资源描述
第一讲等差数列、等比数列【知知识回回顾】1.1.等差数列等差数列(1)(1)通通项公式公式:a:an n=_=a=_=am m+_.+_.(2)(2)等差中等差中项公式公式:2a:2an n=_(nN=_(nN*,n2).,n2).(3)(3)前前n n项和公式和公式:S Sn n=_=_.=_=_.a a1 1+(n-1)d+(n-1)d(n-m)dn-m)da an-1n-1+a+an+1n+1(4)(4)性性质(n,m,n,m,l,k,p,k,p均均为正整数正整数):):若若m+nm+n=l+k+k,则a am m+a+an n=_(=_(反之不一定成立反之不一定成立););特特别地地,当当m+nm+n=2p=2p时,有有a am m+a+an n=_;=_;若若aan n、b bn n 是等差数列是等差数列,则 kakan n+tb+tbn n(k(k、t t是非零是非零常数常数)是等差数列是等差数列;a al+a+ak k2a2ap p等差数列的等差数列的“依次每依次每m m项的和的和”即即S Sm m,S,S2m2m-S-Sm m,S,S3m3m-S-S2m2m,仍仍是等差数列是等差数列.2.2.等比数列等比数列(1)(1)等比数列的通等比数列的通项公式公式:a:an n=_=_.=_=_.(2)(2)等比中等比中项公式公式:a:an n2 2=_(nN=_(nN*,n2).,n2).(3)(3)等比数列的前等比数列的前n n项和公式和公式:S Sn n=_(q=1)_(q=1)，_=_,(q1)._=_,(q1).a a1 1q qn-1n-1a am mq qn-mn-ma an-1n-1a an+1n+1nana1 1(4)(4)性性质(n,m,n,m,l,k,p,k,p均均为正整数正整数):):若若m+nm+n=l+k+k,则a am ma an n=_(=_(反之反之不一定成立不一定成立););特特别地地,当当m+nm+n=2p=2p时,有有a am ma an n=_;=_;当当n n为偶数偶数时,=q(,=q(公比公比););SSm m,S,S2m2m-S-Sm m,S,S3m3m-S-S2m2m,(S(Sm m0)0)成等比数列成等比数列.a ala ak ka ap p2 2【易易错提醒提醒】1.1.忽略条件致忽略条件致误:应用公式用公式a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1时忽略其成立的条忽略其成立的条件件n2,nNn2,nN*.2.2.不能准确掌握数列的不能准确掌握数列的单调性致性致误:等差数列的等差数列的单调性性只取决于公差只取决于公差d d的正的正负,等比数列的等比数列的单调性既要考性既要考虑公公比比q,q,又要考又要考虑首首项.3.3.忽略忽略对公比的公比的讨论致致误:求等比数列的前求等比数列的前n n项和和时,一一定要先定要先讨论公比公比q q是否是否为1,1,然后然后选用相用相应的公式求解的公式求解.4.4.注意注意隐含条件含条件:利用二次函数求利用二次函数求a an n或或S Sn n的最的最值时,易忽易忽略条件略条件nNnN*.【考考题回回访】1.(20161.(2016全国卷全国卷)已知等差数列已知等差数列aan n 前前9 9项的和的和为27,a27,a1010=8,=8,则a a100100=()A.100A.100B.99B.99C.98C.98D.97D.97【解析解析】选选C.C.方法一方法一:由题意可知由题意可知,解得解得a a1 1=-1,d=1,=-1,d=1,所以所以a a100100=-1+99=-1+991=98.1=98.方法二方法二:由等差数列性质可知由等差数列性质可知:S S9 9=9a=9a5 5=27,=27,故故a a5 5=3,=3,而而a a1010=8,=8,因此公差因此公差d=d=1,=1,所以所以a a100100=a=a1010+90d=98.+90d=98.2.(20152.(2015全国卷全国卷)设S Sn n是等差数列是等差数列aan n 的前的前n n项和和,若若a a1 1+a+a3 3+a+a5 5=3,=3,则S S5 5=()A.5A.5B.7B.7C.9C.9D.11D.11【解析解析】选选A.aA.a1 1+a+a3 3+a+a5 5=3a=3a3 3=3=3a a3 3=1,S=1,S5 5=5a=5a3 3=5.=5.3.(20143.(2014全国卷全国卷)等差数列等差数列aan n 的公差的公差为2,2,若若a a2 2,a a4 4,a,a8 8成等比数列成等比数列,则aan n 的前的前n n项和和S Sn n=()A.n(n+1)B.n(n-1)A.n(n+1)B.n(n-1)C.C.D.D.【解析解析】选选A.A.因为因为d=2,ad=2,a2 2,a,a4 4,a,a8 8成等比成等比,所以所以a a4 42 2=a=a2 2a a8 8,即即(a(a2 2+2d)+2d)2 2=a=a2 2(a(a2 2+6d),+6d),解得解得a a2 2=4,a=4,a1 1=2.