C3-4导热微分方程及其定界条件-稳态导热课件

2-2 2-2 导热微分方程式及定解条件导热微分方程式及定解条件作作用用：导导热热微微分分方方程程式式及及定定解解条条件件是是对对导导热热体体的的数学描述，是理论求解导热体温度分布的基础。数学描述，是理论求解导热体温度分布的基础。热力学第一定律热力学第一定律+傅里叶定律傅里叶定律 理论：导热微分方程式建立的基础是：理论：导热微分方程式建立的基础是：方法：对导热体内任意的一个微小单元进行分析，方法：对导热体内任意的一个微小单元进行分析，依据能量守恒关系，建立该处温度与其它变量之间依据能量守恒关系，建立该处温度与其它变量之间的关系式。的关系式。高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer一、导热微分方程的推导一、导热微分方程的推导1.1.物理问题描述物理问题描述 三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热以外其它形式的热量，如化学反应能、电能等）。以外其它形式的热量，如化学反应能、电能等）。2.2.假设条件假设条件 (1)(1)所研究的物体是各向同性的连续介质；所研究的物体是各向同性的连续介质；(2)(2)热导率、比热容和密度均为已知；热导率、比热容和密度均为已知；(3)(3)内热源均匀分布，强度为内热源均匀分布，强度为 W/m W/m3 3；(4)(4)导热体与外界没有功的交换。导热体与外界没有功的交换。高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer3.3.建立坐标系，取分析对象（微元体）建立坐标系，取分析对象（微元体）在直角坐标系中进行分析。在直角坐标系中进行分析。xyzdxdydz高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer 由由于于是是非非稳稳态态导导热热，微微元元体体的的温温度度随随时时间间变变化化，因因此此存存在在内内能能的的变变化化；从从各各个个界界面面上上有有导导入入和和导导出出微元体的热量；内热源产生的热量。微元体的热量；内热源产生的热量。导入与导出净热量导入与导出净热量+内热源发热量内热源发热量=热力学能的增加热力学能的增加（1 1）微元体热力学能（内能）的增量）微元体热力学能（内能）的增量4.4.能量变化的分析能量变化的分析:高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer（2 2）导入与导出微元体的热量）导入与导出微元体的热量 利用导热基本定律可写出各个表面上导入和导利用导热基本定律可写出各个表面上导入和导出微元体的热量。出微元体的热量。沿沿x轴方向、经轴方向、经x表面导入的热量：表面导入的热量：沿沿 x 轴轴方方向向、经经 x+dx 表表面导出的热量：面导出的热量：xyz高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer沿沿x 轴方向导入与导出微元体净热量轴方向导入与导出微元体净热量沿沿 y y 轴方向导入与导出微元体净热量轴方向导入与导出微元体净热量沿沿 z z 轴方向导入与导出微元体净热量轴方向导入与导出微元体净热量同理可得：同理可得：高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer导入与导出净热量导入与导出净热量:（3 3）微元体内热源生成的热量）微元体内热源生成的热量5.5.导热微分方程的基本形式导热微分方程的基本形式非稳态项非稳态项三个坐标方向净导入的热量三个坐标方向净导入的热量 内热源项内热源项高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer1.1.若导热系数也为常数若导热系数也为常数2.2.若物性参数为常数且无内热源：若物性参数为常数且无内热源：二、一些具体情况下的简化二、一些具体情况下的简化为材料的扩散系数，单位：为材料的扩散系数，单位：m2/s高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer3.若物性参数为常数、无内热源稳态导热：若物性参数为常数、无内热源稳态导热：4.一维稳态含内热源导热：一维稳态含内热源导热：5.一维稳态无内热源导热：一维稳态无内热源导热：高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer1.圆柱坐标系（圆柱坐标系（r,z）三、其它坐标系中的导热微分方程式三、其它坐标系中的导热微分方程式高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer 2.