二次函数总复习

1.1.自变量的最高次数是自变量的最高次数是自变量的最高次数是自变量的最高次数是2 2。2.2.二次项的系数二次项的系数二次项的系数二次项的系数a0a0。3.3.二次函数解析式必须是整式。二次函数解析式必须是整式。二次函数解析式必须是整式。二次函数解析式必须是整式。注意注意:当二次函当二次函数表示某个实际数表示某个实际问题时问题时,还必须根还必须根据题意确定自变据题意确定自变量的取值范围量的取值范围.二次函数的解析式二次函数的解析式y=axy=ax+bx+c+bx+c(其中其中a,b,ca,b,c是常数，是常数，a0)a0)想一想想一想:函数的函数的自变量自变量x是否可是否可以取任何值呢以取任何值呢?1.1.定义：一般地定义：一般地,形如形如y=ax+bx+c(a,b,cy=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的函数叫做的函数叫做x x的的二次函数二次函数.y=ax+bx+c(a,b,c y=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的几种不同表示的几种不同表示形式形式:(1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(2)y=ax+c(a0,b=0,c0).(2)y=ax+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).(3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).2.2.定义的实质是：定义的实质是：ax+bx+cax+bx+c是整式是整式,自变量自变量x x的最的最高次数是二次高次数是二次,自变量自变量x x的取值范围是全体实数的取值范围是全体实数.思考思考：下列函数中：下列函数中,哪些是二次函数？是二次函数的，哪些是二次函数？是二次函数的，请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项：请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项：是是不是，因为不是整式不是，因为不是整式 下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次函数下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次函数下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次函数下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次函数？巩固一下吧！巩固一下吧！1，函数，函数 （其中（其中a、b、c为常数），为常数），当当a、b、c满足什么条件时，满足什么条件时，（1）它是二次函数；）它是二次函数；（2）它是一次函数；）它是一次函数；（3）它是正比例函数；）它是正比例函数；当当 时，是二次函数；时，是二次函数；当当 时，是一次函数；时，是一次函数；当当 时，是正比例函数；时，是正比例函数；驶向胜利的彼岸驶向胜利的彼岸2，函数，函数 当当m取何值时，取何值时，（1）它是二次函数？）它是二次函数？（2）它是反比例函数？）它是反比例函数？（1）若是二次函数，则）若是二次函数，则 且且当当 时，是二次函数。时，是二次函数。（2）若是反比例函数，则）若是反比例函数，则 且且当当 时，是反比例函数。时，是反比例函数。解析式解析式 使用使用 范围范围一般式一般式已知任意三个点顶点式顶点式已知顶点（h,k)及另一点交点式交点式已知与x轴的两个交点及另一个点y=ax2+bx+cy=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)二次函数的三种解析式二次函数的三种解析式y=ax2y=ax2+k y=a(x h)2y=a(x h)2 +k上下平移上下平移左右平移左右平移上上下下平平移移左左右右平平移移结论结论:一般地一般地,抛物线抛物线 y=a(x-h)2+k与与y=ax2形状相同形状相同,位置不同。位置不同。小结小结：各种形式的二次函数的关系各种形式的二次函数的关系1、一般二次函数一般二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象特点和函数性质的图象特点和函数性质返回主页前进前进(1)是一条抛物线；是一条抛物线；(2)对称轴是对称轴是:x=-(3)顶点坐标是顶点坐标是:(-,)(4)开口方向开口方向:a0时时,开口向上；开口向上；a0时，对称轴左侧时，对称轴左侧(x-)，函数值，函数值y随随x的增大而的增大而增大增大。a0时，对称轴左侧时，对称轴左侧(x-)，函数值，函数值y随随x的增大而的增大而减小减小。