=2.所以利用等差数所以利用等差数列的求和公式可求得列的求和公式可求得S Sn n=n(n+1).=n(n+1).4.(20164.(2016江江苏高考高考)已知已知aan n 是等差数列是等差数列,S,Sn n是其前是其前n n项和和.若若a a1 1+a+a2 22 2=-3,S=-3,S5 5=10,=10,则a a9 9的的值是是_._.【解析解析】设等差数列的公差为设等差数列的公差为d,d,则由则由S S5 5=10=10得得a a3 3=2,=2,因为因为a a1 1+a a2 22 2=-3,=-3,所以所以(2-2d)+(2-d)(2-2d)+(2-d)2 2=-3,=-3,整理解得整理解得d=3,d=3,所以所以a a9 9=a=a3 3+6d=2+18=20.+6d=2+18=20.答案答案:20205.(20155.(2015全国卷全国卷)数列数列aan n 中中,a,a1 1=2,a=2,an+1n+1=2a=2an n,S,Sn n为aan n 的前的前n n项和和,若若S Sn n=126,=126,则n=_.n=_.【解析解析】因为因为a an+1n+1=2a=2an n,所以数列所以数列aan n 是首项是首项a a1 1=2,=2,公比公比q=2q=2的等比数列的等比数列,由由S Sn n=126,=126,可得可得n=6.n=6.答案答案:6 6热点考向一点考向一等差等差(比比)数列的基本运算数列的基本运算命命题解解读:主要考主要考查利用等差、等比数列的通利用等差、等比数列的通项公式、公式、前前n n项和公式和公式,在在这两种数列中的五个基本量的两种数列中的五个基本量的“知三求知三求二二”运算以及求最运算以及求最值,以以选择题、填空、填空题为主主.【典例典例1 1】(1)(2015(1)(2015全国卷全国卷)已知已知aan n 是公差是公差为1 1的的等差数列等差数列,S Sn n为aan n 的前的前n n项和和,若若S S8 8=4S=4S4 4,则a a1010=(=()A.B.C.10 D.12A.B.C.10 D.12(2)(2016(2)(2016全国卷全国卷)设等比数列等比数列aan n 满足足a a1 1+a+a3 3=10,=10,a a2 2+a+a4 4=5,=5,则a a1 1a a2 2a an n的最大的最大值为_._.【解题导引解题导引】(1)(1)依据等差数列的通项公式及前依据等差数列的通项公式及前n n项和项和公式求解公式求解.(2)(2)先利用等比数列的通项公式构建首项先利用等比数列的通项公式构建首项a a1 1与公式与公式q q的的方程组方程组,求出求出a a1 1,q,q,得到得到aan n 的通项公式的通项公式,再将再将a a1 1a a2 2 a an n表示为表示为n n的函数的函数,进而求最大值进而求最大值.【规范解答规范解答】(1)(1)选选B.B.设等差数列的首项为设等差数列的首项为a a1 1,则则S S8 8=8a=8a1 1+=8a+=8a1 1+28,+28,S S4 4=4a=4a1 1+=4a+=4a1 1+6,+6,因为因为S S8 8=4S=4S4 4,即即8a8a1 1+28=16a+28=16a1 1+24,+24,所以所以a a1 1=,=,则则a a1010=a=a1 1+(10-1)d=+(10-1)d=(2)(2)由于由于aan n 是等比数列是等比数列,设设a an n=a=a1 1q qn-1n-1,其中其中a a1 1是首项是首项,q,q是公比是公比.所以所以a a1 1a a2 2a an n=当当n=3n=3或或4 4时时,取到最小值取到最小值-6,-6,此时此时 取到最大值取到最大值2 26 6.所以所以a a1 1a a2 2a an n的最大值为的最大值为64.64.答案答案:6464【规律方法律方法】等差等差(比比)数列基本运算的解数列基本运算的解题思路思路(1)(1)设基本量基本量a a1 1和公差和公差d(d(公比公比q).q).(2)(2)列、解方程列、解方程组:把条件把条件转化化为关于关于a a1 1和和d(qd(q)的方程的方程(组),),然后求解然后求解,注意整体注意整体计算算,以减少运算量以减少运算量.【题组过关关】1.(20161.(2016吕梁一模梁一模)已知已知S Sn n是公差不是公差不为0 0的等差数列的等差数列aan n 的前的前n n项和和,且且S S1 1,S,S2 2,S,S4 4成等比数列成等比数列,则 等于等于 ()A.4A.4B.6B.6C.8C.8D.10D.10【解析解析】选选C.C.