球坐标系（球坐标系（r,，）高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer四、导热过程的定解条件四、导热过程的定解条件 导导热热微微分分方方程程式式的的理理论论基基础础：傅傅里里叶叶定定律律+能能量量守守恒恒。描描写写物物体体温温度度随随时时间间和和空空间间变变化化的的关关系系；没没有涉及具体、特定的导热过程。是有涉及具体、特定的导热过程。是通用表达式通用表达式。定定解解条条件件：使使得得微微分分方方程程获获得得某某一一特特定定问问题题的的解解的的附加条件。附加条件。对对于于非非稳稳态态导导热热问问题题，需需要要描描述述初初始始时时刻刻温温度度分分布布的的初初始始条条件件，以以及及给给出出物物体体边边界界上上温温度度或或换换热热的的边界条件边界条件。稳态导热问题仅有边界条件。稳态导热问题仅有边界条件。导热问题的完整数学描述：导热问题的完整数学描述：导热微分方程导热微分方程+定解条件定解条件高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer导热问题常见的边界条件有三类：导热问题常见的边界条件有三类：1.1.第一类边界条件第一类边界条件:指定边界上指定边界上的温度分布。的温度分布。0 xtw2tw1例：右图中例：右图中最简单：最简单：tw=常数（稳态导热）常数（稳态导热）非稳态导热：非稳态导热：0 0，tw=f1（）高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer2.2.第二类边界条件第二类边界条件:给定边界上的给定边界上的热流密度。热流密度。0 xqw例：右图中例：右图中最简单：最简单：qw=常数（稳态导热）常数（稳态导热）非稳态导热：非稳态导热：0 0，qw=f2（）高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer3.3.第三类边界条件第三类边界条件:给定边界面与流体间的换热系数给定边界面与流体间的换热系数和流体的温度，也称为对流换热边界。和流体的温度，也称为对流换热边界。0 xhqwtf傅里叶定律：傅里叶定律：牛顿冷却定律：牛顿冷却定律：例：右图中例：右图中高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer其他边界条件其他边界条件处理复杂实际工程问题处理复杂实际工程问题（1 1）辐射边界条件：导热物体表面与温度为辐射边界条件：导热物体表面与温度为Tc的的外界环境只发生辐射换热。外界环境只发生辐射换热。（2 2）界面连续条件）界面连续条件:发生在不均匀材料中的导热发生在不均匀材料中的导热问题，材料接触良好，则满足界面一和界面二上问题，材料接触良好，则满足界面一和界面二上温度和热流密度连续的条件。温度和热流密度连续的条件。高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer课下作业：列出下列问题的的数学描述：课下作业：列出下列问题的的数学描述：1.一块厚度为一块厚度为d d 的平板，两侧的温度分别为的平板，两侧的温度分别为tw1和和tw2。（。（1）导热系数为常数；（）导热系数为常数；（2）导热系数是温度）导热系数是温度的函数。的函数。2.一块厚度为一块厚度为d d 的平板，平板内有均匀的内热源，的平板，平板内有均匀的内热源，热源强度为热源强度为 ，平板一侧温度为，平板一侧温度为tw1，平板另一侧，平板另一侧绝热。绝热。3.一块厚度为一块厚度为d d 的平板，平板内有均匀的内热源，的平板，平板内有均匀的内热源，热源强度为热源强度为 ，平板一侧绝热，平板另一侧与温，平板一侧绝热，平板另一侧与温度为度为tf 的流体对流换热，且表面传热系数为的流体对流换热，且表面传热系数为h。高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer4.已知一单层圆筒壁的内、外半径分别为已知一单层圆筒壁的内、外半径分别为 r1、r2，导热系数导热系数 为常量，无内热源，内、外壁面维持均匀为常量，无内热源，内、外壁面维持均匀恒定的温度恒定的温度tw1，tw2。rtw2r1r2tw1高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer2-3 2-3 一维一维稳态导热稳态导热稳态导热稳态导热通过平壁的导热通过平壁的导热,直角坐标系中的一维问题。直角坐标系中的一维问题。通过圆筒壁的导热通过圆筒壁的导热,圆柱坐标系中的一维问题。圆柱坐标系中的一维问题。通过球壳的导热通过球壳的导热,球坐标系中的一维问题。球坐标系中的一维问题。温度不随时间而变化。温度不随时间而变化。高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer一、通过平壁的导热一、通过平壁的导热 平壁的长度和宽度都远大于平壁的长度和宽度都远大于其厚度，且平板两侧保持均匀边其厚度，且平板两侧保持均匀边界条件，则该问题就可以归纳为界条件，则该问题就可以归纳为直角坐标系中的一维导热问题。