《比例》知识梳理及典型例题

比例比例小升初基础复习小升初基础复习数学数学比和比例比和比例比比比例的意义比例的意义正正比比例例和和反反比比例例正比例正比例重点知识图解重点知识图解比例的性质比例的性质反比例反比例解比例解比例成正比例的量成正比例的量正比例关系的字母表达式：正比例关系的字母表达式：=k=k（一定）（一定）y yx x两种量成正比例的条件两种量成正比例的条件正比例关系的图像正比例关系的图像成反比例的量成反比例的量反比例关系的字母表达式：反比例关系的字母表达式：x xy=ky=k（一定）（一定）两种量成反比例的条件两种量成反比例的条件知识梳理知识梳理一、比例的意义和基本性质一、比例的意义和基本性质比例的意义比例的意义表表示示两两个个比比相相等等的的式式子子叫叫做做比比例例。组组成成比比例例的的四四个个数数，叫叫做做比比例例的的项项。两两端端两两项项叫叫做做比比例例的的外外项项，中中间的两项叫做比例的内项。间的两项叫做比例的内项。例：例：30 :2=90 :630 :2=90 :6 内项内项 外项外项知识梳理知识梳理一、比例的意义和基本性质一、比例的意义和基本性质比例的基本性质比例的基本性质在在比比例例里里，两两个个外外项项的的积积等等于于两两个个内内项项的的积积，这这叫叫做比例的基本性质。做比例的基本性质。例：例：120:2=300:5120:2=300:51201205=25=2300300 如如果果把把比比例例写写成成分分数数形形式式，等等号号两两边边的的分分子子和和分分母母分分别别交交叉叉相相乘乘，所所得得的的积积相相等等。即即 =1201205=25=2300300。1201202 23003005 5知识梳理知识梳理一、比例的意义和基本性质一、比例的意义和基本性质写比例式的方法写比例式的方法判判断断四四个个数数能能否否组组成成比比例例有有两两种种思思路路：一一是是根根据据比比例例的的意义，二是根据比例的基本性质。意义，二是根据比例的基本性质。根根据据比比例例的的意意义义组组成成比比例例时时，要要把把四四个个数数分分成成两两组组：一一是是将将较较小小的的两两个个数数分分成成一一组组，将将较较大大的的两两个个数数分分成成一一组组；二二是是将将每每组组中中四四个个数数按按大大小小顺顺序序排排列列，将将最最大大的的数数和和第第二二小小的的数数分分为为一一组组，将将第第二二大大的的数数和和最最小小的的数数分分为为一一组组。写写两两个个比比，求求出出比比值值，只只要要这这两两个个比比值值相相等等，就就说说明明这这四四个个数数能能组组成成比比例。例。根根据据比比例例的的基基本本性性质质判判断断，先先看看最最大大与与最最小小的的两两个个数数相相乘乘的的积积与与另另外外两两个个数数相相乘乘的的积积是是否否相相等等，再再将将积积相相等等的的两两个个算算式式转转化化成成比比例例。若若能能组组成成比比例例，一一般般可可以以得得到到八八个个比比例例，这这八八个个比比例例虽虽然然表表现现的的形形式式不不一一样样，但但它它们们都都能能满满足足“两两个个外项的积等于两个内项的积外项的积等于两个内项的积”。典型例题典型例题例题例题 用每组中的四个数分别写出一组比例式。用每组中的四个数分别写出一组比例式。（1 1）1.61.6，6.46.4，2 2和和 （2 2），和和可以根据比例的意义或者比例的基本性质来组成比例。可以根据比例的意义或者比例的基本性质来组成比例。1 12 21 12 21 13 31 16 61 14 4解答解答 （1 1）（答案不唯一）（答案不唯一）方法一方法一 因为因为6.4:1.6=46.4:1.6=4，2:=42:=4，所以，所以6.4:1.6=2:6.4:1.6=2:。方法二方法二 因为因为6.46.4 =3.2 =3.2，1.61.62=3.22=3.2，所以，所以6.46.4 =1.6=1.62 2，从而得出，从而得出1.6:6.4=:21.6:6.4=:2。（2 2）（答案不唯一）（答案不唯一）方法一方法一 因为因为 :=2:=2，:=2:=2，所以，所以 :=:=:方法二方法二 因为因为 =1 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 14 41 13 31 16 61 12 21 14 41 13 31 16 61 12 21 16 61 11212例题例题 用每组中的四个数分别写出一组比例式。用每组中的四个数分别写出一组比例式。（1 1）1.61.6，6.46.4，2 2和和 （2 2），和和1 12 21 12 21 13 31 16 61 14 4知识梳理知识梳理一、比例的意义和基本性质一、比例的意义和基本性质解比例解比例根根据据比比例例的的基基本本性性质质，如如果果已已经经知知道道比比例例中中的的任任何何三三项项，就就可可求求出出这这个个比比例例中中的的另另外外一一个个未未知知项项。