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2.2 直接证明与直接证明与间接证明间接证明2.2.2 反反 证证 法法民勤一中民勤一中 李志清李志清1.1.直接证明的两种基本证法：直接证明的两种基本证法：综合法和分析法综合法和分析法2.2.这两种基本证法的推证过程和特点：这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果由因导果执果索因执果索因3 3、在实际解题时，两种方法如何运用？、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用通常用分析法分析法寻求思路，再由寻求思路，再由综合法综合法书写过程书写过程综合法综合法已知条件已知条件结论结论分析法分析法结论结论 已知条件已知条件 一、复习回顾一、复习回顾小故事:中国古代有一个叫中国古代有一个叫路边苦李路边苦李的故事的故事:王戎王戎7 7岁时岁时,与小伙伴们外出游玩与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上看到路边的李树上结满了果子结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王只有王戎站在原地不动戎站在原地不动.有人问王戎为什么有人问王戎为什么?王戎回答说王戎回答说:“树在道边而多子树在道边而多子,此必苦李此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的王戎是怎样知道李子是苦的?他运用了怎样的推理方法他运用了怎样的推理方法?假设假设“李子甜李子甜”树在道边则李子少树在道边则李子少与已知条件与已知条件“树在道边而多子树在道边而多子”产生矛产生矛盾盾假设假设“李子甜李子甜”不成不成立立所以所以“树在道边而多子树在道边而多子,此必为苦李此必为苦李”是正确的是正确的王戎王戎推理方法是推理方法是:二、引入思考？二、引入思考？二、引入思考？二、引入思考？A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C说说A A、B B都撒谎。则都撒谎。则C C必定是在撒谎，为必定是在撒谎，为什么？什么？分析分析:假设假设C C没有撒谎没有撒谎,则则C C真真.那么那么A A假且假且B B假假;由由A A假假,知知B B真真.这与这与B B假矛盾假矛盾.那么假设那么假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立;则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎.把这种不是直接从原命题的条件逐步推把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为得命题成立的证明方法称为间接证明间接证明注：反证法注：反证法是最常见的是最常见的间接证法间接证法 一般地，假设原命题不成立（即假设在原命题的一般地，假设原命题不成立（即假设在原命题的条件下，结论不成立），条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，立，这种证明方法叫做这种证明方法叫做反证法。反证法。三、基本概念三、基本概念反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反反证法的证明步骤：反证法的证明步骤：假设假设假设命题的结论不成立，即假设命题结论的否定成立；假设命题的结论不成立，即假设命题结论的否定成立；下结论下结论由矛盾结果，断定假设不成立，从而肯定原命题的由矛盾结果，断定假设不成立，从而肯定原命题的 结论成立。结论成立。找矛盾找矛盾从假设出发，经过一系列正确的逻辑推理，推出从假设出发，经过一系列正确的逻辑推理，推出矛矛 盾盾（与已知矛盾，与已知定义，公理，定理事实等矛（与已知矛盾，与已知定义，公理，定理事实等矛 盾，与出现的临时假设矛盾，在证明过程中出现自相矛盾，与出现的临时假设矛盾，在证明过程中出现自相矛 盾等等），盾等等），从而否定假设；从而否定假设；简单记为：简单记为：否定结论否定结论推出矛盾推出矛盾肯定结论，肯定结论，（其中推出矛盾是反证法证明的关键。）（其中推出矛盾是反证法证明的关键。）反证法是制造矛盾的专家。反证法是制造矛盾的专家。例例1.1.求证：在个三角形中，至少有一个内角不小于求证：在个三角形中，至少有一个内角不小于60注：注：结论中含结论中含“至多、至少至多、至少”形式出现；形式出现；直接证明难以下直接证明难以下手的命题手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考。，改变其思维方向，从进行反面思考。四、例题选讲四、例题选讲分析：从条件出发很难入手去证，可以考虑从反面入手证明：假设三角开有三个内角证明：假设三角开有三个内角A、B、C都小于都小于60 则有则有A+B+C 180，这与三角形内角和等于这与三角形内角和等于180相矛盾。相矛盾。所以假设不成立，所以假设不成立，所以原结论成立，即在个三角形中，至少有一个内角不所以原结论成立，即在个三角形中，至少有一个内角不小于小于60例例2 2.已知已知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有一个根。有且只有一个根。证：由于证：由于a 0a 0，因此方程至少有一个根，因此方程至少有一个根x=b/ax=b/a，注注:结论中的有且只有结论中的有且只有(有且仅有有且仅有)形式出现形式出现,是是唯一性问题唯一性问题,常用反证法常用反证法 如果方程不只一个根，不妨设如果方程不只一个根，不妨设x x1 1,x,x2 2 （x x1 1 x x2 2)是是方程的两个根方程的两个根.四、例题选讲四、例题选讲例例3.设设0 a,b,c ,(1 b)c ,(1 c)a ,则三式相乘：则三式相乘：(1 a)b(1 b)c(1 c)a 又又0 a,b,c）小于小于()是是都是都是都不都不是是否定否定正面正面词语词语至多有至多有一个一个至少有至少有一个一个任意的任意的所有的所有的至多有至多有n个个任意任意两个两个否定否定不等于不等于不大于不大于（小于或（小于或等于等于)（）不小于不小于（大于或（大于或等于）等于）（）不是不是不都是不都是至少有至少有两个两个一个也一个也没有没有某个某个某些某些至少有至少有n1个个某两个某两个至少有至少有一个是一个是求证求证:在同一平面内在同一平面内,如果两条直线都和第三条直如果两条直线都和第三条直线平行线平行,那么这两条直线也互相平行那么这两条直线也互相平行.(1)(1)你首先会选择哪一种证明方法你首先会选择哪一种证明方法?(2)(2)如果选择反证法如果选择反证法,先怎样假设先怎样假设?结果和什么产生矛盾结果和什么产生矛盾?定理（平行线传递性）定理（平行线传递性）已知已知:如图，如图，l1l2,l 2 l 3求证：求证：ll lllll,ll,则过点则过点p就有两条直线就有两条直线l、l都与都与l平行，这与平行，这与“经过直线外一点，有经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线且只有一条直线平行于已知直线”矛盾矛盾证明：假设证明：假设l不平行不平行l，则，则l与与l相交相交,设交点为设交点为p.p所以所以假设假设不成立，所求证的结论成立，不成立，所求证的结论成立，即即 ll 五五.课堂练习：课堂练习：2、证明：在、证明：在ABC中，若中，若C是直角，则是直角，则B一定是一定是 锐角。锐角。证明：假设证明：假设B不是锐角，则不是锐角，则B 90，又因为又因为A0，C=90所以所以A+B+C 180，这与三角形内角和等于这与三角形内角和等于180相矛盾。相矛盾。所以假设不成立，所以假设不成立，B一定是锐角。一定是锐角。五五.课堂练习：课堂练习：六六.课堂小结课堂小结与已知条件矛盾；与已知条件矛盾；与假设矛盾。与假设矛盾。与已有公理、定理、定义矛盾。与已有公理、定理、定义矛盾。1 1、基本概念：、基本概念：间接证明；间接证明；反证法反证法2 2、反证法的证明步骤：、反证法的证明步骤：否定结论否定结论推出矛盾推出矛盾肯定结论，肯定结论，（1）直接证明有困难）直接证明有困难（3）否定性命题）否定性命题（2）唯一性命题）唯一性命题（4）至多，至少型命题）至多，至少型命题3 3、常见适用反证法的命题：常见适用反证法的命题：
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