直角坐标系中的一维导热问题。0 x 本章只讨论稳态的情况，平本章只讨论稳态的情况，平壁两侧的边界条件有给定温度、壁两侧的边界条件有给定温度、给定热流及对流边界等情况，此给定热流及对流边界等情况，此外还有平壁材料的导热系数是否外还有平壁材料的导热系数是否是常数，是否有内热源存在等区是常数，是否有内热源存在等区分。下面分别介绍。分。下面分别介绍。高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer1.1.无内热源，无内热源，为常数，两侧均为第一类边界为常数，两侧均为第一类边界数学描述数学描述:对微分方程直接积分两次，得微分方程的通解对微分方程直接积分两次，得微分方程的通解0 xt2t1高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer利用两个边界条件利用两个边界条件将将两两个个积积分分常常数数代代入入原原通通解解，可可得平壁内的温度分布如下得平壁内的温度分布如下t2t10 xt线性分布线性分布高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer利用傅立叶导热定律可得通过平壁的热流量利用傅立叶导热定律可得通过平壁的热流量高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer0 0、b b为常数为常数2.2.无内热源，变导热系数，两侧均为第一类边界无内热源，变导热系数，两侧均为第一类边界数学描述数学描述:t2t10 xt若导热系数随温度线性变化若导热系数随温度线性变化高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer则导热微分方程变为则导热微分方程变为对对x积分一次得积分一次得对对x再次再次积分得微分方程的通解积分得微分方程的通解利用边界条件最后得温度分布为利用边界条件最后得温度分布为抛物抛物线形式线形式高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer 其抛物线的凹向取决于系数其抛物线的凹向取决于系数b b 的正负。当的正负。当b0，=0 0(1+(1+bt)，随着，随着t t增大，增大，增大，即高温区的导增大，即高温区的导热系数大于低温区。所以高温区的温度梯度热系数大于低温区。所以高温区的温度梯度d dt/d dx 较小，而形成上凸的温度分布。当较小，而形成上凸的温度分布。当b0b0高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer热流密度计算式为热流密度计算式为:或或式中式中 从中不难看出，从中不难看出，m为平壁两表面温度下的导热系为平壁两表面温度下的导热系数值的算术平均值，亦为平壁两表面温度算术平均数值的算术平均值，亦为平壁两表面温度算术平均值下的导热系数值。值下的导热系数值。t2t10 xt高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer多多层层平平壁壁：由由几几层层导导热热系系数数不不同同材材料料组组成成的的复复合合平壁。平壁。3.3.通过多层平壁的导热，两侧均为第一类边界通过多层平壁的导热，两侧均为第一类边界 对对于于类类似似这这样样的的问问题题，可可采采用用热热阻阻的的概概念念进进行行分分析析。在在稳稳态态、无无内内热热源源的的情情况况下下，通通过过各各层层的的热热流流量量相相等等。热热流流量量也也等等于于总总温温差比上总热阻。差比上总热阻。0 xt12l l1l l2t3t1t2高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer二、通过圆筒壁的导热二、通过圆筒壁的导热 圆筒壁就是圆管的壁面。当管子的壁面相对于圆筒壁就是圆管的壁面。当管子的壁面相对于管长而言非常小，且管子的内外壁面又保持均匀的管长而言非常小，且管子的内外壁面又保持均匀的温度时，通过管壁的导热就是圆柱坐标系上的一维温度时，通过管壁的导热就是圆柱坐标系上的一维导热问题。导热问题。rr2r1 r1 r r2高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer1 1、通过单层圆筒壁的导热、通过单层圆筒壁的导热(无内热源，无内热源，为常数，两为常数，两侧均为第一类边界侧均为第一类边界)数学描述数学描述:积分上面的微分方程两次得到其通积分上面的微分方程两次得到其通解为解为:t1 r1 t2 r r2 高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer利用两个边界条件利用两个边界条件将将两两个个积积分分常常数数代代入入原原通通解解，可可得圆筒壁内的温度分布如下得圆筒壁内的温度分布如下温度分布是一条对数曲线温度分布是一条对数曲线 t1 r1 t2 r r2高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer通过圆筒壁的热流量通过圆筒壁的热流量式中式中为通过圆筒壁导热的热阻为通过圆筒壁导热的热阻高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer2.2.