求求比比例例中中的的未未知知项项，叫叫做解比例。做解比例。解解比比例例时时，先先根根据据比比例例的的基基本本性性质质把把原原比比例例式式改改写写成成两两个个外外项项乘乘积积与与两两个个内内项项乘乘积积相相等等形形式式的的方方程程，再再用用已已知知的的两两项项乘乘积积除以另一个已知项求出未知项。除以另一个已知项求出未知项。例：（例：（1 1）6:9=15:x 6:9=15:x （2 2）=解：解：6x=96x=915 15 解：解：7x=0.27x=0.24 4 x=x=0.8 x=x=0.87 7 x=x=x=x=x x4 40.20.27 79 915156 64 4353542422 2知识梳理知识梳理二、正比例和反比例二、正比例和反比例成正比例的量成正比例的量【1.1.成正比例的量成正比例的量】两两种种相相关关联联的的量量，一一种种量量变变化化，另另一一种种量量也也随随着着变变化化，如如果果这这两两种种量量中中相相对对应应的的两两个个数数的的比比值值（商商）一一定定，这这两两种种量量就就叫叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。例例：汽汽车车的的速速度度一一定定，那那么么，它它所所行行驶驶的的路路程程与与所用的时间就成正比例。所用的时间就成正比例。知识梳理知识梳理二、正比例和反比例二、正比例和反比例成正比例的量成正比例的量【2.2.正比例关系的字母表达式正比例关系的字母表达式】如如果果用用字字母母x x和和y y表表示示两两种种相相关关联联的的量量，用用k k表表示示它它们们的的比比值值（一定），则正比例关系式是：（一定），则正比例关系式是：=k=k（一定）（一定）y yx x成正比例的量成正比例的量【3.3.两种量成正比例的条件两种量成正比例的条件】这这两两种种量量是是相相关关联联的的，其其中中一一种种量量随随着着另另一一种种量量的的变变化化而而变变化，变化的方向一致。相对应的两个量的比值（商）一定。化，变化的方向一致。相对应的两个量的比值（商）一定。典型例题典型例题例题例题 根据正比例的意义，确定下面各式中根据正比例的意义，确定下面各式中x x与与y y是否是否成正比例关系。（成正比例关系。（x x、y y均不为均不为0 0）（1 1）y=5x y=5x （2 2）x xy=0 y=0 （3 3）x xy=5y=5解答解答 （1 1）由）由y=5xy=5x得得 =5=5，x x与与y y的比值一定，的比值一定，所以所以x x与与y y成正比例关系。成正比例关系。（2 2）由）由x xy=0y=0得得x=yx=y，即，即 =1=1，x x与与y y的比值一定，的比值一定，所以所以x x与与y y成正比例关系。成正比例关系。（3 3）此题中）此题中x xy y的差是一定的，但是它们的比值的差是一定的，但是它们的比值不是一定的，所以不是一定的，所以x x与与y y不成正比例关系。不成正比例关系。y yx xy yx x知识梳理知识梳理二、正比例和反比例二、正比例和反比例成正比例的量成正比例的量【4.4.正比例关系的图像正比例关系的图像 】正正比比例例关关系系的的图图像像是是一一条条经经过过原原点点O O的的直直线线。从从正正比比例例图图像像中中，可可以以直直观观看看到到成成正正比比例例的的两两种种量量的的变变化化情情况况，不不用用计计算算，就就可可以以根根据据其其中中一一个个量量的的值值直直接接找找到或者估计出另一个量的值。到或者估计出另一个量的值。典型例题典型例题某辆汽车所行驶的时间和路程统计如下表：某辆汽车所行驶的时间和路程统计如下表：时间时间/时时1 12 23 34 45 56 67 7路程路程/km/km6060120120180180240240300300360360420420（1 1）表中有哪两种相关联的量，它们之间成什么比例关系？）表中有哪两种相关联的量，它们之间成什么比例关系？（2 2）根据表中的数据在方格纸上画图，制成图像，观察一下，）根据表中的数据在方格纸上画图，制成图像，观察一下，它的图像有什么特点？它的图像有什么特点？（3 3）不计算，根据图像判断：该汽车）不计算，根据图像判断：该汽车4.54.5时行驶多少千米？行时行驶多少千米？行驶驶200200千米大约需要几时？千米大约需要几时？典型例题典型例题解答解答 （1 1）表中的路程和时间是两种相关联的量，）表中的路程和时间是两种相关联的量，它们之间成正比例关系。它们之间成正比例关系。