13函数的性质

1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性一、函数单调性定义一、函数单调性定义 一一般般地地，设设函函数数y=f(x)的的定定义义域域为为I，如如果果对对于于定定义义域域I内内的的某某个个区区间间D内内的的任任意意两两个个自自变变量量x1，x2，当当x1x2时时，都都有有f(x1)f(x2)，那那么么就就说说f(x)在在区区间间D上是上是增函数增函数 1增函数增函数1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果对如果对于定义域于定义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1，x2，当，当x1f(x2)，那么就说那么就说f(x)在在区间区间D上是上是减函数减函数2减函数减函数 1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性2.函函数数的的单单调调性性是是在在定定义义域域内内的的某某个个区区间间上上的的性性质，是函数的质，是函数的局部性质局部性质；注意：注意：1.必须是对于区间必须是对于区间D内的内的任意任意两个自变量两个自变量x1，x2；当；当x1x2时，时，总有总有f(x1)f(x2)分别分别是增函数和减函数是增函数和减函数.1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性例例1.下图是定义在区间下图是定义在区间-5，5上的函数上的函数y=f(x)，根根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上,它是增函数还是减函数？它是增函数还是减函数？解解:函数函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有其中其中y=f(x)在区间在区间-5,-2),1,3)上是减函数，上是减函数，在区间在区间-2,1),3,5上是增函数上是增函数.-5,-2),-2,1),1,3),3,5.二二.典例精析典例精析1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性例例3.证明：函数证明：函数 在在 上是增函数上是增函数.证明：在区间证明：在区间 上任取两个上任取两个值 且且 ，且，且所以函数所以函数 在区间上在区间上 是增函数是增函数.思考：思考：如何证明一个函数是单调递增的呢？如何证明一个函数是单调递增的呢？取值化简作差判号定论定论1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性三三、判断函数单调性的方法步骤、判断函数单调性的方法步骤 取值：取值：任取任取x1，x2D，且，且x1x2；作差：作差：f(x1)f(x2)；变形：（因式分解和配方等）乘积或商式；变形：（因式分解和配方等）乘积或商式；定号：（即判断差定号：（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；下下结结论论：（即即指指出出函函数数f(x)在在给给定定的的区区间间D上上的单调性）的单调性）利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单上的单调性的一般步骤：调性的一般步骤：1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性四、归纳小结四、归纳小结 3.函数单调性的证明，证明一般分五步：取取值值作作差差化简化简判号判号下结论下结论 2.会利用函数图像找出会利用函数图像找出函数的函数的单调区间单调区间1.函数单调性的定义函数单调性的定义1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性 Sunday,May 5,2024Sunday,May 5,2024 1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为,如果存在实数如果存在实数M满足满足:(1)对于任意的对于任意的x I,都有都有f(x)M;(2)存在存在x0 I,使得使得f(x0)=M.则称则称M是函数的是函数的最大值最大值(maximumvalue)1.1.函数的最大值：函数的最大值：上面我们从直观的感受知道了最值的概念上面我们从直观的感受知道了最值的概念,下面给出严格的定义下面给出严格的定义.2.函函数数最最大大值值应应该该是是所所有有函函数数值值中中最最大大(小小)的的,即对于任意的即对于任意的xI,都有都有f(x)M注注意意:1.函函数数最最大大值值首首先先应应该该是是某某一一个个函函数数值值,即存在即存在x0I,使得使得f(x0)=M；1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性(1)对于任意的对于任意的x I,都有都有f(x)M;(2)存在存在x0 I,使得使得f(x0)=M.则称则称M是函数的是函数的最小值最小值(minimum value)设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为,如果存在实数如果存在实数M满足满足:2.2.函数的最小值：函数的最小值：函函数数的的最最大大值值从从图图象象上上看看是是在在指指定定的的区区间间里里最最高高位位置置对对应应的的点点的的纵纵坐坐标标,好好象象有有一一种种一一览览众众山山小小的的情情景景.同同样样函函数数的的最最小小值值从从图图象象上上看看是是在在指指定定的的区区间间里里最最低低位位置置对对应应的的点点的的纵纵坐坐标，好像有一种坐井观天的情景标，好像有一种坐井观天的情景.1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性请大家思考请大家思考,是否每个函数都有最大值是否每个函数都有最大值,最小值？