15有理数的乘法和除法

有理数的乘法和除法有理数的乘法和除法本课内容本节内容1.51.5.1 有理数的乘法有理数的乘法我们已经熟悉了非负数的乘法运算我们已经熟悉了非负数的乘法运算，那么如何计算那么如何计算 （-5）3，3（-5），），（-5）（-3）呢呢？5 3=15，例如例如动脑筋动脑筋 我们把向东走的路程记为正数我们把向东走的路程记为正数.如果小丽从点如果小丽从点O出发，以出发，以5km/h的速度向西行走的速度向西行走3h后，小丽从后，小丽从O点向点向哪个方向行走了多少千米哪个方向行走了多少千米？小丽从小丽从O点向西行走了点向西行走了（53）km.由此，我们有由此，我们有（-5）3=（53）-我们已经知道我们已经知道(-5)3=-(53)，探究探究那么那么3(-5)，(-5)(-3)又应怎样计算呢又应怎样计算呢？非负数的乘法与加法是用分配律联系起来的，非负数的乘法与加法是用分配律联系起来的，因此，当数扩充到有理数后，要规定有理数的乘法因此，当数扩充到有理数后，要规定有理数的乘法法则，当然也要求它满足分配律，以便把乘法与加法则，当然也要求它满足分配律，以便把乘法与加法联系起来法联系起来.如果它满足分配律，那么就会有如果它满足分配律，那么就会有 3(-5)+35=3(-5)+5=30=0这表明这表明3(-5)与与35互为相反数，于是有互为相反数，于是有3(-5)=-(35).结论结论异号两数相乘得负数，并且把绝对值相乘异号两数相乘得负数，并且把绝对值相乘.从从、式受到启发，一般规定：式受到启发，一般规定：3(-5)=-(35)(-5)3=-(53)（-）（+）（-）（+）（-）（-）结论结论任何数与任何数与0相乘，都得相乘，都得0.类似地类似地，我们有我们有(-5)(-3)+(-5)3=(-5)(-3)+3=(-5)0=0这表明这表明(-5)(-3)与与(-5)3互为相反数互为相反数.因为因为(-5)3=-15，而而-15的相反数是的相反数是15，所以所以(-5)(-3)=15.即即 (-5)(-3)=15=53.由由式看出式看出，(-5)(-3)得正数，并且把绝对值得正数，并且把绝对值5与与3相乘相乘.结论结论同号两数相乘得正数，并且把绝对值相乘同号两数相乘得正数，并且把绝对值相乘.从从、式受到启发，于是规定：式受到启发，于是规定：(-5)(-3)=15=53 53=15 （+）（+）（+）（-）（-）（+）例例1 计算：计算：（1）3.5（-2）；（2）；（3）；（4）（）（-0.57）0.举举例例解解（1）3.5（-2）=-(3.52)根据乘法法则根据乘法法则=-73.5)和和(-2)为异号，为异号，结果为负结果为负3.5和和(-2)的绝对值相乘的绝对值相乘解解（2）=根据乘法法则根据乘法法则=为异号，为异号，结果为负结果为负它们的绝对值相乘它们的绝对值相乘解解（3）=根据乘法法则根据乘法法则=1 为同号，为同号，结果为正结果为正解解（4）（-0.57）0根据乘法法则根据乘法法则=0任何数与任何数与0相乘，结果为相乘，结果为01.填表填表:因数因数因数因数积的符号积的符号绝对值的积绝对值的积积积-27-10.3-10-14-+3-14-3练习练习2.计算：计算：（1）；（2）.在小学我们已经学过乘法的交换律在小学我们已经学过乘法的交换律、结结合律合律，那么这两个运算律在有理数范围内是那么这两个运算律在有理数范围内是否也适用呢否也适用呢？填空：填空：（1）(-2)4=，4(-2)=；-8-8动脑筋动脑筋（2）(-2)(-3)(-4)=(-4)=，(-2)(-3)(-4)=(-2)=.6-2412-24从上面的填空题中从上面的填空题中，你发现了什么你发现了什么？结论结论乘法交换律乘法交换律：=.abab即，两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变即，两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变.结论结论乘法结合律乘法结合律：()=().a bab cc 即，对于三个有理数相乘，可以先把前两个数相即，对于三个有理数相乘，可以先把前两个数相乘，再把结果与第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再把结果与第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再把第一个数与所得结果相乘，积不变乘，再把第一个数与所得结果相乘，积不变 和加法类似，根据乘法交换律和乘法结合律可以推和加法类似，根据乘法交换律和乘法结合律可以推出：三个或三个以上有理数相乘，可以写成这些数的连出：三个或三个以上有理数相乘，可以写成这些数的连乘式对于连乘式，可以任意交换因数的位置，也可先乘式对于连乘式，可以任意交换因数的位置，也可先把其中的几个数相乘把其中的几个数相乘（1）填空：填空：动脑筋动脑筋(-6)4+(-9)=(-6)=，(-6)4+(-6)(-9)=+=.-53054-2430（2）换几个有理数试一试换几个有理数试一试，你发现了什么你发现了什么？