通过多层圆筒壁的导热通过多层圆筒壁的导热 采用热阻的概念进行分析。在采用热阻的概念进行分析。在稳态、无内热源的情况下，通过稳态、无内热源的情况下，通过各层的热流量相等。各层的热流量相等。高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer三、通过球壳的导热三、通过球壳的导热 内、外半径分别为内、外半径分别为r1、r2，球壳材料的导热系数为，球壳材料的导热系数为常数，无内热源，球壳内、外侧壁面分别维持均匀常数，无内热源，球壳内、外侧壁面分别维持均匀恒定的温度恒定的温度t1、t2。数学描述数学描述:高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer温度分布温度分布:热流量热流量:(2-24)高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer2-4 2-4 通过肋片的导热通过肋片的导热高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer2-4 2-4 通过肋片的导热通过肋片的导热 肋片它是指那些从基础表面上伸展出来的固体肋片它是指那些从基础表面上伸展出来的固体表面。肋的主要作用是通过提高面积来提高传热量。表面。肋的主要作用是通过提高面积来提高传热量。高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer一、肋片的分类一、肋片的分类高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer二、主要问题二、主要问题（1 1）通过肋片散热的热流量；）通过肋片散热的热流量；（2 2）肋片上的温度分布。）肋片上的温度分布。高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer三、通过等截面直肋导热的分析和计算三、通过等截面直肋导热的分析和计算h，t高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer 若肋片长度方向的温度不均可以忽略的话，肋片若肋片长度方向的温度不均可以忽略的话，肋片中的温度分布应是二维的。但是，中的温度分布应是二维的。但是，如果肋片的很薄如果肋片的很薄，导热系数很大，肋片厚度方向的温差近似可以忽略，导热系数很大，肋片厚度方向的温差近似可以忽略，则，则，肋片中的温度常仅是高度肋片中的温度常仅是高度x x的函数。的函数。Hx0dx 将将肋肋片片表表面面的的散散热热量量虚虚拟拟为为肋肋片片中中的的内内热热源源（吸吸热热）来来进进行行处处理理，因因此此，该该问问题题最最终终可可简简化化为为一一维维、稳稳态态、含含有有内热源的导热问题。内热源的导热问题。h，t高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat TransferHx0dx导热微分方程导热微分方程内热源强度的确定：内热源强度的确定：设设横横截截面面积积为为Ac，界界面面的的周周长长为为P。对对dx的的微微元元段段进行分析。进行分析。h，t高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer为了数学求解的方便，令为了数学求解的方便，令 导热微分方程相应变成导热微分方程相应变成该导热微分方程的通解为该导热微分方程的通解为 高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer第一个边界条件是第一个边界条件是 在在 x=H 的边界处，有三种情的边界处，有三种情况况Hx0dxh，tH0t0txt0Ht0txtH0t0txt高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer采用第二种情况，顶端绝热采用第二种情况，顶端绝热用两个边界条件，可以得到两个未知的常数用两个边界条件，可以得到两个未知的常数 C1和和 C2,最后，肋片中的温度分布可表示为最后，肋片中的温度分布可表示为 高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer 由肋片散失的全部热流量都必须通过肋的根部，由肋片散失的全部热流量都必须通过肋的根部，在此处应用傅立叶定律，可得在此处应用傅立叶定律，可得h，tx0此时，肋片顶端的温度可表此时，肋片顶端的温度可表示为示为高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer肋肋片片效效率率：肋肋片片的的实实际际散散热热量量 与与假假定定整整个个肋肋片片表表面面都都处处在在肋肋基基温温度度t0时时的的理理想想散散热热量量 0 的比值。