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一个等腰三角形的一个内角比另一个内角一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的的2倍少倍少40度，则这个三角形的顶角是多少度，则这个三角形的顶角是多少度？度？如图，如图，ABC的内部有一点的内部有一点P，且，且D、E、F是是P分分别以别以AB、BC、AC为对称轴的对称点。若为对称轴的对称点。若ABC的内角的内角 A=70，B=60，C=50，则，则 ADB BEC CFA=2 2已知：点已知：点O O到到ABCABC的两边所在直线的距的两边所在直线的距离相等，且离相等，且OB=OCOB=OC（1 1）如图）如图1 1，若点，若点O O在在BCBC边上，边上，求证求证：AB=ACAB=AC；（2 2）如图）如图2 2，若点，若点O O在在ABCABC的内部，的内部，求证：求证：AB=ACAB=AC；（3 3）若点）若点O O在在ABCABC的外部，的外部，AB=ACAB=AC成立吗成立吗？请画图表示？请画图表示2.（2009德州）如图，在四边形德州）如图，在四边形ABCD中，中，已知已知AB与与CD不平行，不平行，ABD=ACD，请你添加一个条件：请你添加一个条件：，使得，使得加上这个条件后能够推出加上这个条件后能够推出ADBC且且AB=CD中考链接中考链接 如图如图,等腰梯形等腰梯形ABCDABCD中，中，AB=DC,ADBC,DBC=45AB=DC,ADBC,DBC=45,翻折梯形翻折梯形ABCD,ABCD,使点使点B B重合于重合于D,D,折痕为折痕为EFEF，若，若AD=2AD=2，BC=3BC=3，求，求BEBE的长的长ABDCEF拓展延伸拓展延伸如图如图，ABC中，中，AB=AC，B、C的的平分线交于平分线交于O点，过点，过O点作点作EFBC交交AB、AC于于E、F(2)如图如图，若，若ABAC，其他条件不变，图，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它如果有，分别指出它们在第们在第(1)问中问中EF与与BE、CF间的关系还间的关系还存在吗存在吗?（2010盐城）数学活动课上，老师在黑板盐城）数学活动课上，老师在黑板上画直线上画直线L平行于射线平行于射线AN（如图），让同（如图），让同学们在直线学们在直线L和射线和射线AN上各找一点上各找一点B和和C，使得以使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直为顶点的三角形是等腰直角三角形这样的三角形最多能画角三角形这样的三角形最多能画_个个3如图，正方形如图，正方形ABCD纸片的边长为纸片的边长为8，将其沿将其沿EF折叠，则图中折叠，则图中四个四个三角形的周长之和为三角形的周长之和为_如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB12cm，BC6cm点点E、F分别在分别在AB、CD上，将矩形上，将矩形ABCD沿沿EF折叠，使点折叠，使点A、D分别落在矩形分别落在矩形ABCD外部的点外部的点A1、D1处，则整个阴影部分处，则整个阴影部分图形的周长为（图形的周长为（）A18cm B36cm C40cm D72cm如图如图，ABC中，中，AB=AC，B、C的的平分线交于平分线交于O点，过点，过O点作点作EFBC交交AB、AC于于E、F(1)图中有几个等腰三角形图中有几个等腰三角形?且且EF与与BE、CF之之间有怎样的关系间有怎样的关系如图如图，ABC中，中，AB=AC，B、C的的平分线交于平分线交于O点，过点，过O点作点作EFBC交交AB、AC于于E、F(3)如图如图，若，若ABC中中B的平分线的平分线BO与与三角形外角平分线三角形外角平分线CO交于交于O，过，过O点作点作OEBC交交AB于于E，交，交AC于于F这时图中还这时图中还有等腰三角形吗有等腰三角形吗?EF与与BE、CF关系又如何关系又如何?如图，在如图，在ABC中，中，BAC=90，AB=AC，点点D在在BC上，且上，且BD=BA，点，点E在在BC的延长线的延长线上，且上，且CE=CA。(本题本题12分分)(1)试求试求DAE的度数。的度数。(2)如果把第（如果把第（1）题中）题中“AB=AC”的条件去掉，的条件去掉，其余条件不变，其余条件不变，那么那么DAE的度数会改变吗？试说明理由。的度数会改变吗？试说明理由。如图，在如图，在ABC中，中，BAC=90，AB=AC，点点D在在BC上，且上，且BD=BA，点，点E在在BC的延长线的延长线上，且上，且CE=CA。(本题本题12分分)（3）如如果果把把第第（1）题题中中“BAC=90”的的条条件件改改为为“BAC90”，其其余余条条件件不不变变，那那么么DAE与与BAC有怎样的大小关系？有怎样的大小关系？