结论结论乘法对加法的分配律乘法对加法的分配律（简称为（简称为分配律分配律）：(+)=+.b caabac （-1）a=-=-a利用分配律，可以得出利用分配律，可以得出 即，一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把即，一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.例例2 计算：计算：（1）；（2）（-12.5）（-2.5）（-8）4.举举例例解解（1）=将分数逐个与将分数逐个与60相乘相乘=30-20-15+12=7分数与整数分数与整数60相乘相乘计算结果计算结果解解（2）(-12.5)(-2.5)(-8)4=(-12.5)(-8)(-2.5)4(-12.5)和和(-8)相乘为整数相乘为整数=100(-10)(-2.5)和和4相乘为整数相乘为整数=-1000相乘为整数的先结合起来相乘为整数的先结合起来(-12.5)和和(-8)为为同号相乘同号相乘(-2.5)和和4为异号相乘为异号相乘(-10)和和100相乘为异号相乘为异号 下列各式的积是正数还是负数下列各式的积是正数还是负数？积的符号与负因数积的符号与负因数（因数为负数因数为负数）的个数之间有什么关系的个数之间有什么关系？（1）（-2）（-3）（-4）；）；（2）（-2）（-3）（-4）（-5）.几个不等于几个不等于0的数相的数相乘，当负因数有奇数个时乘，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶，积为负；当负因数有偶数个时，积为正数个时，积为正.说一说说一说 例例3 计算：计算：（1）（）（-8）4（-1）（-3）；（2）.举举例例解解（1）(-8)4 (-1)(-3)=-(8413)将负号提出来将负号提出来绝对值进行相乘绝对值进行相乘=-96先确定积的符号先确定积的符号解解四个负号相乘，结果为正号四个负号相乘，结果为正号绝对值进行相乘绝对值进行相乘=32先确定积的符号先确定积的符号（2）1.计算计算:（1）(-2)17(-5)；（2）(-15)3(-4)；（3）；（4）0.1259(-8)；（5）(-5)(-4)(-3)；（6）(-1.5)6(-4)；（7）；（8）(-10)28 0.练习练习1.解解（1）(-2)17(-5)=2517=170（2）(-15)3(-4)=1543=180（3）（4）0.1259(-8)=-(80.125)9=-9（5）(-5)(-4)(-3)=-(543)=-60（6）(-1.5)6(-4)=1.546=36（7）（8）(-10)28 0=02.计算计算:（1）；（2）（-4）（-3）（-5）（-2.5）.2.解解（1）（2）（-4）（-3）（-5）（-2.5）=4352.5 =1501.5.2 有理数的除法有理数的除法我们知道我们知道 2 3=6，因此因此 6 3=2.那么如何计算那么如何计算（-6）3，6（-3），），（-6）（-3）呢？呢？探究探究（-6）3=?，6（-3）=?，（-6）（-3）=?由于由于 （-2）3=-6，因此，因此，（-6）3=-2.类似地，由于类似地，由于（-2）（-3）=6 ，由于由于 2（-3）=-6，因此，因此，6（-3）=-2，因此，因此，（-6）（-3）=2.从这些例子受到启发，抽象出有理数的从这些例子受到启发，抽象出有理数的除法除法运算；运算；对于两个有理数对于两个有理数a，b，其中，其中b0，如果有一个有理数，如果有一个有理数c，使得，使得cb=a，那么规定，那么规定ab=c，且把，且把c叫作叫作a除以除以b的的商商.结论结论同号两数相除得正数，异号两数相除同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并且把它们的绝对值相除得负数，并且把它们的绝对值相除.0 除以任何一个不等于除以任何一个不等于0的数都得的数都得0.有理数的除法是通过乘法来规定的，有理数的除法是通过乘法来规定的，因此由因此由至至式可以得出：式可以得出：（+）（+）（+）（-）（-）（+）6 3=2 (-6)3=-2 6(-3)=-2 (-6)(-3)=2 （-）（+）（-）（+）（-）（-）例例4 计算：计算：（1）（）（-24）4；（2）（）（-18）（-9）；（3）10（-5）.举举例例解解（1）（-24）4=-(24 4)根据除法法则根据除法法则(-24)和和4为异号相除为异号相除结果为负结果为负解解（2）（）（-18）（-9）=+(18 9)根据除法法则根据除法法则（-18）和和(-9)为同号为同号结果为正结果为正=-6=2解解（3）10（-5）=-(10 5)根据除法法则根据除法法则10和和(-5)为异号相除为异号相除结果为负结果为负=-2 试问：试问：10(-5)还可以怎样计算还可以怎样计算？我们已经知道我们已经知道 10（-5）=-2，所以所以 动脑筋动脑筋又又 由于由于 ，因此，我们把，因此，我们把 叫做叫做-5的倒数，的倒数，把把-5叫做叫做 的倒数的倒数.