设公差为设公差为d,d,则则S S1 1=a=a1 1,S,S2 2=2a=2a1 1+d,S+d,S4 4=4a=4a1 1+6d,+6d,因为因为S S1 1,S,S2 2,S,S4 4成等比数列成等比数列,所以所以S S2 22 2=S=S1 1S S4 4,即即(2a(2a1 1+d)+d)2 2=a a1 1(4a(4a1 1+6d),+6d),解得解得d=0(d=0(舍去舍去)或或d=2ad=2a1 1,所以所以 2.(20162.(2016邯邯郸一模一模)设aan n 是首是首项为a a1 1,公差公差为-1-1的等的等差数列差数列,S Sn n为其前其前n n项和和,若若S S1 1,S,S2 2,S,S4 4成等比数列成等比数列,则a a1 1=()A.2 B.-2 C.D.-A.2 B.-2 C.D.-【解析解析】选选D.D.因为因为S S1 1,S,S2 2,S,S4 4成等比数列成等比数列,所以所以S S2 22 2=S=S1 1S S4 4,即即(a(a1 1+a+a1 1-1)-1)2 2=a=a1 1 ,解得解得a a1 1=-.=-.3.3.已知数列已知数列aan n 中中,a,a1 1=1,a=1,an n=a=an-1n-1+(n2),+(n2),则数列数列aan n 的前的前9 9项和等于和等于_._.【解析解析】当当n2n2时时,a,an n=a=an-1n-1+且且a a2 2=a=a1 1+,+,所以所以aan n 是是首项为首项为1,1,公差是公差是 的等差数列的等差数列,所以所以S S9 9=9=91+1+=9+18=27.=9+18=27.答案答案:2727【加固加固训练】1.1.等差数列等差数列aan n 的前的前n n项和和S Sn n,若若a a1 1=2,S=2,S3 3=12,=12,则a a6 6=(=()A.8A.8B.10B.10C.12C.12D.14D.14【解析解析】选选C.C.由题意得由题意得,解得解得 所以所以a a6 6=a=a1 1+5d=12.+5d=12.2.(20162.(2016重重庆一模一模)在等差数列在等差数列aan n 中中,a,a1 1=2,a=2,a3 3+a+a5 5=10,=10,则a a7 7=()A.5A.5B.8B.8C.10C.10D.14D.14【解析解析】选选B.B.设公差为设公差为d,d,因为因为a a1 1=2,=2,所以所以a a3 3+a+a5 5=2+2d+2+4d=4+6d=10,=2+2d+2+4d=4+6d=10,解得解得d=1,d=1,所以所以a a7 7=a=a1 1+6d=2+6=8.+6d=2+6=8.3.(20163.(2016唐山二模唐山二模)设x,y,zx,y,z是是实数数,若若9x,12y,15z9x,12y,15z成成等比数列等比数列,且且 成等差数列成等差数列,则 =_.=_.【解析解析】由题意知由题意知 解得解得 从而从而答案答案:热点考向二点考向二等差等差(比比)数列的性数列的性质命命题解解读:主要考主要考查利用性利用性质求解基本量及前求解基本量及前n n项和的和的最最值问题,以以选择题、填空、填空题为主主.【典例典例2 2】(1)(2016(1)(2016长沙一模沙一模)等差数列等差数列aan n 中中,若若a a4 4+a+a6 6+a+a8 8+a+a1010+a+a1212=120,=120,则S S1515的的值为()A.180A.180B.240B.240C.360C.360D.720D.720(2)(2016(2)(2016开封一模开封一模)设等比数列等比数列aan n 的前的前n n项和和为S Sn n,若若S Sm-m-1 1=5,S=5,Sm m=-11,S=-11,Sm+1m+1=21,=21,则m=m=()A.3A.3B.4B.4C.5C.5D.6D.6【解题导引解题导引】(1)(1)利用等差数列的性质及前利用等差数列的性质及前n n项和公式项和公式求解求解.(2)(2)根据等比数列的通项公式和前根据等比数列的通项公式和前n n项和公式项和公式,建立方程建立方程组即可解得组即可解得m m的值的值.【规范解答规范解答】(1)(1)选选C.C.因为数列因为数列aan n 是等差数列是等差数列,所以所以a a4 4+a+a6 6+a+a8 8+a+a1010+a+a1212=5a=5a8 8,又因为又因为a a4 4+a+a6 6+a+a8 8+a+a1010+a+a1212=120,=120,所所以以5a5a8 8=120,S=120,S1515=15a=15a8 8=3=3120=360.120=360.(2)(2)选选C.C.在等比数列中在等比数列中,因为因为S Sm-1m-1=5,S=5,Sm m=-11,S=-11,Sm+1m+1=21,=21,所以所以a am m=S=Sm m-S-Sm-1m-1=-11-5=-16,a=-11-5=-16,am+1m+1=S=Sm+1m+1-S-Sm m=21-(-11)=32,=21-(-11)=32,则公比则公比q=-2,q=-2,因为因为S Sm m=-11,=-11,所以所以 =-11,=-11,又又a am+1m+1=a=a1 1(-2)(-2)m m=32,=32,两式联立解得两式联立解得m=5,am=5,a1 1=-1.