转轴上，的转轴上，的转轴上，的转轴上，o o0 0和和和和o o1 1重合；重合；重合；重合；o o1 1z z1 1 o o2 2z z2 2分别沿关节分别沿关节分别沿关节分别沿关节2 2、3 3的转轴，的转轴，的转轴，的转轴，o o1 1z z1 1 o o2 2z z2 2。z z3 3与与与与z z2 2轴的交点为轴的交点为轴的交点为轴的交点为o o3 3；o o2 2和和和和o o3 3重合，重合，重合，重合，d30,o0,o3 3x x3 3y y3 3z z3 3并非置并非置并非置并非置于臂的终端。于臂的终端。于臂的终端。于臂的终端。o o3 3z z3 3是腕的第一个转轴。是腕的第一个转轴。是腕的第一个转轴。是腕的第一个转轴。z z4 4与与与与z z3 3的交点的交点的交点的交点为为为为o o4 4 ，设在臀的终端，是腕结构的中心，设在臀的终端，是腕结构的中心，设在臀的终端，是腕结构的中心，设在臀的终端，是腕结构的中心，o o4 4z z4 4是腕的是腕的是腕的是腕的第二个转轴；第二个转轴；第二个转轴；第二个转轴；z z5 5与与与与z z4 4的交点为的交点为的交点为的交点为o o5 5。o o4 4和和和和o o5 5重合，重合，重合，重合，o o5 5z z5 5是腕的第三个转轴。是腕的第三个转轴。是腕的第三个转轴。是腕的第三个转轴。o o6 6x x6 6y y6 6z z6 6为终端坐标系，该坐标为终端坐标系，该坐标为终端坐标系，该坐标为终端坐标系，该坐标系考虑了工具长度系考虑了工具长度系考虑了工具长度系考虑了工具长度d6。y y6 6、x x6 6、z z6 6的单位向量分别记为的单位向量分别记为的单位向量分别记为的单位向量分别记为n n、o o、a a。解解 (2)(2)确定连杆的确定连杆的确定连杆的确定连杆的D-HD-H参数和关节变量参数和关节变量参数和关节变量参数和关节变量连杆杆变量量adcossin11 1-90 000-122 20a2d21033 390 00 00144 4-90 0d40-155 590 00 00166 600d610 (2)确定连杆的确定连杆的D-H参数和关节变量连杆变量参数和关节变量连杆变量a (3)(3)求两杆间的位姿矩阵求两杆间的位姿矩阵求两杆间的位姿矩阵求两杆间的位姿矩阵A Ai i 根据表根据表根据表根据表2-12-1所示的所示的所示的所示的D-HD-H参数和公式参数和公式参数和公式参数和公式(1)(1)可求得可求得可求得可求得A Ai i其中：其中：(3)求两杆间的位姿矩阵求两杆间的位姿矩阵Ai其中：其中：(4)(4)求末杆位姿矩阵求末杆位姿矩阵求末杆位姿矩阵求末杆位姿矩阵令：令：可得可得 (4)求末杆位姿矩阵令：可得求末杆位姿矩阵令：可得式中：式中：式中：式中：.(5).(5).(5)根据式根据式(3)和式和式(4)可得可得：式中：式中：.(6).(6)根据式根据式(3)和式和式(4)可得：式中：可得：式中：.(6)若令若令190900 0,20 00 0 ,390900 0,40 00 0 50 00 0 60 00 0，并将有关常量代入，并将有关常量代入T6矩阵，则有：矩阵，则有：若令若令1900,200,3900,例例例例22 斯坦福机器人的结构示意图如图斯坦福机器人的结构示意图如图斯坦福机器人的结构示意图如图斯坦福机器人的结构示意图如图2-62-6，它由球，它由球，它由球，它由球面坐标臂面坐标臂面坐标臂面坐标臂(RRP)(RRP)和欧拉腕组成。求和欧拉腕组成。求和欧拉腕组成。求和欧拉腕组成。求A Ai i(i=1(i=1，2 2，3 3，4 4，5 5，6)6)及及及及T T6 6的表达式。