（2）a0时，时，ymin=a0)y=a(x-h)2+k(a0)（h h，k k）（h h，k k）直线直线x=hx=h直线直线x=hx=h由由h h和和k k的符号确定的符号确定由由h h和和k k的符号确定的符号确定向上向上向下向下当当x=hx=h时时,最小值为最小值为k.k.当当x=hx=h时时,最大值为最大值为k.k.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而增的增大而增大大.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而减的增大而减小小.根据图形填表：根据图形填表：xy0a0 x0 xy0 (2)c确定抛物线与确定抛物线与y轴的交点位置轴的交点位置:c0 x0(0,c)c=0 xy0(0,0)c0 x=-b2aab=0 xy0 x=-b2aab0=00 (4)确定抛物线与确定抛物线与x轴的交点个数：轴的交点个数：xy0 xy0(x,0)xy、二次函数、二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的图象如图的图象如图 所示，则所示，则a a、b b、c c的符号为（）的符号为（）A A、a0,c0 Ba0,c0 B、a0,c0a0,c0 C C、a0,b0 Da0,b0 D、a0,b0,c0a0,b0,c0,b0,c=0 Ba0,b0,c=0 B、a0,c=0a0,c=0 C C、a0,b0,c0 Da0,b0,c0,b0,b0,b=0,c0,a0,b=0,c0,0 B0 B、a0,c0,a0,c0,b=0,c0,b=0,c0 D0 D、a0,b=0,c0,a0,b=0,c0,0 0 BACooo练习：练习：熟练掌握熟练掌握a，b，c，与抛物线图象的关系与抛物线图象的关系(上正、下负）上正、下负）(左同、右异左同、右异)c c4.4.抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的图象经过原点和的图象经过原点和 二、三、四象限，判断二、三、四象限，判断a a、b b、c c的符号情况：的符号情况：a a 0,b0,b 0,c0,c 0.0.xyo=1999中考中考6.二次函数二次函数y=ax2+bx+c中，如果中，如果a0，b0，c3.已知二次函数的图像如图所示，下列结论：已知二次函数的图像如图所示，下列结论：a+b+c=0 a-b+c0 abc 0 b=2a其中正确的结论的个数是（其中正确的结论的个数是（）A 1个个 B 2个个 C 3个个 D 4个个Dx-110y要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、轴、y轴的轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。交点的位置，注意运用数形结合的思想。5、抛物线的平移法则左加右减，上加下减左加右减，上加下减练习练习二次函数二次函数y=2x2的图象向的图象向 平移平移 个单位可得个单位可得到到y=2x2-3的图象；的图象；二次函数二次函数y=2x2的图象向的图象向 平移平移 个单位可得到个单位可得到y=2(x-3)2的图象。的图象。二次函数二次函数y=2x2的图象先向的图象先向 平移平移 个单位，个单位，再向再向 平移平移 个单位可得到函数个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图的图象。象。下下3右右3左左1上上2引申：引申：y=2(x+3)2-4 y=2(x+1)2+2练习：练习：（3）由二次函数）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以的图象经过如何平移可以得到函数得到函数y=x2-5x+6的图象的图象.y=x2-5x+6 y=x2 1、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c关于关于x轴对称轴对称的抛物线的解析式为的抛物线的解析式为y=-ax2-bx-c2、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c关于关于y轴对称轴对称的抛物线的解析式为的抛物线的解析式为y=ax2-bx+c思考：思考：求抛物线求抛物线Y=X2-2X+3关于关于X轴对称的抛物轴对称的抛物线的解析式，关于线的解析式，关于Y轴的抛物线的解析式轴的抛物线的解析式小结小结二次函数与一元二次方程若抛物线若抛物线y=ax2+bx+c与与x轴有交点轴有交点,则则b2 4ac 0判别式：判别式：b b2 2-4ac-4ac二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）图象图象一元一元二次方程二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a0a0）的根）的根x