1121三角形的内角 (3)

11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角三角形两边的夹角叫做三角形两边的夹角叫做三角形的内角三角形的内角三角形的内角三角形的内角 在在一一个个直直角角三三角角形形里里住住着着三三个个内内角角，平平时时，它它们们三三兄兄弟弟非非常常团团结结.可可是是有有一一天天，老老二二突突然然不不高高兴兴，发发起起脾脾气气来来，它它指指着着老老大大说说：“你你凭凭什什么么度度数数最最大大，我我也也要要和和你你一一样样大大！”“”“不不行行啊啊！”老老大大说说：“这这是是不不可可能能的的，否否则则，我我们们这这个个家家就就再再也围不起来了也围不起来了”“”“为什么？为什么？”老二很纳闷老二很纳闷.同学们，你们知道其中的道理吗？同学们，你们知道其中的道理吗？内角三兄弟之争内角三兄弟之争如下图所示是我们常用的三角板如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度它们的三个角之和为多少度?想一想想一想:任意三角形的三任意三角形的三个内角之和也为个内角之和也为180180度吗度吗?思考与探索思考与探索把三个角拼在一起试试看把三个角拼在一起试试看三角形的内角和是三角形的内角和是180180度。度。方法一：方法一：ABC演示下一页123方法二方法二:将各角沿着一边所在的直线折叠将各角沿着一边所在的直线折叠如如果果ABCABC是是画画在在一一块块不不能能分分割割的的平平面面上上，如如在在黑黑板板上上，这这时时就就不不可可能能做做到到把把A A、B B撕撕下下来来再再分分别别放放在在1 1、2 2的的位位置置上上，那那么么又又如何论证如何论证A+B+C=180A+B+C=180呢？呢？CBA三角形内角和定理：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180180已知已知，求证：，求证：A+B+C=180A+B+C=180证法：证法：过过A A作作EFBCEFBC，B=2,B=2,(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)C=1.C=1.(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)又又2+1+BAC=1802+1+BAC=180,B+C+BAC=180B+C+BAC=180.F F2 21 1E EC CB BA A证法证法：延长延长BCBC到到D D，过，过C C作作CEBACEBA，A=1,(A=1,(两直线平行，两直线平行，内错角相等内错角相等)B=2.(B=2.(两直线平行，同两直线平行，同位角相等位角相等)又又1+2+ACB=1801+2+ACB=180,A+B+ACB=180A+B+ACB=180.21EDCBA证法证法3 3：过过A A作作AEBCAEBC，B=BAE,B=BAE,(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)EAB+BAC+C=180EAB+BAC+C=180,(两直线平行两直线平行,同旁内角互补同旁内角互补)B+C+BAC=180B+C+BAC=180.C CB BE EA A 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的线叫做添加的线叫做辅助线辅助线.在平面几何里，辅助线通在平面几何里，辅助线通常画成常画成虚线虚线.为了证明三个角的和为为了证明三个角的和为180180,转化为一个平角或同旁转化为一个平角或同旁内角互补内角互补,这种这种转化思想转化思想是数学中的常用方法是数学中的常用方法.三角形内角和定理三角形内角和定理:三角形的内角和等于三角形的内角和等于1801800 0.即在即在ABC中，中，A+B+C=180 wA+B+C=A+B+C=1800的几种变形的几种变形:wA=A=1800(B+C).(B+C).wB=B=1800(A+C).(A+C).wC=C=1800(A+B).(A+B).wA+B=A+B=1800-C.C.wB+C=B+C=1800-A.A.wA+C=A+C=1800-B.B.三种语言三种语言ABC1.1.如图，在直角三角形如图，在直角三角形ABCABC中，中，C=90C=90，由三角，由三角形内角和定理，得形内角和定理，得A+A+B+B+C=C=，即即 A+A+B+90B+90=，所以所以 A+A+B=B=.A AB BC C1801801801809090【合作探究合作探究】推论：推论：直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余.直角三角形可以用符号直角三角形可以用符号“RtRt”表示，如直角表示，如直角三角形三角形ABCABC可以写成可以写成RtRtABC.ABC.定理应用定理应用三角形的三内角和是三角形的三内角和是180180 ，所以三内角可能出现的，所以三内角可能出现的情况：情况：一个钝角一个钝角 两个锐角两个锐角钝角三角形钝角三角形锐角三角形锐角三角形一个直角一个直角 两个锐角两个锐角直角三角形直角三角形三个都为锐角三个都为锐角钝角三角形钝角三角形直角三角形直角三角形锐角三角形锐角三角形【例例1 1】在在ABCABC中，中，BAC=40BAC=40,B=75,B=75，ADAD是是ABCABC的角平分线。