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4.1中值定理中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理二、拉格朗日定理二、拉格朗日定理三、柯西定理三、柯西定理一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理例如例如,定定理理如如果果函函数数f(x)在在闭闭区区间间a,b上上连连续续,在在开开区区间间(a,b)内内可可导导,且且在在区区间间端端点点的的函函数数值值相相等等,即即f(a)=f(b),那那末末在在(a,b)内内至至少少有有一一点点,使得函数使得函数f(x)在该点的导数等于零，即在该点的导数等于零，即几何解释几何解释:证证注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可其结论可能不成立能不成立.例如例如,又例如又例如,-221001RolleRolle定理的条件定理的条件是充分不必要的是充分不必要的即：若验证下来即：若验证下来Rolle定理的条件不成立，定理的条件不成立，推不出不存在导数为推不出不存在导数为零的点，如右图零的点，如右图满足满足Rolle定理条件，在定理条件，在-1处不存在右导数，在处不存在右导数，在1处不存在左导数处不存在左导数是否存在在是否存在在a,b上连续，在上连续，在(a,b)内可导，但在区间内可导，但在区间端点不存在单侧导数的函数？端点不存在单侧导数的函数？存在存在导数为导数为0有多种情况有多种情况例例1 1证证由介值定理由介值定理,即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.矛盾矛盾,Rolle(1652-1719)法国数学家Rolle年轻时因家境贫困，所以仅受过初等教育，是靠自学精通了代数和Diophantus分析理论。1682年，他解决了数学家Ozanam提出的一个数学难题，受到学术界的好评，从此他的生活有了转机，得到了社会上层人士的经济援助。Rolle所处的时代正当微积分诞生不久，因而微积分遭受到多方面的非议，Rolle就是反对派之一。他认为：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”从而Rolle和一些数学家之间展开了激烈的争论，直到1706年秋，他才放弃自己的观点，充分认识到无穷小分析新方法的价值。他在1691年的论著方程的解法中论证了：在多项式方程f(x)=0的两个相邻的实根之间，至少有一个实根（当时还没有导数的概念和符号，不过根据定理的结论恰好相当于多项式的导数）。这个定理本来和微分学没有关系，但在一百多年后，即1846年GiustoBellavitis将这一定理推广到可微函数，即函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点c，使导函数在该点值为0.并把此定理命名为Rolle定理，一直沿用至今.罗尔（Rolle）二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理定定理理如如果果函函数数f(x)在在闭闭区区间间a,b上上连连续续,在在开开区区间间(a,b)内内可可导导,那末在那末在(a,b)内至少有一点内至少有一点,使得使得证证 作辅助函数作辅助函数曲线减去弦曲线减去弦)(xfy=Rolle定理是定理是Lagrange定理的特例定理的特例几何解释几何解释:拉格朗日中值定理又称微分中值定理。拉格朗日中值定理又称微分中值定理。拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.ab也成立也成立推论推论1推论推论2例例2 2证证例例3 3证证由上式得由上式得Lagrange中值定理常常用来证明不等式中值定理常常用来证明不等式拉格朗日（拉格朗日（Joseph-LouisLagrange，公元，公元1736公元公元1813）是意大利出生的法国）是意大利出生的法国数学家、力学家、天文学家。生於意大利都灵，卒於巴黎。少年时读到哈雷介数学家、力学家、天文学家。生於意大利都灵，卒於巴黎。少年时读到哈雷介绍绍牛顿牛顿（Newton）有关微积分的短文，对分析学产生兴趣。後上了都灵大学。）有关微积分的短文，对分析学产生兴趣。後上了都灵大学。18岁时研究等周问题岁时研究等周问题（IsoperimetricProblems），用纯分析的方法发展了），用纯分析的方法发展了欧拉欧拉（Euler）开创的变分法（）开创的变分法（VariationofCalculus）。）。19岁（岁（1755年）时当上年）时当上都灵炮兵学校（都灵炮兵学校（RoyalArtillerySchoolinTurin）的几何学教授。不久成为柏林）的几何学教授。不久成为柏林科学院通讯院士，并继欧拉後出任柏林科学院数学总监。科学院通讯院士，并继欧拉後出任柏林科学院数学总监。1757年参与创建都灵年参与创建都灵科学协会，在协会出版的科技会刊上发表了大量论文，内容涉及变分法、概率科学协会，在协会出版的科技会刊上发表了大量论文，内容涉及变分法、概率论、微分方程、弦振动、最小作用原理等。论、微分方程、弦振动、最小作用原理等。1764年用万有引力解释月球天平动年用万有引力解释月球天平动问题获巴黎科学院奖金，问题获巴黎科学院奖金，1766年又用微分方程理论和近似解法研究六体问题再年又用微分方程理论和近似解法研究六体问题再度获奖，成为欧洲极有声望的数学家。