的表达式。的表达式。的表达式。解解解解 (1)(1)设定机器人各杆的坐标系设定机器人各杆的坐标系设定机器人各杆的坐标系设定机器人各杆的坐标系 按按按按DHDH坐标系建立各杆的坐标系建立各杆的坐标系建立各杆的坐标系建立各杆的坐标系如图坐标系如图坐标系如图坐标系如图2-62-6所示。所示。所示。所示。图中图中图中图中z z0 0轴沿关节轴沿关节轴沿关节轴沿关节1 1的轴，的轴，的轴，的轴，z zi i轴沿关节轴沿关节轴沿关节轴沿关节(i+1)(i+1)的轴的轴的轴的轴,令所有令所有令所有令所有x xi i轴轴轴轴与机座坐标系与机座坐标系与机座坐标系与机座坐标系x x0 0轴平行，轴平行，轴平行，轴平行，y y轴轴轴轴按右手坐标系确定。原点按右手坐标系确定。原点按右手坐标系确定。原点按右手坐标系确定。原点 o o0 0和和和和o o1 1重合，重合，重合，重合，o o3 3、o o4 4、o o5 5、o o6 6重合。重合。重合。重合。例例2 斯坦福机器人的结构示意图如图斯坦福机器人的结构示意图如图2-6，它由球，它由球 (2)(2)确定连杆的确定连杆的确定连杆的确定连杆的D-HD-H参数和关节变量参数和关节变量参数和关节变量参数和关节变量 连杆的连杆的连杆的连杆的D-HD-H参数见表参数见表参数见表参数见表2-22-2连杆杆 变量量adcossin11 1-90 000-122 2900d20133 300 d3 1044 4-90 000-155 5900 00166 600010表表表表2-2 2-2 斯坦福机器人的斯坦福机器人的斯坦福机器人的斯坦福机器人的D-HD-H参数参数参数参数 (2)确定连杆的确定连杆的D-H参数和关节变量连杆变量参数和关节变量连杆变量a (3)(3)求两杆间的位姿矩阵求两杆间的位姿矩阵求两杆间的位姿矩阵求两杆间的位姿矩阵A Ai i 根据表根据表根据表根据表2-22-2所示的所示的所示的所示的D-HD-H参数和公式参数和公式参数和公式参数和公式(1)(1)可求得可求得可求得可求得A Ai i其中：其中：(3)求两杆间的位姿矩阵求两杆间的位姿矩阵Ai其中：其中：(4)(4)求机器人的运动学方程求机器人的运动学方程求机器人的运动学方程求机器人的运动学方程其中：其中：(4)求机器人的运动学方程其中：求机器人的运动学方程其中：第四节第四节 机器人位移分析的逆问题机器人位移分析的逆问题 前面介绍了如何建立机器人的运动学方程。前面介绍了如何建立机器人的运动学方程。前面介绍了如何建立机器人的运动学方程。前面介绍了如何建立机器人的运动学方程。对于具有对于具有对于具有对于具有n n个自由度的操作臂而言，其运动学方程个自由度的操作臂而言，其运动学方程个自由度的操作臂而言，其运动学方程个自由度的操作臂而言，其运动学方程可以写成：可以写成：可以写成：可以写成：方程左边表示末端连方程左边表示末端连方程左边表示末端连方程左边表示末端连杆杆杆杆相对于参考坐标系的位姿。相对于参考坐标系的位姿。相对于参考坐标系的位姿。相对于参考坐标系的位姿。根据机器人各个关节变量根据机器人各个关节变量根据机器人各个关节变量根据机器人各个关节变量q qi i(i(i1 1，2 2，n)n)的值，便的值，便的值，便的值，便可计算出机器人末端的位姿方程，称为机械手的运动分可计算出机器人末端的位姿方程，称为机械手的运动分可计算出机器人末端的位姿方程，称为机械手的运动分可计算出机器人末端的位姿方程，称为机械手的运动分析，或析，或析，或析，或正向运动学正向运动学正向运动学正向运动学；反之，为了使机器人所握工具相对；反之，为了使机器人所握工具相对；反之，为了使机器人所握工具相对；反之，为了使机器人所握工具相对参考系的位姿满足给定的要求，计算相应的关节变参考系的位姿满足给定的要求，计算相应的关节变参考系的位姿满足给定的要求，计算相应的关节变参考系的位姿满足给定的要求，计算相应的关节变量量量量，这一过程称为这一过程称为这一过程称为这一过程称为运动学逆解运动学逆解运动学逆解运动学逆解。