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数学归纳法数学归纳法问题问题1:大球中有大球中有5个小球，如何证明它们都个小球，如何证明它们都是是 绿色的？绿色的？模模 拟拟 演演 示示问题情境问题情境问题问题2:某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地 说全世界的乌鸦都是黑的说全世界的乌鸦都是黑的问题问题3:如果如果an是一个等差数列，怎样得到是一个等差数列，怎样得到 an=a1+(n-1)d由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 （1 1）完全归纳法：考察）完全归纳法：考察全体全体对象，得到一般结论的对象，得到一般结论的 推理方法推理方法（2 2）不完全归纳法：考察）不完全归纳法：考察部分部分对象，得到一般结论的对象，得到一般结论的 推理方法推理方法归纳法归纳法归纳法分为：归纳法分为：完全归纳法完全归纳法 和和 不完全归纳法不完全归纳法 多米诺骨牌演示多米诺骨牌演示(2)任意相邻的两块骨牌前一块倒下，一定导任意相邻的两块骨牌前一块倒下，一定导致后一块倒下致后一块倒下请思考：满足什么样的条件才能便骨牌全部倒下请思考：满足什么样的条件才能便骨牌全部倒下?(1)第一块骨牌倒下；第一块骨牌倒下；(相当验证相当验证n=n0时等式成立时等式成立.)(相当假设相当假设n=k时等式成立，证明时等式成立，证明n=k+1时，等式也成立时，等式也成立.)一一个个与与自自然然数数相相关关的的命命题题，如如果果（1）当当n取取第第 一一 个个 值值n0时时 命命 题题 成成 立立；（2）在在 假假 设设 当当n=k(k N*,kn0)时时命命题题成成立立的的前前提提下下，推推出出当当n=k+1时时命命题题也也成成立立，那那么么可可以以断断定定，这这个个命命题题对对 n取取 第第 一一 个个 值值 后后 面面 的的 所所 有有 正正 整整 数数 成成 立立。这种证明方法叫做这种证明方法叫做 数学归纳法数学归纳法数学归纳法数学归纳法例例1用数学归纳法证明：如果用数学归纳法证明：如果aan n 是一个等差数是一个等差数列，列，公差为公差为d,d,那么那么an=a1+(n-1)d对一切对一切nN+都成立。都成立。(2)(2)假设当假设当n=kn=k时，时，等式等式成立，即成立，即a ak k=a=a1 1+(k-1)d +(k-1)d 那么当那么当n=k+1n=k+1时时 a ak k+1+1=a ak k+d+d =a =a1 1+(k-1)d+d+(k-1)d+d =a =a1 1+(k+1)-1d+(k+1)-1d当当n=k+1n=k+1时，结论也成立。时，结论也成立。由由(1)(1)和和(2)(2)知知,等式对于任何等式对于任何nNnN+都成立。都成立。利利 用用 假假设设结论结论从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么有什么变化变化例题讲解例题讲解证明证明:(1)(1)当当n=1n=1时，左边时，左边=a=a ，右边，右边=a=a +（1-11-1）d=ad=a 当当n=1n=1时，等式成立时，等式成立(2)假设当假设当n=k时时,等式成立，等式成立，即即证明：证明：(1)当当n=1时，左边时，左边=1,右边右边=1，等式成立。，等式成立。那么那么 这就是说，当这就是说，当n=k+1时等式成立。由时等式成立。由(1)和和(2)可知，等式对任何可知，等式对任何nN+都成立。都成立。例题讲解例题讲解用数学归纳法证明用数学归纳法证明课堂练习课堂练习练习练习1 用数学归纳法证明用数学归纳法证明证明证明：当当n=1时，左边时，左边=1，右边，右边=1，等式成立。等式成立。假设当假设当n=k时，等式成立。即时，等式成立。即那么当那么当n=k+1时，时，这就是说，当这就是说，当n=k+1时等式成立。由时等式成立。由(1)和和(2)可知，等式对任何可知，等式对任何nN+都成立。都成立。由（由（1 1），（），（2 2）得出结论）得出结论找准起点奠基要稳用上假设递推才真写明结论才算完整归纳小结归纳小结数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。主要有两个步骤、一个结论方法。主要有两个步骤、一个结论、缺一不可缺一不可:先验证当先验证当n取第一个值取第一个值n0（一般取使结论有意义的（一般取使结论有意义的最小正整数）时结论正确最小正整数）时结论正确假设假设n=k时结论正确，推出时结论正确，推出n=k+1 时结论也正确时结论也正确两个步骤一结论；两个步骤一结论；递推基础不可少；递推基础不可少；归纳假设要用到；归纳假设要用到；结论写明莫忘掉。结论写明莫忘掉。祝同学们学习快乐。祝同学们学习快乐。直 挂 云 帆 济 沧 海长 风 破 浪 会 有 时
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