度获奖，成为欧洲极有声望的数学家。1766年接受普鲁士王年接受普鲁士王腓特烈腓特烈（FredericktheGreat）邀请到柏林科学院工作。）邀请到柏林科学院工作。1787年定居巴黎，历任法国米制委员会主年定居巴黎，历任法国米制委员会主任、巴黎高等师范学校和巴黎综合工科学校数学教授。任、巴黎高等师范学校和巴黎综合工科学校数学教授。拉格朗日的主要贡献有：在拉格朗日的主要贡献有：在关於代数方程解法的思考关於代数方程解法的思考（1770）等论文中，）等论文中，发现置换对解的影响，指出五次方程不可能有根式解，蕴含群论思想的萌芽；发现置换对解的影响，指出五次方程不可能有根式解，蕴含群论思想的萌芽；在在分析力学分析力学（1788）中用分析学理论建立起完整和谐的力学体系，使力学）中用分析学理论建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化，是自牛顿之後最重要的经典力学著作；在分析化，是自牛顿之後最重要的经典力学著作；在解析函数论解析函数论（1797）和）和函数计算讲义函数计算讲义（1801）两大分析巨著中尝试重建微积分的基础，采用新的）两大分析巨著中尝试重建微积分的基础，采用新的微分符号，成为函数论的起点。他还在数论中得到一系列重要结果，在微分方微分符号，成为函数论的起点。他还在数论中得到一系列重要结果，在微分方程理论中提出奇异解（程理论中提出奇异解（SingularSolution）是积分曲线族的包络的几何解释，提）是积分曲线族的包络的几何解释，提出线性代换的特徵值（出线性代换的特徵值（Eigenvalue）概念等。）概念等。三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理注注1：此定理不作考试要求，但是该结论会被用来证明：此定理不作考试要求，但是该结论会被用来证明后面的后面的Lhospital法则法则注注2：Lagrange定理是该定理的特例定理是该定理的特例证证作辅助函数作辅助函数例例4 4证证 分析分析:结论可变形为结论可变形为柯西柯西(Cauchy,AugustinLouis1789-1857)，法国数学家。他的父亲路易法国数学家。他的父亲路易弗朗索瓦弗朗索瓦柯西是法柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。他信仰罗马天主教他信仰罗马天主教,追随保皇党追随保皇党,终生坚守气节。终生坚守气节。柯西在学术上成果颇丰，在代数学上，他有柯西在学术上成果颇丰，在代数学上，他有行列式论和群论的创始性的功绩；在理论物理学、行列式论和群论的创始性的功绩；在理论物理学、光学、弹性理论等方面，也有显著的贡献。他的光学、弹性理论等方面，也有显著的贡献。他的特长是在分析学方面，他对微积分给出了严密的特长是在分析学方面，他对微积分给出了严密的基础。他还证明了复变函数论的主要定理以及在基础。他还证明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理。实变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理。他的全集他的全集26卷，仅次于欧拉，居第二位。卷，仅次于欧拉，居第二位。柯西是历史上有名的大分析学家之一。幼年柯西是历史上有名的大分析学家之一。幼年时在父亲的教导下学习数学。拉格朗日、拉普拉时在父亲的教导下学习数学。拉格朗日、拉普拉斯常和他的父亲交往斯常和他的父亲交往,曾预言柯西日后必成大器。曾预言柯西日后必成大器。1805年柯西入理工科大学，年柯西入理工科大学，1816年成为那里的教年成为那里的教授。授。1830年法王查理十世被逐，路易年法王查理十世被逐，路易菲利普称菲利普称帝。柯西由于拒绝作效忠宣誓，被革去职位，出帝。柯西由于拒绝作效忠宣誓，被革去职位，出走国外。走国外。1838年柯西返回法国，法兰西学院给他年柯西返回法国，法兰西学院给他提供了一个要职，但是宣誓的要求仍然成为接纳提供了一个要职，但是宣誓的要求仍然成为接纳他的障碍。他的障碍。1848年路易年路易菲利普君主政体被推翻菲利普君主政体被推翻,成立了法兰西第二共和国成立了法兰西第二共和国,废除宣誓的规定废除宣誓的规定,柯西终柯西终于成为理工科大学的教授。于成为理工科大学的教授。1852年发生政变年发生政变,共和共和国又变成帝国国又变成帝国,恢复了宣誓仪式恢复了宣誓仪式,唯独柯西和阿拉果唯独柯西和阿拉果(Arago1786-1853法国物理学家法国物理学家)可以免除。可以免除。1821年，在拉普拉斯和泊松的鼓励下，柯西年，在拉普拉斯和泊松的鼓励下，柯西出版了出版了分析教程分析教程、无穷小计算讲义无穷小计算讲义、无穷小计算在几何中的应用无穷小计算在几何中的应用这几部划时代的这几部划时代的著作。他给出了分析学一系列基本概念的严格定著作。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。柯西的极限定义至今还在普遍使用，连续、义。柯西的极限定义至今还在普遍使用，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在较为坚实的基础上。在较为坚实的基础上。现今所谓的柯西定义或现今所谓的柯西定义或方法就是柯西在方法就是柯西在1821年提出，后经过维尔斯特拉斯的加工完成的。年提出，后经过维尔斯特拉斯的加工完成的。Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；4.2罗必塔罗必塔(Lhospital)法则法则定理定理证证定义辅助函数定义辅助函数则有则有注注1Lhospital法则可以连续使用法则可以连续使用注注使用使用Lhospital法则注意验证条件！法则注意验证条件！注注Lhospital法则的条件是充分不必要的法则的条件是充分不必要的例例1 1解解例例2 2解解连续使用连续使用Lhospital法则法则例例3 3解解例例4 4解解0，等价量替换不能用于加减，等价量替换不能用于加减例例=10=0不满足不满足Lhospital法则第法则第3个条件个条件Lhospital法则失效，不能推出该极限不存在法则失效，不能推出该极限不存在原式原式本例由于分子求导后本例由于分子求导后极限不存在极限不存在定理定理例例5 5解解例例6 6解解每用一次每用一次Lhospital后记得化简后记得化简或者或者例例6 6解解例例7 7解解步骤步骤:幂函数增长远慢于底数大于幂函数增长远慢于底数大于1的指数函数增长的指数函数增长例例8 8解解步骤步骤:步骤步骤:例例9 9解解例例1010解解另解另解例例1111解解极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。注注Lhospital法则的条件是充分不必要的法则的条件是充分不必要的例例例例例例例例=0例例另解另解一花独放不是春一花独放不是春4.3函数单调性的判别法函数单调性的判别法定理定理证证应用拉氏定理应用拉氏定理,得得例例1 1解解例例2 2解解单调区间为单调区间为例例3 3解解单调区间为单调区间为例例4 4证证注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,4.4函数的极值与最值函数的极值与最值一、函数的极值极其求法一、函数的极值极其求法二、函数的最值及其求法二、函数的最值及其求法定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值的点称使函数取得极值的点称为为极值点极值点.一、函数的极值极其求法一、函数的极值极其求法定理定理(必要条件必要条件)定理定理(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形是极值点情形)求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)例例1 1解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值图形如下图形如下定理定理(第二充分条件第二充分条件)证证同理可证同理可证(2).例例2 2解解例例3 3解解二、函数的最值及其求法二、函数的最值及其求法步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求求区间端点区间端点及及驻点驻点和和不可导点不可导点的函数值的函数值,比比较大小较大小,哪个大就是最大值哪个大就是最大值,哪个小那个就是哪个小那个就是最小值最小值;注意注意:f(x)f(x)在在a,ba,b上连续，且在上连续，且在(a,b)(a,b)内只有内只有一个极值点一个极值点x0，当，当x0是极大是极大(小小)值点时值点时,f(x0)就就是是f在在a,b上的最大上的最大(小小)值，而值，而f在在a,b上的最上的最小小(大大)值将在区间端点上取到。值将在区间端点上取到。例例4 4解解计算计算比较得比较得例例5 5某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？获得最大收入？解解设房租为每月设房租为每月x元，元，租出去的房子有租出去的房子有套，套，每月总收入为每月总收入为（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高元时收入最高.最大收入为最大收入为4.5曲线的凸性、拐点与渐近线曲线的凸性、拐点与渐近线一、曲线的凸性与拐点一、曲线的凸性与拐点二、曲线的渐近线二、曲线的渐近线一、曲线的凸性与拐点一、曲线的凸性与拐点下凸下凸上凸上凸例例1 1解解注意到注意到,连续曲线上上凸与下凸的分界点称为连续曲线上上凸与下凸的分界点称为曲线的拐点曲线的拐点.例例2 2解解拐点拐点拐点拐点例例3 3解解二、曲线的渐近线二、曲线的渐近线定义定义1.1.铅直渐近线铅直渐近线例如例如有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条:2.2.水平渐近线水平渐近线例如例如有水平渐近线两条有水平渐近线两条:3.3.斜渐近线斜渐近线斜渐近线求法斜渐近线求法:例例4 4解解4.6函数作图函数作图利用导数作函数图形的步骤：利用导数作函数图形的步骤：4.讨论函数图形的渐近线讨论函数图形的渐近线;例例1 1解解非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点作图作图例例2 2解解偶函数偶函数,图形关于图形关于y y轴对称轴对称.拐点拐点极大值极大值列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:拐点拐点谢谢
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