第四节第四节 机器人位移分析的逆问题机器人位移分析的逆问题 从工程应用的角度而言，从工程应用的角度而言，运动学逆解运动学逆解往往更往往更重要，重要，它是机器人运动规划和轨迹控制的基础它是机器人运动规划和轨迹控制的基础。正向运动学的解是正向运动学的解是唯一唯一确定的，即各个关节确定的，即各个关节变量给定之后，手臀末端的手爪或工具的变量给定之后，手臀末端的手爪或工具的位姿位姿是是唯一唯一确定的；然而运动学逆解往往具有多重解，确定的；然而运动学逆解往往具有多重解，也可能不存在解。此外，对于运动学逆解而言，也可能不存在解。此外，对于运动学逆解而言，仅仅用某种方法求解是不够的，对于各种计算方仅仅用某种方法求解是不够的，对于各种计算方法的计算效率、计算精度均有较多要求。下面以法的计算效率、计算精度均有较多要求。下面以PUMA机器人为例来探讨机器人的运动学逆解。机器人为例来探讨机器人的运动学逆解。从工程应用的角度而言，运动学逆解往往从工程应用的角度而言，运动学逆解往往 例例例例33 求例求例求例求例1 1中中中中PUMA560PUMA560机械机械机械机械人的运动学逆解人的运动学逆解人的运动学逆解人的运动学逆解 解解解解 PUMAPUMA机械机械机械机械人的运动学方程人的运动学方程人的运动学方程人的运动学方程(6)(6)可以写成可以写成可以写成可以写成 在矩阵方程在矩阵方程在矩阵方程在矩阵方程(7)(7)中，左边的矩阵元素中，左边的矩阵元素中，左边的矩阵元素中，左边的矩阵元素nx,pz是已知的，而右边的六个矩阵是未知的，它们依是已知的，而右边的六个矩阵是未知的，它们依是已知的，而右边的六个矩阵是未知的，它们依是已知的，而右边的六个矩阵是未知的，它们依赖于关节变量赖于关节变量赖于关节变量赖于关节变量1,6 。.(7).(7)例例3 求例求例1中中PUMA560机械人的运动学逆机械人的运动学逆 (1)(1)求解求解求解求解1、3 用逆矩阵用逆矩阵用逆矩阵用逆矩阵 左乘矩阵方程左乘矩阵方程左乘矩阵方程左乘矩阵方程(7):(7):于是有于是有于是有于是有:(1)求解求解1、3于是有于是有:可由式可由式可由式可由式(5)(5)求出。令上式两边的求出。令上式两边的求出。令上式两边的求出。令上式两边的(2,4)(2,4)元素相元素相元素相元素相等，可得：等，可得：等，可得：等，可得：令令令令:其中其中其中其中:.(8).(8).(9).(9)把式把式把式把式(9)(9)代入代入代入代入(8)(8)，可得，可得，可得，可得:可由式可由式(5)求出。令上式两边的求出。令上式两边的(2,4)元素相等元素相等于是可以解出于是可以解出于是可以解出于是可以解出1：式中，正号和负号分别对应于式中，正号和负号分别对应于式中，正号和负号分别对应于式中，正号和负号分别对应于1的两种可能解。的两种可能解。的两种可能解。的两种可能解。于是可以解出于是可以解出1：式中，正号和负号分别对应于：式中，正号和负号分别对应于1的两种可能的两种可能 我们再令我们再令我们再令我们再令矩矩矩矩阵两边的阵两边的阵两边的阵两边的(1(1，4)4)元素、元素、元素、元素、(3(3，4)4)元素元素元素元素分别相等，得以下方程：分别相等，得以下方程：分别相等，得以下方程：分别相等，得以下方程：.(10).