举例说明最小值？举例说明.一个一个函数不一定有最值函数不一定有最值.有的函数可能只有一个最大有的函数可能只有一个最大(或小或小)值值.如如果果一一个个函函数数存存在在最最值值，那那么么函函数数的的最最值值都都是是唯唯一一的的,但但取取最最值值时时的的自自变变量量可可以以有有多个多个.1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性例例1.“菊菊花花”烟烟花花是是最最壮壮观观的的烟烟花花之之一一.制制造造时时一一般般是是期期望望在在它它达达到到最最高高点点时时爆爆裂裂.如如果果烟烟花花距距地地面面的的高度高度h m与时间与时间t s之间的关系为之间的关系为那那么么烟烟花花冲冲出出后后什什么么时时候候是是它它爆爆裂裂的的最最佳佳时时刻刻?这这时时距地面的高度是多少距地面的高度是多少(精确到精确到1m)?1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性例例1.“菊菊花花”烟烟花花是是最最壮壮观观的的烟烟花花之之一一.制制造造时时一一般般是是期期望望在在它它达达到到最最高高点点时时爆爆裂裂.如如果果烟烟花花距距地地面面的的高度高度h m与时间与时间t s之间的关系为之间的关系为那那么么烟烟花花冲冲出出后后什什么么时时候候是是它它爆爆裂裂的的最最佳佳时时刻刻?这这时时距地面的高度是多少距地面的高度是多少(精确到精确到1m)?解解:作出函数作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象的图象.则则函函数数图图象象的的顶顶点点就就是是烟烟花花上上升升的的最最高高点点，顶顶点点的的横横坐坐标标就就是是烟烟花花爆爆裂裂的的最最佳佳时时刻刻,纵纵坐坐标标就就是是这这时时距距地地面的高度面的高度.1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性由二次函数的知识由二次函数的知识,对于对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有我们有:答答:烟花冲出后烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻秒是它爆裂的最佳时刻,这时距这时距地面的高度为地面的高度为29m.例例1.“菊菊花花”烟烟花花是是最最壮壮观观的的烟烟花花之之一一.制制造造时时一一般般是是期期望望在在它它达达到到最最高高点点时时爆爆裂裂.如如果果烟烟花花距距地地面面的的高度高度h m与时间与时间t s之间的关系为之间的关系为那那么么烟烟花花冲冲出出后后什什么么时时候候是是它它爆爆裂裂的的最最佳佳时时刻刻?这这时时距地面的高度是多少距地面的高度是多少(精确到精确到1m)?函数有最大值函数有最大值1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性【1】求函数求函数y=x2-2x-1的值域和最值的值域和最值.(1)x0,3(2)x(2,4(3)x-2,-1 ymin=f(1)=-2,ymax=f(3)=2.值域值域-2,2ymax=f(4)=7.值域值域(-1,7ymax=f(-2)=7.值域值域2,7ymin=f(-1)=2,1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性 例例2.求函数求函数 在区间在区间2，6上的最上的最大值和最小值大值和最小值解解:设设x1,x2是区间是区间2,6上的任意两个实数上的任意两个实数,且且x1x2,则则由由2x1x20,(x1-1)(x2-1)0,于是于是1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性因此因此,函数函数在区间在区间2,6上的两个端上的两个端点上分别取得最大值和最小值点上分别取得最大值和最小值.所以所以,函数函数是区间是区间2,6上的减函数上的减函数.当当x=2时取最大值时取最大值当当x=6时取最小值时取最小值即即xyo1234561321.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性【3】在已知函数在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在在(-,-2上递减上递减,在在-2,+)上递增上递增,则则f(x)在在1,2上的上的值域值域_.21,491.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性1.函数的最大函数的最大(小小)值的定义及几何意义值的定义及几何意义 2.三类函数的最值的求法三类函数的最值的求法 利利用用二二次次函函数数的的性性质质(配配方方法法)求求函函数数的的最大最大(小小)值值.利用利用图象图象求函数的最大求函数的最大(小小)值值.利用利用函数单调性函数单调性求函数的最大求函数的最大(小小)值值如如果果函函数数y=f(x)在在区区间间a,b上上单单调调递递增增,则则函函数数y=f(x)在在x=a处处有有最最小小值值f(a),在在x=b处有最大值处有最大值f(b).函数在其定义域上的最大值函数在其定义域上的最大值,其几何其几何意义是图象上最高点的纵坐标意义是图象上最高点的纵坐标;最小值为最小值为图象上最低点的纵坐标图象上最低点的纵坐标.1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性1.利用利用二次函数二次函数的性质（的性质（配方法配方法）求函数的最）求函数的最 大大(小小)值值2.利用利用图象图象求函数的最大求函数的最大(小小)值值3.