如图，在梯形如图，在梯形ABCD中，中，ADBC，B，AB14cm，AD18cm，BC21cm，点，点P从点从点A出发，沿边出发，沿边AD向点向点D以以1cm/s的速度移的速度移动，点动，点Q从点从点C出发沿边出发沿边CB向点向点B以以2cm/s的的速度移动，若有一点运动端点时，另一点也随速度移动，若有一点运动端点时，另一点也随之停止。之停止。如果如果P、Q同时出发，能否有四边形同时出发，能否有四边形PQCD成等成等腰梯形？如果存在，求经过几秒后；如果不存腰梯形？如果存在，求经过几秒后；如果不存在，请说明理由。在，请说明理由。如图，梯形如图，梯形ABCD中，中，ADBC，DCBC，将梯形沿对角线将梯形沿对角线BD折叠，点折叠，点A恰好落在恰好落在DC边边上的点上的点A处，若处，若ABC20,则则ABD的度的度数为数为 .第11题图第10题图在等腰梯形在等腰梯形ABCD中，中，ADBC,对角线对角线ACBD于点于点O,AEBC,DFBC,垂足分垂足分别为别为 E,F,AD=4,BC=8,则则AE+EF=A9 B10 C11 D20第11题图第10题图.如图，把如图，把ABC沿沿AB、AC翻折翻折180得到得到ABE、ACD，若，若1：2：3=28：5：3，则，则的度数为的度数为 .（2010德州）德州）电子跳蚤游戏盘是如图所示的电子跳蚤游戏盘是如图所示的ABC，AB=AC=BC=6如果跳蚤开始时在如果跳蚤开始时在BC边的边的P0处，处，BP0=2跳蚤第一步从跳蚤第一步从P0跳到跳到AC边的边的P1（第（第1次落点）次落点）处，且处，且CP1=CP0；第二步从；第二步从P1跳到跳到AB边的边的P2（第（第2次次落点）处，且落点）处，且AP2=AP1；第三步从；第三步从P2跳到跳到BC边的边的P3（第（第3次落点）处，且次落点）处，且BP3=BP2；跳蚤按照上述；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第规则一直跳下去，第n次落点为次落点为Pn（n为正整数），则为正整数），则点点P2009与点与点P2010之之间的距离为间的距离为_23.（2011绍兴）数学课上，李老师出示了如绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目下框中的题目 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况）特殊情况探索结论探索结论当点当点E为为AB的中点时，如图的中点时，如图1，确定线段，确定线段AE与的与的DB大小关系请你直接写出结论：大小关系请你直接写出结论：AE DB（填（填“”，“”或或“=”）中考链接中考链接（3）拓展结论，设计新题）拓展结论，设计新题在等边三角形在等边三角形ABC中，点中，点E在直线在直线AB上，点上，点D在直在直线线BC上，且上，且ED=EC若若ABC的边长为的边长为1，AE=2，求，求CD的长（请你直接写出结果）的长（请你直接写出结果）（2）特例启发，解答題目）特例启发，解答題目解：题目中，解：题目中，AE与与DB的大小关系是：的大小关系是：AE DB（填（填“”，“”或或“=”）理由如下：）理由如下：如图如图2，过点，过点E作作EFBC，交，交AC于点于点F，（请你完，（请你完成以下解答过程）成以下解答过程）如图如图，矩形纸片，矩形纸片ABCD的边长分别为的边长分别为a、b(ab)将纸片任意翻折将纸片任意翻折(如图如图)，折痕为折痕为PQ(点点P在在BC上上)，使顶点，使顶点C落在四边形落在四边形APCD内内的一点的一点C处，处，PC的延长线交直线的延长线交直线AD于点于点M，再，再将纸片的另一部分翻折，使点将纸片的另一部分翻折，使点A落在落在PM上的一上的一点点A处，且处，且AM所在直线与所在直线与PM所在直线重合所在直线重合(如如图图)，折痕为，折痕为MN猜想两折痕猜想两折痕PQ、MN之间的之间的位置关系，并说明理由位置关系，并说明理由1.（1）观察与发现：小明将三角形纸片）观察与发现：小明将三角形纸片ABCD（ABAC）沿过点）沿过点A的直线折叠，使得的直线折叠，使得AC落落在在AB边上，折痕为边上，折痕为AD，展平纸片（如图，展平纸片（如图1）；再次折）；再次折叠该三角形纸片，使点叠该三角形纸片，使点A和点和点D重合，折痕为重合，折痕为EF，展，展平纸片得到平纸片得到AEF(如图如图2),小明认为小明认为AEF是等腰三角是等腰三角形形,你同意吗你同意吗?请说明理由请说明理由.解：解：（1）同意。）同意。如图，设如图，设AD与与EF交于点交于点G。由折叠知，由折叠知，AD平分平分BAC，所以所以BAD=CAD。又由折叠知，又由折叠知，AGE=AGF=90，所以所以AEF=AFE，所以所以AE=AF，即即 AEF为等腰三角形。为等腰三角形。