(10)由式由式由式由式(10)(10)与式与式与式与式(8)(8)的平方和，得：的平方和，得：的平方和，得：的平方和，得：式中：式中：式中：式中：.(11).(11)我们再令矩阵两边的我们再令矩阵两边的(1，4)元素、元素、(方程方程方程方程(1111)中消除了中消除了中消除了中消除了 1 1 ，式式式式(1111)和式和式和式和式(8 8)形式形式形式形式相同，因此可用三角代换求出相同，因此可用三角代换求出相同，因此可用三角代换求出相同，因此可用三角代换求出 3 3 方程方程(11)中消除了中消除了1，式，式(11 (2)(2)求解求解求解求解2、4 将左式左乘将左式左乘将左式左乘将左式左乘 可得可得可得可得:式中，式中，式中，式中，T T6363由式由式由式由式 给出。令给出。令给出。令给出。令上式两上式两上式两上式两边矩阵的边矩阵的边矩阵的边矩阵的(1(1，4)4)和和和和(2(2，4)4)元素分别相等，得到元素分别相等，得到元素分别相等，得到元素分别相等，得到：.(12).(12)(2)求解求解2、4 式中，式中，T由式由式由式由式(1313)和式和式和式和式(1414)求得求得求得求得：.(14).(14).(13).(13)由式由式(13)和式和式(14)求得：求得：.(14).(13由于由于由于由于c c2323和和和和s s2323表达式的分母相等且为正，故有表达式的分母相等且为正，故有表达式的分母相等且为正，故有表达式的分母相等且为正，故有：.(15).(15)根据根据根据根据 3 3、1 1解的四种可能组合，由式解的四种可能组合，由式解的四种可能组合，由式解的四种可能组合，由式(1515)可以算可以算可以算可以算出出出出 2323 的四个值，于是的四个值，于是的四个值，于是的四个值，于是得到得到得到得到 2 2的四个可能解：的四个可能解：的四个可能解：的四个可能解：由于由于c23和和s23表达式的分母相等且为正，故有：表达式的分母相等且为正，故有：.(1 因为矩阵方程因为矩阵方程因为矩阵方程因为矩阵方程(1212)左边为已知，令等式两边左边为已知，令等式两边左边为已知，令等式两边左边为已知，令等式两边的的的的(1(1，3)3)元素元素元素元素和和和和(3(3，3)3)元素元素元素元素分别相等，便可得分别相等，便可得分别相等，便可得分别相等，便可得：只要只要s5 0，我们可以求得，我们可以求得 4 4：因为矩阵方程因为矩阵方程(12)左边为已知，令等式左边为已知，令等式 (3)(3)求解求解求解求解5 4 4解出后，将左式继续左乘解出后，将左式继续左乘解出后，将左式继续左乘解出后，将左式继续左乘 可得可得可得可得:式式式式(16)(16)的左边，因的左边，因的左边，因的左边，因 1 1 2 2 3 3 4 4中均已解出，从而中均已解出，从而中均已解出，从而中均已解出，从而有下式：有下式：有下式：有下式：.(16).(16).(17).(17)(3)求解求解5 式式(16)的左的左 使式使式使式使式(17)(17)两边的两边的两边的两边的(1,3)(1,3)元素和元素和元素和元素和(3,3)(3,3)元素相等，得出：元素相等，得出：元素相等，得出：元素相等，得出：又因为：又因为：又因为：又因为：因而可得：因而可得：因而可得：因而可得：使式使式(17)两边的两边的(1,3)元素和元素和(3,3)元素相等，元素相等，(4)(4)求解求解求解求解6 继续用以上方法求解继续用以上方法求解继续用以上方法求解继续用以上方法求解6 使方程两边的（使方程两边的（使方程两边的（使方程两边的（3 3，1 1）元素和（）元素和（）元素和（）元素和（1 1，1 1）相等，得）相等，得）相等，得）相等，得到方程到方程到方程到方程从而得到从而得到从而得到从而得到6 (4)求解求解6 使方程两边的（使方程两边的（3，1）元素和（）元素和（注意：注意：注意：注意：PUMA-560PUMA-560机器人的运动学逆解可能存在机器人的运动学逆解可能存在机器人的运动学逆解可能存在机器人的运动学逆解可能存在4 4个解。