利用利用函数单调性函数单调性的判断函数的最大的判断函数的最大(小小)值值 如如果果函函数数y=f(x)在在区区间间a,b上上单单调调递递增增,则则函函数数y=f(x)在在x=a处处有有最最小小值值f(a),在在x=b处有处有最大值最大值f(b);如如果果函函数数y=f(x)在在区区间间a,b上上单单调调递递减减,在在区区间间b,c上上单单调调递递增增则则函函数数y=f(x)在在x=b处有处有最小值最小值f(b).利用函数单调性判断函数的最大利用函数单调性判断函数的最大(小小)值的方法值的方法1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性习题课1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性二次函数y=ax2+bx+c(a0)在 上是增函数在 上是减函数在 上是增函数在 上是减函数在(-,+)上是减函数在(-,+)上是增函数一次函数y=kx+b(k0)yox当k0时,yox当a0时,1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性增函数增函数减函数减函数图象图象图象图象特征特征自左至右自左至右,图象上升图象上升.自左至右自左至右,图象下降图象下降.数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大.当当x1x2时，时，y1y2y随随x的增大而减小的增大而减小.当当x1x2时，时，y1y21.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性1.求函数的单调区间求函数的单调区间;2.判断函数的单调性判断函数的单调性(证明证明);5.求函数的最值或值域求函数的最值或值域3.比较函数的大小比较函数的大小4.求参数的取值范围求参数的取值范围1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性【例例1】函数函数y=x2-2|x|-3的单调递增区间的单调递增区间是是_;-1,0,1,+)-2-21 1-1-1oxy一、求函数的单调区间一、求函数的单调区间1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性【1】求函数求函数y=|x+1|1x|的单调区间的单调区间.解解:由由y=|x+1|1x|,知知xy-112-2o故故函数的增函数的增区间区间为为1,1.1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性1.函数函数 的单调减区间为的单调减区间为_.2.函数函数y=|2x-1|的单调增区间是的单调增区间是_.1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性【例例2】证明函数证明函数在在上是减函数上是减函数.二、判断二、判断(证明证明)函数的单调性函数的单调性证明：任取证明：任取1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性因此因此在在上是减函数上是减函数.【例例2】证明函数证明函数在在二、判断二、判断(证明证明)函数的单调性函数的单调性上是减函数上是减函数.1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性另解另解:yxo向上平移向上平移向左平移向左平移2个单位个单位3个单位个单位所以函数所以函数f(x)的递减区间是的递减区间是1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性【1】写出函数写出函数的单调区间的单调区间.xyo1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性例例3.已知函数已知函数对任意实对任意实数数t都有都有比较比较f(1),f(2),f(3)的大小的大小.三、利用单调性比较函数值的大小三、利用单调性比较函数值的大小1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性【1】已知函数已知函数f(x)在在(0,+)上是减函数上是减函数,则则的大小关系为的大小关系为_.1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性1.设函数设函数y=x2+2(a-1)x+2在区间在区间2,+)上是增函上是增函数数,求实数求实数a的取值范围的取值范围.解解:函数函数y=x2+2(a-1)x+2的对称轴方程为的对称轴方程为x=1-=1-a,函数的单调增区间是函数的单调增区间是1-a,+),2,+)是是1-a,+)的一个子的一个子集集,1 1-a22即即a-1.1.即所求的实数取值范围是即所求的实数取值范围是a-1.1.由二次函数性质知由二次函数性质知,四、利用函数单调性求参数的取值范围四、利用函数单调性求参数的取值范围1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性【1】函数函数f(x)=x2+4ax+2在区间在区间(-,6内内递减递减,则则a的取的取值范围是值范围是()A.a3B.a3C.a-3D.a-3D【2】在已知函数在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在在(-,-2上递减上递减,在在-2,+)上递增上递增,则则f(x)在在1,2上的上的值域值域_.21,391.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性【3】已知已知f(x)是是R上的增函数上的增函数,若若a+b0,则则有有f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).