的比值。四、肋片效率四、肋片效率Ht0tx0 对对于于等等截截面面直直肋肋片片其其肋肋效效率可表示为率可表示为高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer肋片散热量的工程计算方法：肋片散热量的工程计算方法：（2）计算出理想情况下的散热量）计算出理想情况下的散热量 0=hA(t0-t)（1）由图线或计算公式得到）由图线或计算公式得到 f（3）由式）由式 =f 0 计算出实际散热量计算出实际散热量 高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer例题例题2-5高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer五、肋片的优化五、肋片的优化1 1、最优的肋片型式、最优的肋片型式tHt0tx0 假定表面传热系数假定表面传热系数h保持常保持常数，对流散热的热流密度数，对流散热的热流密度q将沿将沿肋高逐步肋高逐步下降下降，因此，肋基处，因此，肋基处材料的利用率明显高于靠近肋材料的利用率明显高于靠近肋端的部分，最佳的肋片型式就端的部分，最佳的肋片型式就是希望单位重量的肋片材料发是希望单位重量的肋片材料发挥相同的作用，或者说在给定挥相同的作用，或者说在给定的散热量下，使肋的材料消耗的散热量下，使肋的材料消耗量最小。量最小。高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer 理论研究表明肋片的外形是圆弧理论研究表明肋片的外形是圆弧的时候最佳。但实际上，由于制造的时候最佳。但实际上，由于制造工艺的原因，工程上常用简单的工艺的原因，工程上常用简单的三三角形截面直肋角形截面直肋代替代替理论分析理论分析得出的得出的最优肋型最优肋型凹抛物线凹抛物线型直肋。型直肋。2.最小重量的矩形肋（尺寸的优化）最小重量的矩形肋（尺寸的优化）同样是矩形肋片，在总同样是矩形肋片，在总重一定的情况下，可以制作重一定的情况下，可以制作成细长的，也可以是短厚的成细长的，也可以是短厚的形状，其换热量也不一样。形状，其换热量也不一样。高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer对于矩形肋片，其单位长度的重量与肋片的截面对于矩形肋片，其单位长度的重量与肋片的截面面积面积 成正比。成正比。H矩形肋片总散热量的计算公矩形肋片总散热量的计算公式为：式为：当当可得肋片的最佳厚度和高度，可得肋片的最佳厚度和高度，此时肋端的过余温度为此时肋端的过余温度为高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer六、接触热阻六、接触热阻 实实际际固固体体表表面面不不是是理理想想平平整整的的，所所以以两两固固体体表表面面直直接接接接触触的的界界面面容容易易出出现现点点接接触触，或或者者只只是是部部分分的的而而不不是是完完全全的的和和平平整整的的面面接接触触 给给导导热热带带来来额额外外的的热阻。热阻。在在实实验验研研究究与与工工程程应应用用中，消除接触热阻很重要。中，消除接触热阻很重要。填填充充导导热热系系数数大大的的材材料料，如如铜铜、银银、导导热热姆姆（导导热热油油、硅油）等。硅油）等。高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transfer2-5 2-5 多维稳态导热问题多维稳态导热问题 对对于于多多维维的的导导热热问问题题，从从理理论论上上，同同样样可可以以采采用用数数学学分分析析的的解解法法，但但由由于于数数学学上上的的困困难难，分分析析解解法法只只能能限限于于几几何何形形状状和和边边界界条条件件简简单单的的情情况况。更更多多的的多多维维导导热热问问题题需需采采用用数数值值解解法法（在在第第4章章介介绍绍）。对对于于某某些些问问题题，仅仅计计算算两两个个等等温温面面之之间间的的导热量，此时还可采用形状因子法。导热量，此时还可采用形状因子法。一、分析解法一、分析解法略略高鹏高鹏 2010.5 2010.5传热学传热学 Heat Transferp经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe学习总结结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日