这个解。这个解。这个解。这是因为在求解是因为在求解是因为在求解是因为在求解 1 1 3 3时出现正负号，故可能得到时出现正负号，故可能得到时出现正负号，故可能得到时出现正负号，故可能得到4 4个解。下图个解。下图个解。下图个解。下图给出了这给出了这给出了这给出了这4 4种解的对应形态。种解的对应形态。种解的对应形态。种解的对应形态。注意：注意：PUMA-560机器人的运动学逆解可能存在机器人的运动学逆解可能存在4 第五节第五节 机器人的微分运动和微分变换机器人的微分运动和微分变换 在机器人的操作与控制中，由于种种原因机器人末在机器人的操作与控制中，由于种种原因机器人末在机器人的操作与控制中，由于种种原因机器人末在机器人的操作与控制中，由于种种原因机器人末端操作器的位姿与目的物之间会产生位姿误差。为了补端操作器的位姿与目的物之间会产生位姿误差。为了补端操作器的位姿与目的物之间会产生位姿误差。为了补端操作器的位姿与目的物之间会产生位姿误差。为了补偿这一位姿误差，要求末端操作器产生一微小运动。此偿这一位姿误差，要求末端操作器产生一微小运动。此偿这一位姿误差，要求末端操作器产生一微小运动。此偿这一位姿误差，要求末端操作器产生一微小运动。此外，机器人操作时，有时会碰到两个不同坐标系之间的外，机器人操作时，有时会碰到两个不同坐标系之间的外，机器人操作时，有时会碰到两个不同坐标系之间的外，机器人操作时，有时会碰到两个不同坐标系之间的微位移关系问题，例如用摄像机时，摄像机安装在某杆微位移关系问题，例如用摄像机时，摄像机安装在某杆微位移关系问题，例如用摄像机时，摄像机安装在某杆微位移关系问题，例如用摄像机时，摄像机安装在某杆上，摄像机摄到的微位移是用固结于摄像机的坐标系来上，摄像机摄到的微位移是用固结于摄像机的坐标系来上，摄像机摄到的微位移是用固结于摄像机的坐标系来上，摄像机摄到的微位移是用固结于摄像机的坐标系来描述的。要求补偿的末端操作器的微位移是用基础坐标描述的。要求补偿的末端操作器的微位移是用基础坐标描述的。要求补偿的末端操作器的微位移是用基础坐标描述的。要求补偿的末端操作器的微位移是用基础坐标系来描述的，末端操作器的微位移又是通过关节空间的系来描述的，末端操作器的微位移又是通过关节空间的系来描述的，末端操作器的微位移又是通过关节空间的系来描述的，末端操作器的微位移又是通过关节空间的各关节的微运动来实现的，各关节的微运动来实现的，各关节的微运动来实现的，各关节的微运动来实现的，这这这这就存在不同坐标系之间微就存在不同坐标系之间微就存在不同坐标系之间微就存在不同坐标系之间微位移的关系问题。位移的关系问题。位移的关系问题。位移的关系问题。第五节第五节 机器人的微分运动和微分变换机器人的微分运动和微分变换 一、变换的微分一、变换的微分一、变换的微分一、变换的微分 假设有一个变换，它的元素是假设有一个变换，它的元素是假设有一个变换，它的元素是假设有一个变换，它的元素是某某某某个变量的函数，对于这个变量的函数，对于这个变量的函数，对于这个变量的函数，对于这个变换的微分就是该变换矩阵个变换的微分就是该变换矩阵个变换的微分就是该变换矩阵个变换的微分就是该变换矩阵各各各各元素对该变量的偏导数所组元素对该变量的偏导数所组元素对该变量的偏导数所组元素对该变量的偏导数所组成的变换阵乘以该变量的微分。给定变换成的变换阵乘以该变量的微分。