=-1.【规律方法律方法】等差、等比数列性等差、等比数列性质问题的求解策略的求解策略(1)(1)解解题关关键:抓住抓住项与与项之之间的关系及的关系及项的序号之的序号之间的的关系关系,从从这些特点入手些特点入手选择恰当的性恰当的性质进行求解行求解.(2)(2)运用函数性运用函数性质:数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数,具有函数的具有函数的一些性一些性质,如如单调性、周期性等性、周期性等,可利用函数的性可利用函数的性质解解题.【题组过关关】1.(20161.(2016太原一模太原一模)在等差数列在等差数列aan n 中中,有有3(a3(a3 3+a+a5 5)+2)+2(a(a7 7+a+a1010+a+a1313)=48,)=48,则此数列的前此数列的前1313项和和为()A.24A.24B.39B.39C.52C.52D.104D.104【解析解析】选选C.C.因为因为3(a3(a3 3+a+a5 5)+2(a)+2(a7 7+a+a1010+a+a1313)=48,)=48,利用等差数列的性质可得利用等差数列的性质可得6a6a4 4+6a+6a1010=48,=48,所以所以a a1 1+a+a1313=a=a4 4+a+a1010=8,=8,所以所以S S1313=52.=52.2.2.设等差数列的公差等差数列的公差为d,d,若数列若数列 为递减数列减数列,则()A.dA.d00B.dB.d00d0D.aD.a1 1d0d0【解析解析】选选D.D.由于数列由于数列 为递减数列为递减数列,得得 再由指数函数性质得再由指数函数性质得a a1 1a an naa1 1a an-1n-1,由等差数列的公差为由等差数列的公差为d d知知,a,an n-a-an-1n-1=d,=d,所以所以a a1 1a an naa1 1a an-1n-1,a,a1 1a an n-a-a1 1a an-1n-10,0,所以所以a a1 1(a(an n-a-an-1n-1)0,)0,即即a a1 1d0.d0,0,所以所以a a2525=.=.所以所以a a1 1a a2 2a a2525a a4848a a4949=(a=(a2525)5 5=9 .=9 .4.(20164.(2016衡阳二模衡阳二模)设等差数列等差数列aan n 的前的前n n项和和为S Sn n,若若-a-a2 0152 015aa1 1-a0,0,且且S S2 0172 01700B.SB.S2 0152 0150,00C.aC.a2 0152 0150,0,且且a a2 0172 01700D.aD.a2 0152 0150,00【解析解析】选选A.A.因为因为-a-a2 0152 015aa1 1-a0,a0,a1 1+a+a2 0172 0170,0,0,S S2 0172 017=0.0,d0,且第且第2 2项、第、第5 5项、第、第1414项分分别是等比数列是等比数列 b bn n 的第的第2 2项、第、第3 3项、第、第4 4项.(1)(1)求数列求数列 a an n,b,bn n 的通的通项公式公式.(2)(2)若数列若数列 c cn n 对任意任意nNnN*,均有均有 =a=an+1n+1成立成立.求求证:=2(n2);:=2(n2);求求c c1 1+c+c2 2+c+c2 0152 015.【解析解析】(1)(1)因为因为a a2 2=1+d,a=1+d,a5 5=1+4d,a=1+4d,a1414=1+13d,=1+13d,所以所以(1+4d)(1+4d)2 2=(1+d)(1+13d),=(1+d)(1+13d),解得解得d=2(d=2(因为因为d0),d0),所以所以a an n=1+(n-1)=1+(n-1)2=2n-1,2=2n-1,又因为又因为b b2 2=a=a2 2=3,a=3,a5 5=b=b3 3=9,=9,所以等比数列所以等比数列 b bn n 的公比的公比q=3,q=3,所以所以b bn n=b=b2 2q qn-2n-2=3=3n-1n-1.(2)(2)因为因为 =a=an+1n+1,所以当所以当n2n2时时,=a,=an n,两式相减两式相减,得得 =a=an+1n+1-a-an n=2(n2).=2(n2).由由得得c cn n=2b=2bn n=2=23 3n-1n-1(n2).(n2).当当n=1n=1时时,=a,=a2 2,所以所以c c1 1=3=3不满足上式不满足上式,所以所以c c1 1+c+c2 2+c+c2 0152 015=3+2=3+23 31 1+2+23 32 2+2+23 32 0142 014=3+=3-3(1-3=3+=3-3(1-320142014)=3)=320152015.
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