证明证明:由由a+b0,得得a-b,b-a.又因为又因为f(x)是是R上的增函数上的增函数,f(a)f(-b),f(b)f(-a),+得得f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性分析分析:设设则则确定确定正负号的关键正负号的关键,是是确确定定 的正负号的正负号.由于由于x1,x2在同一区间内在同一区间内,要使要使则需则需要使要使则需则需例例5.求函数求函数的最大值的最大值.五、求函数的最大五、求函数的最大(小小)值或值域值或值域1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性例例5.求函数求函数的最大值的最大值.解解:任取任取x1,x2,x1,x22,4,且且x1x2,当当时时,所以所以函数函数f(x)在在2,4上是减函数上是减函数.同理同理函数函数f(x)在在4,10上是增函数上是增函数.五、求函数的最大五、求函数的最大(小小)值或值域值或值域1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性解：解：函数函数在在2,4上是减函数上是减函数.所以所以f(x)在在2,4上有最大值上有最大值,函数函数在在4,10上是增函数上是增函数.所以所以f(x)在在4,10上有最大值上有最大值,所以函数所以函数f(x)在在2,10上的最大值是上的最大值是1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性例例.函数函数f(x)是定义在是定义在(0,+)上的递减函数上的递减函数,且且f(x)0,-x0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,即-f(x)=(x2+2x),f(x)=-x2-2x.1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性例1.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+2x；(2)f(x)=2x4+3x2；解解:f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)=-f(x)，f(x)为奇函数为奇函数f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2f(x)为偶函数为偶函数函数定义域为函数定义域为R解解:函数定义域为函数定义域为R=f(x)，1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性解解:函数定义域为函数定义域为Rf(x)为奇函数为奇函数解解:函数函数定义域为定义域为0,+)定义域不关于原点对称，定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数-230 xy1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性(6)f(x)=x+1解解:函数函数f(x)的定义域为定义域为Rf(-x)=f(x)=0，又又f(-x)=-f(x)=0，f(x)为既奇又偶函数为既奇又偶函数(5)f(x)=0(x R)根据奇偶性根据奇偶性,函数可划分为四类函数可划分为四类:奇函数奇函数;偶函数偶函数;既奇又既奇又偶函数偶函数;非奇非非奇非偶函数偶函数.解解:函数定义域为函数定义域为Rf(-x)=-x+1，-f(x)=-x-1,f(-x)f(x),且且f(-x)f(x).f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数.1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性例3判断下列函数的奇偶性：解（1），它具有对称性因为 ，所以是偶函数，不是奇函数 （2）略1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性判定函数的奇偶性的步骤：判定函数的奇偶性的步骤：(1)(1)先求函数的定义域；先求函数的定义域；若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数非奇非偶函数.若定义域是关于原点对称的区间若定义域是关于原点对称的区间,进入第二步进入第二步;(2)计算计算f(x)化向化向f(x)的解析式；的解析式；若等于若等于f(x),则函数是偶函数则函数是偶函数,若等于若等于f(x),则函数是奇函数则函数是奇函数,若不等于若不等于,则函数是非奇非偶函数则函数是非奇非偶函数(3)(3)结论结论.有时判定有时判定f(-x)=f(x)比较困难比较困难,可考虑判定可考虑判定f(-x)f(x)=0或判定或判定f(x)/f(-x)=1.1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性练习2.判断下列函数的奇偶性f(x)为奇函数为奇函数.解解:定义域为定义域为x|x0,即即f(-x)=-f(x),(2)f(x(2)f(x)=5)=5解:f(x)的定义域为R.f(-x)=f(x)=5yox5f(x)为偶函数.1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性f(x)既是偶函数既是偶函数,又是奇函数又是奇函数.解解:函数的定义域为函数的定义域为-1,1,1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性祝同学们学习快乐！祝同学们学习快乐！再见！再见！