给定变换成的变换阵乘以该变量的微分。给定变换成的变换阵乘以该变量的微分。给定变换T T为为为为它的元素是某个变量它的元素是某个变量它的元素是某个变量它的元素是某个变量x x的函数，则变换的函数，则变换的函数，则变换的函数，则变换T T的微分为的微分为的微分为的微分为:一、变换的微分它的元素是某个变量一、变换的微分它的元素是某个变量x的函数，则变换的函数，则变换T的的 二、微移动二、微移动二、微移动二、微移动微平动和微转动微平动和微转动微平动和微转动微平动和微转动 所谓微运动指的是无限小的运动，即无限小移动和无限所谓微运动指的是无限小的运动，即无限小移动和无限所谓微运动指的是无限小的运动，即无限小移动和无限所谓微运动指的是无限小的运动，即无限小移动和无限小转动。它既可以用给定的当前坐标系矩阵小转动。它既可以用给定的当前坐标系矩阵小转动。它既可以用给定的当前坐标系矩阵小转动。它既可以用给定的当前坐标系矩阵T T来描述，也可来描述，也可来描述，也可来描述，也可以用基础坐标系来描述。以用基础坐标系来描述。以用基础坐标系来描述。以用基础坐标系来描述。已知坐标系矩阵已知坐标系矩阵已知坐标系矩阵已知坐标系矩阵T T，微分运动后变为，微分运动后变为，微分运动后变为，微分运动后变为T+dTT+dT。应用相对于应用相对于应用相对于应用相对于基础坐标系基础坐标系基础坐标系基础坐标系的左乘法则的左乘法则的左乘法则的左乘法则，T+dT+dT T可表示为可表示为可表示为可表示为：式中，式中，式中，式中，是用基础坐标系描述的微移动是用基础坐标系描述的微移动是用基础坐标系描述的微移动是用基础坐标系描述的微移动dxdx，dydy，dzdz的移动变换。的移动变换。的移动变换。的移动变换。是用基础坐标系描述的绕是用基础坐标系描述的绕是用基础坐标系描述的绕是用基础坐标系描述的绕k k轴微旋转轴微旋转轴微旋转轴微旋转dd的旋转运动变换。由上式得的旋转运动变换。由上式得的旋转运动变换。由上式得的旋转运动变换。由上式得:I I为为为为4X44X4的单位矩阵的单位矩阵的单位矩阵的单位矩阵 二、微移动二、微移动微平动和微转动微平动和微转动 代表一个微分平移和微分旋转的变换代表一个微分平移和微分旋转的变换代表一个微分平移和微分旋转的变换代表一个微分平移和微分旋转的变换。微分移动的齐次变换矩微分移动的齐次变换矩微分移动的齐次变换矩微分移动的齐次变换矩阵阵阵阵为为为为：微分微分微分微分旋转旋转旋转旋转的齐次变换矩的齐次变换矩的齐次变换矩的齐次变换矩阵阵阵阵为为为为：代表一个微分平移和微分旋转的变换代表一个微分平移和微分旋转的变换 绕绕绕绕k k轴旋转轴旋转轴旋转轴旋转dd 等价于分别绕三个等价于分别绕三个等价于分别绕三个等价于分别绕三个轴轴轴轴X X，Y Y，Z Z轴旋转轴旋转轴旋转轴旋转x,y,zx,y,z。令。令。令。令k kx x d=x d=x，k ky y d=y,d=y,k kz z d=z d=z 并代入并代入并代入并代入上上上上式可得：式可得：式可得：式可得：1 绕绕k轴旋转轴旋转d 等价于分别绕三个轴等价于分别绕三个轴X 例例例例 假设有一个坐标系假设有一个坐标系假设有一个坐标系假设有一个坐标系A A为：为：为：为：相对于基础坐标系的微分平移为相对于基础坐标系的微分平移为相对于基础坐标系的微分平移为相对于基础坐标系的微分平移为 ，微分旋转为，微分旋转为，微分旋转为，微分旋转为 ，试求与，试求与，试求与，试求与d d和和和和 相应的相应的相应的相应的A A的微分变换。的微分变换。的微分变换。的微分变换。