(2)实践与运用实践与运用:将矩形纸片将矩形纸片ABCD沿过点沿过点B的的直线折叠直线折叠,使点使点A落在落在BC边上的点边上的点F处处,折痕折痕为为EF(如图如图3);再沿着过点再沿着过点E的直线折叠的直线折叠,使使点点D落在落在BE上的点上的点D处处,折痕为折痕为EG(如图如图4);再展平纸片再展平纸片(如图如图5),求图求图5中中的大小。的大小。（2）由折叠知，四边形）由折叠知，四边形ABFE是正方形，是正方形，AEB=45，所以，所以，BED=135,又由折叠知又由折叠知,BEG=DEG,所以所以DEG=67.5.从而有从而有=9067.5=22.5.如图，在如图，在34的网格中，有两个正的网格中，有两个正方形涂黑，在选择一个正方形涂黑，方形涂黑，在选择一个正方形涂黑，使三个正方形组成一个轴对称图形使三个正方形组成一个轴对称图形共有的位置有几个？共有的位置有几个？1325476(2004浙江浙江)正三角形给人以正三角形给人以“稳如泰山稳如泰山”的美感，它具有独特的对称性，请你用三种的美感，它具有独特的对称性，请你用三种不同的分割方法，将图中三个正三角形分割不同的分割方法，将图中三个正三角形分割成四个等腰三角形（在图中画出分割线，并成四个等腰三角形（在图中画出分割线，并标出必要的角的度数）。标出必要的角的度数）。已知：等腰已知：等腰ABC的顶角的顶角A=36，你会将等腰，你会将等腰ABC分割成分割成三个三个小等腰三角形吗？小等腰三角形吗？会用几种方法？会用几种方法？思考：已知：等腰思考：已知：等腰ABC的顶角的顶角A=72，你会将等腰，你会将等腰ABC分割成分割成三个三个小等腰三角形吗？小等腰三角形吗？(2008年宁波市中考题年宁波市中考题)（1）如图）如图1中，中，C=90.请用直尺和圆规作一请用直尺和圆规作一条直线，把条直线，把ABC分割成两个等腰三角形分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）（不写作法，但须保留作图痕迹）（第（第21题）题）ABC图图1ABC图图2242484ABC图图310452(2008年宁波市中考题年宁波市中考题)（2）已知内角度数的两个三角形如图）已知内角度数的两个三角形如图2、图、图3所所示请你判断，能否分别画一条直线把它们分示请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数两个等腰三角形顶角的度数（第（第21题）题）ABC图图1ABC图图2242484ABC图图310452（2）图图2能画一条直线分割成两个等腰三角能画一条直线分割成两个等腰三角形，形，分割成的两个等腰三角形的顶角分分割成的两个等腰三角形的顶角分别是别是132和和84图图3不能分割成两个等腰三角形不能分割成两个等腰三角形 3.3.如图，如图，ABC是等腰三角形，不小心，是等腰三角形，不小心，它的一部分被墨水涂染，只留下一条边它的一部分被墨水涂染，只留下一条边BC和一个角和一个角B，想一想，有什么办法可以，想一想，有什么办法可以把原来的等腰三角形把原来的等腰三角形ABC重新画出来？重新画出来？CBDCBDAFE方法一方法一返回返回ABC即为所求作的三角形即为所求作的三角形CBAD方法二方法二返回返回ABC即为所求作的三角形即为所求作的三角形CBAD方法三方法三返回返回ABC即为所求作的三角形即为所求作的三角形已知，如图在等腰已知，如图在等腰ABC中，中，AB=AC，O是底边是底边BC的中点，的中点，ODAB于于D,OEAC于于E.（1 1）OD与与OE有什么数量关系；有什么数量关系；ADCBEOM（2 2）若）若BM是一腰上的高，是一腰上的高，BM与与OD，OE有什么数量关有什么数量关系，系，请说明理由请说明理由.变式：变式：已知，如图（已知，如图（2 2），（），（3 3）在等腰）在等腰ABC中，中，AB=AC，O是直线是直线BC上的任一点（上的任一点（O不与不与B，C重重合），合），ODAB于于D,OEAC于于E，上述关系能，上述关系能成立吗？成立吗？ADCBEOMADCBEOM图图(2)(2)图图(3)(3)BM=OE+ODBM=OE-OD已知等边已知等边ABC和点和点P，设点，设点P到到ABC三边的三边的AB、AC、BC的距离分别是的距离分别是h1，h2，h3，ABC的高为的高为h，请你探，请你探索以下问题：索以下问题：(1)若点若点P在一边在一边BC上（图上（图1），此时），此时h1、h2、h3与与 h之间有怎样的关系之间有怎样的关系 ，(2)若当点若当点P在在ABC内（图内（图2）,此时此时h1、h2、h3与与 h之间有怎样的关系之间有怎样的关系 (3)若点若点P在在ABC外（图外（图3），此时），此时h1、h2、h3与与h之之间有怎样的关系间有怎样的关系 ，请写出你的猜想，并说明理由，请写出你的猜想，并说明理由若点若点P P是等边三角形内（外）任一是等边三角形内（外）任一点，那么点点，那么点P P到三角形三边的距离到三角形三边的距离有什么类似的关系？有什么类似的关系？ABCPDEF
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