（2 2）在方格纸中用横轴表示时间，纵轴表示路程，）在方格纸中用横轴表示时间，纵轴表示路程，根据上表中的每一组数据描出相对应的点，然后根据上表中的每一组数据描出相对应的点，然后把各点按顺序连接起来，制成一幅正比例图像把各点按顺序连接起来，制成一幅正比例图像（如下图）。（如下图）。典型例题典型例题观察发现：正比例图像是一条直线。观察发现：正比例图像是一条直线。（3 3）观察图像，在横轴上）观察图像，在横轴上4 4时和时和5 5时之间找到时之间找到4.54.5时的点，再时的点，再竖直向上看，找到与这条竖直线相交的横隔线，最后顺着横竖直向上看，找到与这条竖直线相交的横隔线，最后顺着横隔线往左看纵轴，找出与这个点相对应的纵轴上的数是隔线往左看纵轴，找出与这个点相对应的纵轴上的数是270270（在（在240240与与300300的正中间）。的正中间）。同理，在纵轴上找到大约同理，在纵轴上找到大约200200千千米的点，过这点向右画一条水平米的点，过这点向右画一条水平线，使其与图像相交，再由此交线，使其与图像相交，再由此交点向下竖直画线，与横轴相交点点向下竖直画线，与横轴相交点即为所要找的点。根据图像估计即为所要找的点。根据图像估计出行驶出行驶200200千米大约需要千米大约需要3.33.3时时（如右图）。（如右图）。知识梳理知识梳理二、正比例和反比例二、正比例和反比例成反比例的量成反比例的量【1.1.成成反反比比例例的的量量 】两两种种相相关关联联的的量量，一一种种量量变变化化，另另一一种种量量也也随随着着变变化化，如如果果这这两两种种量量中中相相对对应应的的两两个个数数的的积积一一定定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系成为反比例关系。这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系成为反比例关系。例例：轮轮船船行行驶驶的的路路程程一一定定，那那么么，它它行行驶驶的的时时间间与行驶的速度就成反比例。与行驶的速度就成反比例。知识梳理知识梳理二、正比例和反比例二、正比例和反比例成反比例的量成反比例的量【2.2.反反比比例例关关系系的的字字母母表表达达式式】如如果果用用字字母母x x和和y y表表示示两两种种相相关关联联的的量量，用用k k表表示示它它们们的的乘乘积积，则则反反比比例例关关系系式式是是：x xy=ky=k（一定）。（一定）。【3.3.两两种种量量成成反反比比例例的的条条件件】这这两两种种量量是是相相关关联联的的，其其中中一一种种量量随随着着另另一一种种量量的的变变化化而而变变化化，变变化化的的方方向向相相反反。相相对对应应的的两个量的乘积一定。两个量的乘积一定。【4.4.正比例关系的图像正比例关系的图像 】如下图所示：如下图所示：典型例题典型例题例题例题 根据反比例的意义，确定下面各式中根据反比例的意义，确定下面各式中x x与与y y是否是否成反比例关系。（成反比例关系。（x x、y y均不为均不为0 0）（1 1）y=y=（2 2）x xy=6.5y=6.55 5x x解答解答 （1 1）由）由y=y=得得xy=5xy=5，x x与与y y的乘积一定，所的乘积一定，所以以x x与与y y成反比例关系。成反比例关系。（2 2）此题中）此题中x xy y的和是一定的，但是他们的乘积的和是一定的，但是他们的乘积不是一定的，所以不是一定的，所以x x与与y y不成反比例关系。不成反比例关系。5 5x x典型例题典型例题1 1、每块砖的面积一定，铺地总面积和用砖的总块数、每块砖的面积一定，铺地总面积和用砖的总块数 （）比例）比例2 2、铺地总面积一定，每块砖的面积和用砖的总块数、铺地总面积一定，每块砖的面积和用砖的总块数 （）比例）比例3 3、每立方厘米的铁的重量一定，铁的总重量和体积、每立方厘米的铁的重量一定，铁的总重量和体积 （）比例）比例4 4、购买各种货物的总价和数量、购买各种货物的总价和数量 （）比例）比例5 5、互相咬合的齿轮的齿数和转数、互相咬合的齿轮的齿数和转数 （）比例）比例6 6、一个人的身高和体重、一个人的身高和体重 （）比例）比例7 7、一个人的年龄和身高、一个人的年龄和身高 （）比例）比例8 8、总人数一定，每排人数和排数、总人数一定，每排人数和排数 （）比例）比例9 9、一堆货物的总重量一定，每辆车的载重量和汽车辆数、一堆货物的总重量一定，每辆车的载重量和汽车辆数 （）比例）比例1010、正方体的棱长一定，它的体积和表面积、正方体的棱长一定，它的体积和表面积 （）比例）比例判断下面每题中的两种量是否成比例，成什么比例。判断下面每题中的两种量是否成比例，成什么比例。正正反反正正正正反反不成不成不成不成反反反反不成不成