xy yO O与与x x轴有两个不轴有两个不同的交点同的交点（x x1 1，0 0）（x x2 2，0 0）有两个不同的有两个不同的解解x=xx=x1 1，x=xx=x2 2b b2 2-4ac-4ac0 0 x xy yO O与与x x轴有唯一个轴有唯一个交点交点有两个相等的有两个相等的解解x1=x2=b b2 2-4ac=0-4ac=0 xyO与与x x轴没有轴没有交点交点没有实数根没有实数根b b2 2-4ac-4ac0 0(1)一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为的两个根为x1,x2,则抛物线则抛物线 y=ax2+bx+c与与x轴的交点坐标轴的交点坐标是是(x1,0),(x2,0)图象与轴有两个交点图象与轴有两个交点A（x1，0），），B（x2，0）时时AB=|x2-x1|=(x1+x2)2+4x1x2小结小结（2）抛物线抛物线Y=ax2+bx+c与与X轴的交点坐标轴的交点坐标是是（X1,0)(X2,0)，则一元二次方程，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为的两根为X1,X2X1+X2=-b/a X1X2=c/a例例(1)(1)如果关于如果关于x x的一元二次方程的一元二次方程 x x2 2-2x+m-2x+m=0=0有两个有两个相等的实数根相等的实数根,则则m=m=,此时抛物线此时抛物线 y=xy=x2 2-2x+m2x+m与与x x轴有个交点轴有个交点.(2)(2)已知抛物线已知抛物线 y=xy=x2 2 8x+c 8x+c的顶点在的顶点在 x x轴上轴上,则则c=c=.1116 (3)(3)一元二次方程一元二次方程 3 x3 x2 2+x-10=0+x-10=0的两个根的两个根是是x x1 1=-2,x=-2,x2 2=5/3,=5/3,那么二次函数那么二次函数y=3 y=3 x x2 2+x-10+x-10与与x x轴的交点坐标是轴的交点坐标是.（-2、0）（）（5/3、0）题型分析题型分析:(一一)抛物线与抛物线与x轴、轴、y轴的交点及所构成轴的交点及所构成的面积的面积例例1:填空：填空：(1)抛物线抛物线yx23x2与与y轴的交点坐轴的交点坐标是标是_，与，与x轴的交点坐轴的交点坐标是标是_；(2)抛物线抛物线y2x25x3与与y轴的交轴的交点坐标是点坐标是_，与，与x轴的交轴的交点坐标是点坐标是_(0,2)(1,0)和(2,0)(0,-3)(1,0)和(,0)23前进前进例例2:已知抛物线已知抛物线y=x2-2x-8，（1）求证：该抛物线与）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与）若该抛物线与x轴的两个交点分别为轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为，且它的顶点为P，求，求 ABP的面积。的面积。(1)证明:=22-4 (-8)=360该抛物线与x轴一定有两个交点(2)解:抛物线与x轴相交时 x2-2x-8=0解方程得:x1=4,x2=-2AB=4-(-2)=6而P点坐标是(1,-9)SABC=27xyABP前进前进xyOAxyOBxyOCxyOD 例例3:在同一直角坐在同一直角坐标系中，一次函数系中，一次函数y=ax+c和二次函数和二次函数y=ax2+c的的图象大致象大致为(二二)根据函数性质判定函数图象之间根据函数性质判定函数图象之间的位置关系的位置关系答案答案:B前进前进 例例4、已知二次函数、已知二次函数y=ax2+bx+c的最的最大值是大值是2，图象顶点在直线，图象顶点在直线y=x+1上，并上，并且图象经过点（且图象经过点（3，-6）。求）。求a、b、c。解：解：二次函数的最大值是二次函数的最大值是2 抛物线的顶点纵坐标为抛物线的顶点纵坐标为2又又 抛物线的顶点在直线抛物线的顶点在直线y=x+1上上 当当y=2时，时，x=1 顶点坐标为（顶点坐标为（1，2）设二次函数的解析式为设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又又 图象经过点（图象经过点（3，-6）-6=a(3-1)2+2 a=-2 二次函数的解析式为二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：即：y=-2x2+4x(三三)根据函数性质求函数解析式根据函数性质求函数解析式前进前进 已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。的坐标。（2）设抛物线与）设抛物线与y轴交于轴交于C点，与点，与x轴交于轴交于A、B两点，求两点，求C，A，B的坐标。的坐标。（3）画出函数图象的示意图。）画出函数图象的示意图。（4）求）求MAB的周长及面积。的周长及面积。