求的角平分线。求ADBADB的度数的度数.【例题例题】DABC如图如图,C,C岛在岛在A A岛的北偏东岛的北偏东5050方向，方向，B B岛在岛在A A岛的北偏东岛的北偏东8080方向，方向，C C岛在岛在B B岛的北偏西岛的北偏西4040方向。求下面各题方向。求下面各题.（1）DAC_ DAB_ EBC_ CAB _(2)(2)从从C C岛看岛看A A、B B两岛的视角两岛的视角C C是多少是多少?508040ADBCE北北30 例题例题ABC已知已知ABCABC中中,ABC,ABCC=2A,C=2A,BDBD是是ACAC边上的高，求边上的高，求DBCDBC的度数。的度数。D解：设解：设A Ax x0 0，则，则ABCABCC C2x2x0 0 xx2x2x2x2x180180（三角形内角和定理）（三角形内角和定理）解得解得x x3636CC2 236360 072720 0DBCDBC1801800 090900 072720 0（三角形内角和定理）（三角形内角和定理）在在BDCBDC中，中，BDCBDC90900 0(三角形高的定义）三角形高的定义）DBCDBC18180 0?例题例题三角形的内三角形的内角和等于角和等于180180.证法证法应用应用转化为一个平转化为一个平角或同旁内角角或同旁内角互补互补求角度求角度作平行线作平行线转化思想转化思想辅助线辅助线通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：性质：直角三角形的两个锐角互余性质：直角三角形的两个锐角互余.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形判定：有两个角互余的三角形是直角三角形（1）在）在ABC中，中，A=35，B=43 C=.（2）在）在ABC中，中，A:B:C=2:3:4则则A=_ B=C=.（3）A：B：C=3：2：1，问，问 ABC是是_三三角形角形.（4）A C=35 B C=10，则，则B=？（5）一个三角形中最多有一个三角形中最多有 个直角，最多有个直角，最多有_ 个钝角个钝角，最多有，最多有_个锐角，个锐角，至少有至少有 个锐角。个锐角。（6）任意一个三角形中）任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少最大的一个角的度数至少为为 .应用新知应用新知3.如图：=.320440480280【结论】8字形两头角的和相等.4.4.如图，如图，A+B+C+D+E+F=A+B+C+D+E+F=.ABCDEF【解析解析】A A，C C，E E是是ACEACE的三个内角，的三个内角，其和为其和为180180，B B，D D，F F是是BDFBDF的三个内的三个内角，其和为角，其和为180180，所以六个角的和为，所以六个角的和为 360360.【答案答案】360360DABC解解：在在ACD中中 CAD 30 D 90 ACD=180 -30 -90=6 0 在在BCD中中 CBD=45 D 90 BCD=180-90-45=45 ACB=ACD-BCD=6 0-45=15巩固练习1.1.如图如图,从从A A处观测处观测C C处时仰角处时仰角CADCAD3030,从从B B处观测处观测C C处时仰处时仰角角CBDCBD4545.从从C C处观测处观测A A、B B两处时视角两处时视角ACBACB是多少是多少?2.2.如图如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那那么最省事的办法是么最省事的办法是 ()()(A)带带去去(B)带带去去(C)带带去去(D)带带和和去去C巩固练习3 3.如图如图ABCABC中中,CD,CD平分平分ACB,DEBC,ACB,DEBC,AA7070,ADE,ADE5050,求求BDCBDC的度数的度数.A AB BC CD DE E解解:A70 ACB=180-A-B=180-70-50=60DE/BCB=ADE50 CD平分平分ACB巩固练习巩固练习4 4、如图，直线、如图，直线ABABCD,CD,在在ABAB、CDCD外有一外有一点点P P，连结，连结PBPB、PDPD，交，交CDCD于于E E点。点。则则 B B、D D、P P 之间是否存在一定之间是否存在一定的大小关系？的大小关系？A AB BC CP PD DE E5.如图ABC中，ABC、ACB的平分线交于点O，若A,求BOC.猜想A与BOC的关系，并作说明.ABCO甲楼高甲楼高1616米米,乙楼座落在甲楼的正北面乙楼座落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午已知当地冬至中午1212点点,太阳光线与水平面夹角为太阳光线与水平面夹角为45450 0,如果甲楼的影子刚好不落在乙楼如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上上,那么两楼的距离应是多少？那么两楼的距离应是多少？甲甲乙乙16米米450？45016米米ABC解:由题意知BC=AB=16BC=AB=16答答:两楼的距离是两楼的距离是16米米.拓展与思考