一般地，一般地，如果两个数的乘积等于如果两个数的乘积等于1，那么把其，那么把其中一个数叫做另一个数的中一个数叫做另一个数的倒数倒数，也称它们，也称它们互为倒互为倒数数.0没有倒数没有倒数.因此，因此，式表明式表明10除以除以-5等于等于10乘乘-5的倒数的倒数.结论结论除以一个不等于除以一个不等于零零的数等于乘上这个数的倒数的数等于乘上这个数的倒数.一般地，有理数的除法运算可以转化为乘法运算，即一般地，有理数的除法运算可以转化为乘法运算，即也可以表示成也可以表示成 例例5 计算：计算：（1）；（2）；（3）.举举例例解解（1）=（-12）3根据除法法则根据除法法则异号相乘，结果为负异号相乘，结果为负解解（2）=根据除法法则根据除法法则异号相乘，结果为负异号相乘，结果为负 的倒数是的倒数是3=-36=-35 的倒数是的倒数是解解（3）=根据除法法则根据除法法则同号相乘，结果为正同号相乘，结果为正=的倒数是的倒数是 1.计算：计算：（1）14(-7)；（2）(-36)(-3)；（3）0(-0.618)；（4）(-48)12.练习练习1.解解（1）14 (-7)=-2；（2）(-36)(-3)=12；（4）(-48)12=-4.（3）0 (-0.618)=0；2.填空：填空：（1）因为）因为 =1，所以所以 的倒数是的倒数是 ；（2）的倒数是的倒数是 ；-3的倒数是的倒数是 .-6-6 3.计算：计算：（1）(-36)(-0.6)；（2）；（3）；（4）.60-28 下面的算式含有乘、除两种运算，怎样进行有下面的算式含有乘、除两种运算，怎样进行有理数的乘、除混合运算呢？理数的乘、除混合运算呢？议一议议一议可以按从左到右可以按从左到右的顺序依次计算的顺序依次计算.也可以先将除法也可以先将除法转化为乘法转化为乘法.例例3 计算：计算：（1）（-56）（-2）（-8）；举举例例（2）（-10）（-5）（-2）；（3）（4）解解（1）（-56）（-2）（-8）=28 （-8）可以依次计算可以依次计算先算前两个数先算前两个数异号相除，结果为负异号相除，结果为负=（2）（-10）（-5）（-2）；解解=（-10）10先计算后两个先计算后两个=-1解解=-30（-3）可以依次计算可以依次计算先算前两位数先算前两位数=90依次计算依次计算=0.8（3）（4）解解 下面是小明同学做的一道计算题下面是小明同学做的一道计算题，他的计算他的计算是否正确是否正确？如果不正确，说说他错在哪里如果不正确，说说他错在哪里.说一说说一说不正确，应该依次计算不正确，应该依次计算 计算器是日常生活中常用的一种现代计计算器是日常生活中常用的一种现代计算工具，因此我们可以利用计算器来计算算工具，因此我们可以利用计算器来计算.计算器有各种型号，型号不同，操作方法略有不同计算器有各种型号，型号不同，操作方法略有不同.下面我们以某种型号的计算器（图下面我们以某种型号的计算器（图1-17）为例介绍操作方）为例介绍操作方法法.图图1-17 1-17 某种电子计算器的面板示意图某种电子计算器的面板示意图举举例例 例例7 用计算器计算用计算器计算（精确到精确到0.001）：）：-1840 0.28(-375)再将结果四舍五入后就可以得到答案再将结果四舍五入后就可以得到答案1.374.解解 按照下列顺序按键：按照下列顺序按键：不同的计算器，操作方法可能有所不同不同的计算器，操作方法可能有所不同.具具体操作方法应参看计算器的使用说明书体操作方法应参看计算器的使用说明书.1.计算：计算：（1）24(-3)(-4)；（2）(-6)(-2)3；（3）2(-7)(-4)；（4）186(-2).).练习练习1.解解（1）24(-3)(-4)=-8(-4)=2；（2）(-6)(-2)3=33=1；（3）2(-7)(-4)=(-4)=；（4）18 6(-2)=3(-2)=-6.2.计算：计算：（1）；（2）；（3）.3.用计算器计算：用计算器计算：1.26(-15)80.-6.72中考中考 试题试题例例1 计算：（计算：（-100）（-20）-（-3）.本题中，先计算乘法，同号为正，再将减法运算转化成加法本题中，先计算乘法，同号为正，再将减法运算转化成加法.分析分析 原式原式=10010020+320+3 =2000+3 =2000+3 =2003 =2003.解解中考中考 试题试题例例2 计算：计算：.有理数的除法法则有理数的除法法则两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何非除以任何非0的数都得的数都得0.除以一个数等于乘以这个数的倒数，即除以一个数等于乘以这个数的倒数，即ab=a （b0）.分析分析 原式原式=-11=-11（-1313）（-1313）=-111313-111313 =-1859 =-1859-1859解解解解中考中考 试题试题例例3 如图，是一个简单的数值运算程序，当输入如图，是一个简单的数值运算程序，当输入x的值的值为为1时，则输出的数值为时，则输出的数值为 .输入输入x x值为值为1 1，即算式为，即算式为1 1(-1)+3=2(-1)+3=2，所以输出为，所以输出为2.2.2输入输入 x(-1)+3输出输出结结 束束