（5）x在什么范围时，在什么范围时，y随的增大而减小，随的增大而减小，x为何值时，为何值时，y有最大有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，为何值时，y0？1232解解0 xy(3)连线连线画对称轴画对称轴x=-1确定顶点确定顶点(-1,-2)(0,-)确定与坐标轴的交点确定与坐标轴的交点(-3,0)(1,0)3 2ABM1）抛物线抛物线y=x2-2x-5的对称轴方程是的对称轴方程是_，顶点坐标是，顶点坐标是 。2）二次函数二次函数y=x2-2x+m的最小值为的最小值为3，则，则m=_.3）抛物线抛物线y=x2+(m-1)x-7的顶点的横坐标为的顶点的横坐标为2，则则m=_.m=_.4）二次函数二次函数y=x2+x-6的图象与的图象与x轴交点的横坐标是轴交点的横坐标是 。5）开口向下的抛物线开口向下的抛物线 y=(m2-2)x2+2mx+1的对称轴经过点的对称轴经过点 （-1，2）则）则m=_.6）抛物线经过点（抛物线经过点（4，0),（8，0）有最大值为）有最大值为4，则抛物线的顶点，则抛物线的顶点坐标坐标 。7）二次函数二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点为（的图象的最高点为（-1，-3）则）则 b=_,c=_.8）二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)其中其中 a,b,c满足满足 a+b+c=0 和和 9a-3b+c=0，则，则二次函数图象的对称轴方程是二次函数图象的对称轴方程是 。做一做做一做x=1(1(1，-6)-6)4 4-3-3,2-1(6,4)-26X=-1巩固练习巩固练习:1、填空：、填空：（1）二次函数）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标的图象顶点坐标是是_对称轴是对称轴是_。（2）抛物线抛物线y=-2x2+4x与与x轴的交点坐标轴的交点坐标是是_（3）已知函数）已知函数y=x2-x-4，当函数值当函数值y随随x的增大而减小时，的增大而减小时，x的取值范围是的取值范围是_（4）二次函数）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象的图象经过原点，则经过原点，则m=_。12（，-）125 24x=12（0，0）（2，0）x122.2.选择选择(1)抛物线抛物线y=x2-4x+3的对称轴是的对称轴是_.A 直线直线x=1 B直线直线x=-1 C 直线直线x=2 D直线直线x=-2(2)抛物线抛物线y=3x2-1的的_ A 开口向上开口向上,有最高点有最高点 B 开口向上开口向上,有最低点有最低点 C 开口向下开口向下,有最高点有最高点 D 开口向下开口向下,有最低点有最低点(3)若若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点与轴交于点A(2,0),B(4,0),则对称轴是则对称轴是_ A 直线直线x=2 B直线直线x=4 C 直线直线x=3 D直线直线x=-3(4)若若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点与轴交于点A(2,m),B(4,m),则对称轴是则对称轴是_ A 直线直线x=3 B 直线直线x=4 C 直线直线x=-3 D直线直线x=2c cB BCA A12.二次函数二次函数y=4x2mx+5当当x-2时，时，y 随随x的增大而增大，则的增大而增大，则x=1时时y=()3、解答题：、解答题：已知二次函数的图象的顶点坐标为（2，3），且图象过点（3，2）。（1）求此二次函数的解析式；（2）设此二次函数的图象与x轴交于A，B两点，O为坐标原点，求线段OA，OB的长度之和。能力训练能力训练 1、二二次次函数的图象如图所示，则在下列各不等式函数的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是中成立的个数是_1-10 xyabc0 a+b+c b2a+b=0 =b-4ac 02、已知二次函数、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。的图象如图。(1)、当、当x为何值时，为何值时，y随随x的增大而增大的增大而增大;(2)、当、当x为何值时，为何值时，y0,c0时时,图象与图象与x轴交点情况是轴交点情况是()A 无交点无交点 B 只有一个交点只有一个交点 C 有两个交点有两个交点 D不能确定不能确定DC3.如果关于如果关于x的一元二次方程的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相有两个相等的实数根等的实数根,则则m=,此时抛物线此时抛物线 y=x2-2x+m与与x轴有个交点轴有个交点.4.已知抛物线已知抛物线 y=x2 8x+c的顶点在的顶点在 x轴上轴上,则则c=.1116