指数函数及其性质

在印度有一个古老的传说：舍罕王 打算奖赏国际象棋的发明人-宰相 西萨班达依尔。国王问他想要什么，他对国王说：陛下，请您在这棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧!国王觉得这要求太容易满足了，命令给他这些麦粒。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求。1.棋盘上的麦粒棋盘上的麦粒总数为：=18446744073709551615(粒)，1000粒约40克麦粒有7000多亿吨（现每年全球的小麦总量约6.5亿吨）2024/5/311 1现在假设棋盘上第一格给现在假设棋盘上第一格给2 2粒麦子，第二格给粒麦子，第二格给4 4粒，第三格给粒，第三格给8 8粒粒，到第到第 格时，格时，请写出请写出给给的麦子粒数的麦子粒数 与格子数与格子数 的关系式。的关系式。交流探讨、形成概念交流探讨、形成概念 麦子粒数麦子粒数2024/5/322.庄子庄子 天下篇天下篇庄 子2024/5/33问题2：庄子：庄子.逍遥游记载：一尺之椎，逍遥游记载：一尺之椎，日取其半，万世不竭日取其半，万世不竭.意思是一尺长的木棒，一天截取一半，很长意思是一尺长的木棒，一天截取一半，很长时间也截取不完时间也截取不完.这样的一个木棒截取这样的一个木棒截取 x 次，剩余长度次，剩余长度y与与x的关系是的关系是?2024/5/34.一一尺尺之之木木 日日取取其其半半第第1 1次后次后第第2 2次后次后第第3 3次后次后第第4 4次后次后第第x x次后次后12024/5/352.2.庄子庄子天下篇中写道：天下篇中写道：“一尺之棰，日取其半万一尺之棰，日取其半万世不竭世不竭”.请你写出截取次后，木棰的剩留量与截取请你写出截取次后，木棰的剩留量与截取次数的关系式次数的关系式 1 1现在假设棋盘上第一格给现在假设棋盘上第一格给2 2粒麦子，第二格给粒麦子，第二格给4 4粒，第粒，第三格给三格给8 8粒粒，到第，到第 格时，格时，请写出请写出给的麦子粒数给的麦子粒数 与格子数与格子数 的关系式。的关系式。交流探讨、形成概念交流探讨、形成概念 木棰剩余量木棰剩余量麦子粒数麦子粒数2024/5/36 从前面我们的两个实例抽象得到的两个式子：思考：思考：1 1、这两个是函数吗？这两个是函数吗？2 2、如果是，这两个如果是，这两个如果是，这两个如果是，这两个函数函数有什么特点有什么特点?底数为实数底数为实数指数都含有x我我们们是是幂幂的的形形式式2024/5/372.1.2 指数函数及其性质2024/5/38指数函数的定义：形如形如y=(a 0，且且a 1)的函数叫做的函数叫做指数函数，其中指数函数，其中x是自变量是自变量.为何规定为何规定a 0，且，且a 1?函数的定义域是函数的定义域是R2024/5/39l 当当a a 0 0时，时，a ax x 对对有些数会没有意义，如有些数会没有意义，如(-2),0 (-2),0 等都没有意义；等都没有意义；l而当而当a a=1=1时，函数值时，函数值y y恒等于恒等于1 1，没有研究的必要，没有研究的必要.记住：在y=中a一定大于零！为何规定为何规定a 0，且，且a 1?01a为了避免上述各种情况，所以规定a0且a1。2024/5/310指数函数的特征：指数函数的特征：【提示提示】依据指数函数依据指数函数yax(a0且且a1)解析式的解析式的结构特征：构特征：底数：大于零且不等于底数：大于零且不等于1的常数；的常数；指数：自指数：自变量量x；系数：系数：1；只有一只有一项ax.说明明2024/5/311例、指出下面哪个函数是指数函数：例、指出下面哪个函数是指数函数：是否否是(1)当k=1时，是；(2)当k1时，否。思考：思考：2024/5/312反思：v指数函数的解析式指数函数的解析式 y=y=中，中，的系数是的系数是1.1.v有些函数貌似指数函数，实际上却不是，有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如如:(a0 (a0 且且 a a1 1，k kZ)Z)；v有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如如:因为它可以化为因为它可以化为 2024/5/313解：(1)，(5)，(6)为指数函数而(2)中底数x不是常数，而4不是变数；(3)是1与指数函数4x的乘积；(4)中底数41时，的大致图像如下图：xy0y=1y=ax(a1)(0,1)2024/5/320 x-3-2-10123y=2-x84211/21/41/8y=3-x 279311/31/91/27 XOYY=12024/5/321y0(0a1)xy=1 y=ax(0,1)当0a1 a1 0a1 0a0,且a1)的图象经过点（3，），求f(0)，f(1)，f(-3)的值.