例例 假设有一个坐标系假设有一个坐标系A为：为：解解解解 首先构造微分首先构造微分首先构造微分首先构造微分平移平移平移平移和旋转变换和旋转变换和旋转变换和旋转变换 解解 首先构造微分平移和旋转变换首先构造微分平移和旋转变换工业机器人第三章欧拉角工业机器人第三章欧拉角DH参数参数ppt课件课件三、两直角坐标系间的微分移动的关系三、两直角坐标系间的微分移动的关系三、两直角坐标系间的微分移动的关系三、两直角坐标系间的微分移动的关系微分变微分变微分变微分变换换换换 前面讨论了用基准坐标系和当前前面讨论了用基准坐标系和当前前面讨论了用基准坐标系和当前前面讨论了用基准坐标系和当前T T T T坐标系描述的微分运动，坐标系描述的微分运动，坐标系描述的微分运动，坐标系描述的微分运动，分别为分别为分别为分别为 和和和和 ，不同坐标系的微分运动，不同坐标系的微分运动，不同坐标系的微分运动，不同坐标系的微分运动 和和和和 的关系为：的关系为：的关系为：的关系为：所以有：所以有：所以有：所以有：三、两直角坐标系间的微分移动的关系三、两直角坐标系间的微分移动的关系微分变换微分变换 这个变换方程如同前面变这个变换方程如同前面变换方程一样，可以用一个变换换方程一样，可以用一个变换图来表示，如右图所示。由图图来表示，如右图所示。由图也可以直接得到上式。也可以直接得到上式。方程方程2 2很重要，因为它把相很重要，因为它把相对于不同的坐标系之间的微分对于不同的坐标系之间的微分变化联系起来了。我们首先展变化联系起来了。我们首先展开方程右端的矩阵乘积，展开开方程右端的矩阵乘积，展开过程中进行了简化，可得出微过程中进行了简化，可得出微分变化向量分变化向量d d和和的元素之间的的元素之间的直接关系。变换直接关系。变换T T称为微分坐标称为微分坐标变换。变换。2 这个变换方程如同前面变换方程一样，可以用一个变换图来这个变换方程如同前面变换方程一样，可以用一个变换图来如果把微分坐标变化如果把微分坐标变化T T的元素用向量的元素用向量n n、o o、a a和和P P描述为描述为如果把微分坐标变化如果把微分坐标变化T的元素用向量的元素用向量n、o、a和和P描述为描述为式中，式中，d d和和就是微分旋转和微分平移。将上式左乘就是微分旋转和微分平移。将上式左乘 可得可得式中，式中，d和和就是微分旋转和微分平移。将上式左乘就是微分旋转和微分平移。将上式左乘 可得可得工业机器人第三章欧拉角工业机器人第三章欧拉角DH参数参数ppt课件课件由于由于n、o、a正交，所以正交，所以34由式由式1定义为：定义为：由于由于n、o、a正交，所以正交，所以34由式由式1定义为：定义为：令式令式3 3和式和式4 4相等，我们就利用相对基础坐标系来描述的相等，我们就利用相对基础坐标系来描述的微分旋转和平移的向量微分旋转和平移的向量(和和d)d)，得到相对于坐标系，得到相对于坐标系T T来描述来描述的微分旋转和平移的向量，即的微分旋转和平移的向量，即65 令式令式3和式和式4相等，我们就利用相对基础坐标系来相等，我们就利用相对基础坐标系来工业机器人第三章欧拉角工业机器人第三章欧拉角DH参数参数ppt课件课件工业机器人第三章欧拉角工业机器人第三章欧拉角DH参数参数ppt课件课件 例：假定有与前例相同的坐标系以及微分平移和例：假定有与前例相同的坐标系以及微分平移和微分旋转微分旋转试求坐标系试求坐标系A A中等价的微分平移和微分旋转。中等价的微分平移和微分旋转。例：假定有与前例相同的坐标系以及微分平移和微分旋转试例：假定有与前例相同的坐标系以及微分平移和微分旋转试解解 用用首先形成首先形成解解 用首先形成用首先形成然后加上然后加上d利用式利用式5和和6，计算，计算利用式利用式4，根，根据据 构构成成然后加上然后加上d利用式利用式5和和6，计算利用式