勾股定理的逆定理张誉

17.2 勾股定理的逆定理（1 1）在）在RtABCRtABC，C=90C=90，a=8a=8，b=15b=15，则，则c=c=.（2 2）在）在RtABCRtABC，B=90B=90，a=3a=3，b=4b=4，则，则c=c=.（3 3）如图，两个正方形的面积分别是）如图，两个正方形的面积分别是64,4964,49，则，则ACAC的长为的长为 .1717c为斜边b为斜边为斜边7882、什么叫命题？命题由几部分组成？命题的种类有几种？命题的一般形式如何？命题：“两直线平行,内错角相等.”题设是：题设是：，结论是：结论是：.内错角相等两直线平行内错角相等,两直线平行.这个命题的逆命题：互逆命题的题设和结论反过来.互逆命题互逆命题:两个命题中两个命题中,如果第一个命题的题设是如果第一个命题的题设是第二个命题的结论第二个命题的结论,而第一个命题的结论而第一个命题的结论又是第二个命题的题设又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫那么这两个命题叫做做互逆命题互逆命题.如果把其中一个叫做如果把其中一个叫做原命题原命题,那么另一那么另一个叫做它的个叫做它的逆命题逆命题.(1)两条直线平行，内错角相等(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等(3)全等三角形的对应角相等(4)角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.说出下列命题的逆命题并这些命题的真假性.逆命题:内错角相等，两条直线平行.逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.逆命题:三个角对应相等的两个三角形是全等三角形.逆命题:角平分线上的点到角两边的距离相等.感悟:一个一个命题命题是真命题是真命题,它逆命题却它逆命题却不一定不一定是真命题是真命题.真命题假命题假命题真命题古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形你能说说这种做法的原理吗？你能说说这种做法的原理吗？古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角三角形.你们自己验证一下你们自己验证一下下面的三组数分别是一个三角形的三下面的三组数分别是一个三角形的三 边长边长a，b，c 13，12，5；6，8，10；2，3，4.（1）这三组数都满足吗？（2）它们都是直角三角形吗？实践证明：一个三角形的两条小的边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.证明：作证明：作 使=90,在ABC和 ABC C=cABbCaab已知：在已知：在ABC中，中，AB=c，BC=a，CA=b，并，并且且 .（如图）求证：（如图）求证：C=90则有则有中，=90 证明证明勾股定理的逆命题 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为斜边为c，那么，那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2.勾股定理 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c满足满足那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.且边且边C所对所对的角为直角的角为直角.a a2 2+b+b2 2=c=c2 2互逆命题逆定理逆定理定理与逆定理定理与逆定理我们已经学习了一些互逆的定理,如:勾股定理及其逆定理,两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.w想一想:w互逆命题与互逆定理有何关系?它们的题设和结论反过来.w如果一个定理定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理定理,这两个定理称为互逆定理互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理逆定理.例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a15,b 8,c17例题解析例题解析(2)a13,b 15,c14分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方.解：1528222564289,172289,15282172.这个三角形是直角三角形.像像15,8,17,能能够成为直角三角够成为直角三角形三条边长的三形三条边长的三个正整数，称为个正整数，称为勾股数勾股数.解：132142169196365,152225,132142152.根据勾股定理，这个三角形是直角三角形.例题讲解例题讲解例例1某港口某港口P位于东西方向的海岸线上位于东西方向的海岸线上“远航远航”号、号、“海天海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，航行，“远航远航”号每小时航行号每小时航行16 n mile，“海天海天”号每号每小时航行小时航行12 n mile它们离开港口一个半小时后分别位它们离开港口一个半小时后分别位于点于点Q，R处，且相距处，且相距30 n mile 如果知道如果知道“远航远航”号沿东北方号沿东北方向航行，能知道向航行，能知道“海海天天”号沿哪个方向航号沿哪个方向航行吗行吗？R S Q P E N R S Q P E N 例例2 2：在很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距：在很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的离的1313个结，然后用桩钉个结，然后用桩钉(如图那样如图那样)钉成一个三角形，钉成一个三角形，你知道你知道 这个三角形是什么形状吗？并说明理由这个三角形是什么形状吗？并说明理由.【解析解析】这个三角形是这个三角形是直角三角直角三角形形.理由理由:设两个结的距离为设两个结的距离为a,a,则三边则三边长分别为长分别为3a,4a,5a.3a,4a,5a.观察下列表格：观察下列表格：列列举猜想猜想3 3、4 4、5 53 32 2=4+5=4+55 5、1212、13135 52 2=12+13=12+137 7、2424、25257 72 2=24+25=24+251313、b b、c c13132 2=b+c=b+c能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数勾股数请你结合该表格及相关知识，求出请你结合该表格及相关知识，求出b b、c c的值的值.即即b=b=_，c=c=848485851、下列各组线段中，能够围成直角三角形的是 （）A、1、2、3 B、15、20、25 C、4、5、6 D、18、9、102、下列各组线段中，不能够围成直角三角形是 （）A、9、12、15 B、8、15、17 C、7、24、25 D、6、8、9BDCA、锐角三角形、锐角三角形 B、钝角三角形、钝角三角形C、直角三角形、直角三角形 D、等边三角形、等边三角形3.CA、锐角三角形、锐角三角形 B、钝角三角形、钝角三角形C、直角三角形、直角三角形 D、等边三角形、等边三角形4.CA、锐角三角形、锐角三角形 B、钝角三角形、钝角三角形C、直角三角形、直角三角形 D、等边三角形、等边三角形5.解：（3）12（）2134，224，12（）222.这个三角形是直角三角形.a=1，b=2，c=；a：b：c=3:4:5.6.判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：（4）设a=3x,b=4x,c=5x,则 （3x）2（4x）225x2，(5x)2 25x2，（3x）2（4x）2 (5x)2.这个三角形是直角三角形.7.7.如果如果ABCABC的三边长分别为的三边长分别为a a，b b，c c且满且满足足a a2 2b b2 2c c2 250506 6a a8 8b b1010c c，判定，判定ABCABC的形状的形状.这个三角形是直角三角形这个三角形是直角三角形 通过本课时的学习，需要我们通过本课时的学习，需要我们1.1.了解勾股定理的逆定理，并理解其证明方法了解勾股定理的逆定理，并理解其证明方法.2.2.会利用勾股定理的逆定理，判定直角三角形会利用勾股定理的逆定理，判定直角三角形.3.3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.