解：解：f f(x x)=)=a ax x的图象过点的图象过点(3(3，)2024/5/3242 函 数 y ax 3 3(a0且 a1)的 图 象 恒 过 定 点_(3,4)全优（一）变式训练全优（一）基础夯实-22024/5/325练习：课本58页练习2解：(1)由x40，得x4，函数的定义域为xR|x4故函数的值域为y|y0且y1全优（一）典例剖析2024/5/326全优（一）典例剖析(2)定义域为R.|x|0，全优（一）基础夯实A2024/5/327全优（一）限时规范训练A2024/5/328全优（一）能力提高2024/5/329XOYY=1y=3Xy=2 x观察右边图象，回答问题：观察右边图象，回答问题：问：从图形的对称性上问：从图形的对称性上看，右边函数图像有什么看，右边函数图像有什么对称特征？对称特征？指数函数指数函数 与与 的图像的图像关于关于y轴对称；轴对称；2024/5/330当当a1时，时，的图象的图象随着随着a由小变大会有什么样由小变大会有什么样的变化？的变化？XOYY=1y=3Xy=2 x当当0a1时，时，的图象随着的图象随着a由小变大由小变大会有越靠近会有越靠近y轴；轴；当当0a1，y=1.7x在R上是增函数,2.53，1.72.51.73,即：1.72.51.73.2024/5/334 解：（2）0.8-0.1、0.8-0.2可以看作函数y=0.8x的两个函数值.底数00.8-0.2，0.8-0.10.8-0.2,即：0.8-0.11.70=1，0.93.110.93.1,即：1.70.310.93.1.2024/5/336小结：比较指数大小的方法：小结：比较指数大小的方法：、构造函数法：要点是利用函数的单调性，、构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同底不同指（包括可以化为同底的）数的特征是同底不同指（包括可以化为同底的），若底数是参变量要注意分类讨论。，若底数是参变量要注意分类讨论。、中间媒介法：用别的数如为媒介（如、中间媒介法：用别的数如为媒介（如1 1等）。等）。数的特征是不同底不同指。数的特征是不同底不同指。课本59页习题A7,8 2024/5/337【例1】比较下列各题中两个值的大小：(1)3与33.14；(2)0.991.01与0.991.11；解：(1)构造函数y3x.a31，y3x在(，)上是增函数3.14，333.14.全优（二）典例剖析(2)构造函数y0.99x.0a0.991.11，0.991.010.991.11.2024/5/3381比较大小：(3)43与0.1253；(4)0.80.7与1.20.8.全优（二）变式训练解：(3)4326，而2629，430，0.80.70.80，即0.80.70.1.20.81.20，即1.20.81，0.80.71.20.8.2024/5/3392(1)已知3x30.5，求实数x的取值范围；(2)已知0.2x1，所以指数函数f(x)3x在R上是增函数由3x30.5，可得x0.5，即x的取值范围为0.5，)(2)因为00.21，所以指数函数f(x)0.2x在R上是减函数所以0.2x2，即x的取值范围为(2，)全优（二）变式训练2024/5/340【例2】如果a2x1ax5(a0且a1)，求x的取值范围全优（二）典例剖析解：(1)当0a1时，由于a2x1ax5，2x1x5，解得x6.综上所述，当0a1时，x的取值范围是x|x62024/5/341 例8.截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿.1999年底，我国人口约为13亿；经过1年（即2000年），人口数为13+131%=13(1+1%)（亿）；2024/5/342经过2年（即2001年），人口数为13(1+1%)+13(1+1%)1%=13(1+1%)2（亿）；经过3年（即2002年），人口数为13(1+1%)2+13(1+1%)21%=13(1+1%)3（亿）；2024/5/343所以，经过x年，人口数为y=13(1+1%)x=131.01x（亿）.当x=20时，y=131.012016（亿）.所以，经过20年后，我国人口数最多为16亿.课本58页练习 3课本60页习题B22024/5/3443 3若函数若函数f f(x x)e e(x xu u)2的最大的最大值为值为m m，且，且f f(x x)是偶函是偶函数，则数，则m mu u_._.全优（二）限时规范训练1解析：f(x)f(x)，e(xu)2e(xu)2，(xu)2(xu)2，u0，f(x)ex2.x20，x20，0ex21，m1，mu101.2024/5/345