双曲线演示课

学习内容学习内容 一、双曲线的定义：一、双曲线的定义：1、平平面面内内与与两两个个定定点点F1，F2的的距距离离的的差差的的绝绝对对值值是是常常数数（小小于于|F1F2|）的的点点的的轨轨迹迹叫叫做做双双曲曲线线，这这两两个个定定点点叫叫做做双双曲曲线线的的焦焦点点，两焦点的距离叫焦距。两焦点的距离叫焦距。2、与一个定点的距离和它到一条定直、与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数线的距离的比是常数e（e1）的点的轨迹是的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线叫双双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。是双曲线的离心率。二、双曲线的标准方程：二、双曲线的标准方程：三、三、双曲线的几何性质双曲线的几何性质 方程方程方程方程图形图形图形图形中心中心中心中心(0,0)(0,0)B2B1A2A10yxB B1 1A2A1B2B1yx焦点焦点焦点焦点F F1 1(-C,0)F(-C,0)F2 2(C,0)(C,0)F F1 1(0,-C)(0,-C)F F2 2(0,C)(0,C)顶点顶点顶点顶点（a,0a,0）（0,a0,a）准线准线准线准线渐近线渐近线渐近线渐近线轴长轴长轴长轴长实轴长实轴长实轴长实轴长2a2a，虚轴长虚轴长虚轴长虚轴长2c2c，c c2 2=a=a2 2+b+b2 2离心率离心率离心率离心率焦点到相应焦点到相应焦点到相应焦点到相应准线的距离准线的距离准线的距离准线的距离四、四、近线为近线为 的双曲线方程可的双曲线方程可设为设为 当当 时，焦点在时，焦点在 轴上；轴上；当当 时，焦点在时，焦点在 轴上轴上。五、重要结论五、重要结论 1、F1，F2是双曲线是双曲线 的焦点，的焦点，P是双曲线上的点，且是双曲线上的点，且 则则，2、双曲线过焦点的弦，当弦的两端、双曲线过焦点的弦，当弦的两端 点在双曲线的同一支上时，过焦点在双曲线的同一支上时，过焦 点垂直于实轴的弦最短，当弦的点垂直于实轴的弦最短，当弦的 两端点在双曲线的两支上时，以两端点在双曲线的两支上时，以 实轴长最短。实轴长最短。学习要求学习要求 1、掌握双曲线的定义，标准方程及掌握双曲线的定义，标准方程及 几何性质几何性质。2、学会求双曲线的标准方程以及求学会求双曲线的标准方程以及求 双曲线的焦点，顶点、准线、渐双曲线的焦点，顶点、准线、渐 近线等近线等。学习指导学习指导 1、本讲重点：双曲线的定义，标准方本讲重点：双曲线的定义，标准方 程及几何性质程及几何性质。2、本讲难点：求双曲线的标准方程本讲难点：求双曲线的标准方程。3、剖析：求双曲线的标准方程以及求剖析：求双曲线的标准方程以及求 双曲线的焦点、准线、渐近线首先双曲线的焦点、准线、渐近线首先 要判断焦点在哪个轴上要判断焦点在哪个轴上。典型例题解析典型例题解析 例例1：填空：填空：设双曲线与椭圆设双曲线与椭圆 有相同的焦点，有相同的焦点，曲曲线的方程的方程为_且与此椭圆一个交点的纵坐标为且与此椭圆一个交点的纵坐标为4 4，则这个，则这个双双（2 2）中心在原点，一个焦点是（）中心在原点，一个焦点是（-4-4，0 0），），一条渐近线方程为一条渐近线方程为的双的双 曲线方程为曲线方程为_解：解：椭圆椭圆 已知：双曲已知：双曲线与与椭圆有一个交点有一个交点 的焦点的焦点F F1 1（0 0，-3-3），由），由设双曲线方程为设双曲线方程为，则则，故双曲线方程为：故双曲线方程为：由已知由已知 故双曲线方程为故双曲线方程为（方法一）（方法一）设双曲线方程为设双曲线方程为（方法二）（方法二）故双曲线方程为故双曲线方程为（1 1）求过（）求过（2，-2）点且与双曲线）点且与双曲线 例例2有相同渐近线的双曲线方程。有相同渐近线的双曲线方程。（2）已知双曲线的渐近线方程为已知双曲线的渐近线方程为，焦距为焦距为10，求它的方程。，求它的方程。（3）双曲线中心在原点，坐标轴为对称轴，双曲线中心在原点，坐标轴为对称轴，与圆与圆交于点交于点A（4，-1），），若圆在点若圆在点A的切线与双曲线的一条渐的切线与双曲线的一条渐近线平行，求双曲线方程。近线平行，求双曲线方程。（方法一）（方法一）设双曲线方程为设双曲线方程为（2 2，-2-2）代入得）代入得曲线方程为曲线方程为 将将，故双，故双（方法二）（方法二）由已知渐近线：由已知渐近线：，（2，-2）在在渐近线渐近线双曲线方程为双曲线方程为 下方，设双曲线方程为下方，设双曲线方程为（2）渐近近线方程方程为 ，故可设双，故可设双曲线方程为曲线方程为即即 故双曲线方程为故双曲线方程为 或或（3）点点A A（4 4，-1-1）在在圆 故过点故过点A的切线方程为的切线方程为 上，上，双曲双曲线渐近线方程为线渐近线方程为，故设双曲线方程，故设双曲线方程将（将（4，-1）代入）代入得得为为故双曲线方程为故双曲线方程为 已知双曲线已知双曲线 的离心率的离心率 例例3左右焦点分别为左右焦点分别为F1，F2，左准线为左准线为l，能否在能否在双曲线左支上找到一点双曲线左支上找到一点P P，使使|PF|PF1 1|是是P P到到l的距的距离离d与与|PF|PF2 2|的比例中项。的比例中项。解：假设在双曲线左支上存在上点解：假设在双曲线左支上存在上点P(x0,y0)，满足条件，即满足条件，即 与与矛盾矛盾 故不存在满足条件的故不存在满足条件的P dPF2F10yx例例4：给定椭圆：给定椭圆 圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，求出相交点为顶点的四边形面积最大，求出相应四边形各顶点的坐标。应四边形各顶点的坐标。,求和这椭求和这椭解：已知椭圆为解：已知椭圆为解：已知椭圆为解：已知椭圆为 ，焦点，焦点，焦点，焦点F F1 1(0 0，2 2),),),),F F2 2(0 0，-2)-2)，设双曲线方程为设双曲线方程为设双曲线方程为设双曲线方程为 由椭圆和双曲线关于坐标由椭圆和双曲线关于坐标由椭圆和双曲线关于坐标由椭圆和双曲线关于坐标 轴的对称性知：以它们的交点构成的四边形为矩形，轴的对称性知：以它们的交点构成的四边形为矩形，轴的对称性知：以它们的交点构成的四边形为矩形，轴的对称性知：以它们的交点构成的四边形为矩形，其面积其面积其面积其面积,由由由由 当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当 ,即即即即 a a2 2=2=2时等号成立，时等号成立，时等号成立，时等号成立，双曲线方程为双曲线方程为双曲线方程为双曲线方程为 四边形四个顶点的坐标是四边形四个顶点的坐标是四边形四个顶点的坐标是四边形四个顶点的坐标是