几何直观的理解和培养

聪聪“美丽的数学彩虹桥美丽的数学彩虹桥”几何直观几何直观 忻城县教研室忻城县教研室 林林 芳芳2014.4几何直观几何直观是标准（2011年版）中新增的核心概念。在学生学习数学过程中，几何直观是在学生学习数学过程中，几何直观是非常重要的概念，老师应当重视它，让学非常重要的概念，老师应当重视它，让学生认识几何直观在解决问题过程中的作用生认识几何直观在解决问题过程中的作用和价值。和价值。如何理解几何直观呢？如何理解几何直观呢？几何直观几何直观主要是利用图形描述和分析问题。几何直观主要是利用图形描述和分析问题。几何直观可以把复杂的问题变得简明、形象，几何直观可以把复杂的问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中发挥着重要作用。在整个数学学习过程中发挥着重要作用。在课堂教学中如何落实呢？学会利用图形描述和分析问题学会利用图形描述和分析问题 化数为形化数为形既可以使抽象的问题直观既可以使抽象的问题直观化、生动化，变抽象思维为形象思维，还化、生动化，变抽象思维为形象思维，还有助于学生把握数学问题的本质，提高解有助于学生把握数学问题的本质，提高解决问题的能力。决问题的能力。几何直观例如：例如：一件工程，甲队单独做一件工程，甲队单独做1010天完成，乙队天完成，乙队单独做单独做3030天完成。现在两队合作，其间甲队休天完成。现在两队合作，其间甲队休息了息了2 2天，乙队休息了天，乙队休息了8 8天（不存在两队同一天天（不存在两队同一天休息）。问从开始到完工共用了多少天时间？休息）。问从开始到完工共用了多少天时间？面对复杂的数学问题，引导学生用画图的方面对复杂的数学问题，引导学生用画图的方法整理条件和问题。鼓励学生尝试画草图。法整理条件和问题。鼓励学生尝试画草图。几何直观几何直观利用长方形图反映问题的数量关系，学生能轻松地解决问题利用长方形图反映问题的数量关系，学生能轻松地解决问题甲、乙合作的工作量乙2天的工作量甲8天的工作量工作总量“1”共？天借助几何直观可以把复杂的数学问题变得借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象简明、形象 化数为形化数为形抓住了抓住了“数数”与与“形形”之间的联系，之间的联系，以以“形形”直观表达数，便于学生形象地理解直观表达数，便于学生形象地理解数量间的关系，达到化难为易、化繁为简、数量间的关系，达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的，使问题简捷地得以解决。化隐为显的目的，使问题简捷地得以解决。几何直观例如：借助于“几何直观”来理解抽象的算式中每个数与运算符号的意义，建立“形”与有余数除法算式之间的联系：13431几何直观几何直观 例如：二年级下册例如：二年级下册有余数的除法有余数的除法让学生在数学活动中用小木棒让学生在数学活动中用小木棒摆一摆的方法，直观地理解了有余数的除法的意义，并发现了其中的规摆一摆的方法，直观地理解了有余数的除法的意义，并发现了其中的规律。律。借助几何直观探索解决问题的思路，预测借助几何直观探索解决问题的思路，预测结果结果数学中很多问题的解决和灵感，往往都来数学中很多问题的解决和灵感，往往都来自于几何直观。数学研究者总是力求把他自于几何直观。数学研究者总是力求把他们研究的问题尽量变成可借用的几何直观们研究的问题尽量变成可借用的几何直观问题，使它们成为数学发现的向导。问题，使它们成为数学发现的向导。几何直观例如：研究圆的面积公式几何直观 在学习推导几何图形的面积公式时，总是把新的图形在学习推导几何图形的面积公式时，总是把新的图形经过分割、拼合等方法，将它们转化成我们熟悉的图形。经过分割、拼合等方法，将它们转化成我们熟悉的图形。几何直观几何直观可以帮助学生直观地理解数学几何直观可以帮助学生直观地理解数学 例如，利用图形理解例如，利用图形理解“三角形面积公式中三角形面积公式中除以除以2”是怎么来的？是怎么来的？几何直观A AB BC CA AB BC CA AB BC C 如果以三角形的一边及该边如果以三角形的一边及该边上的高为长和宽，补成一个矩形，上的高为长和宽，补成一个矩形，则三角形的面积则三角形的面积矩形面积矩形面积22底底高高22 如果将三角形沿着它的两边中点向第三条如果将三角形沿着它的两边中点向第三条边所作的垂线分别剪开，再使剪开的图形绕着边所作的垂线分别剪开，再使剪开的图形绕着这两个中点旋转这两个中点旋转180180就可以使得原来的三角形就可以使得原来的三角形变成一个长是原来底的一半，宽是原来高的长变成一个长是原来底的一半，宽是原来高的长方形。则三角形的面积方形。则三角形的面积底底2 2 高高 图形可以帮助我们刻画描述数学问题，图形可以帮助我们刻画描述数学问题，图形可以帮助我们找到解决数学问题的思图形可以帮助我们找到解决数学问题的思路，图形能帮助我们理解和记忆我们所得路，图形能帮助我们理解和记忆我们所得到的数学结果。到的数学结果。希尔伯特（德国）希尔伯特（德国）几何直观如何培养学生的几何直观能力呢？如何培养学生的几何直观能力呢？几何直观要提倡要提倡“做数学做数学”的学习方式，在具体的的学习方式，在具体的操作中实现几何直观思维的提升操作中实现几何直观思维的提升 根据小学生的年龄特征和认知规律，在教学中根据小学生的年龄特征和认知规律，在教学中要通过各种形式的感知，为他们提供一定的直接经要通过各种形式的感知，为他们提供一定的直接经验和感性认识，选择验和感性认识，选择直观教具直观教具进行感知是常用的一进行感知是常用的一种教法，包括图片、图表、模型、投影仪、教学影种教法，包括图片、图表、模型、投影仪、教学影片及计算机等。片及计算机等。实验实验是小学几何直观性教学的重要组成部分，是小学几何直观性教学的重要组成部分，通过操作实验可以帮助学生逐步形成概念，增强对通过操作实验可以帮助学生逐步形成概念，增强对新知识的感性认识。在教学中，教师要精心设计演新知识的感性认识。在教学中，教师要精心设计演示实验或者组织学生动手实验，通过探索、观察、示实验或者组织学生动手实验，通过探索、观察、分析、引导，在帮助获得感性材料的同时，促使他分析、引导，在帮助获得感性材料的同时，促使他们积极思考，探索、发现规律，揭示结论，提高学们积极思考，探索、发现规律，揭示结论，提高学生几何直观思维水平。生几何直观思维水平。几何直观教学中必须加强学生对图形的认识、理解、教学中必须加强学生对图形的认识、理解、感悟能力感悟能力 几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，充分学语言与直观的图形语言有机地结合起来，充分展现问题的本质，通过图形直观和对比分析，可展现问题的本质，通过图形直观和对比分析，可以较好地突破学生理解上难点，帮助学生真正理以较好地突破学生理解上难点，帮助学生真正理解数学概念及其本质内涵。解数学概念及其本质内涵。几何直观例如：一些学生对例如：一些学生对“小数小数0.20.2与与0.200.20”产生歧义，教师通过产生歧义，教师通过图形帮助学生认识图形帮助学生认识0.20.2与与0.200.20之间的差异，理解之间的差异，理解“小数小数0.20.2与与0.200.20”意义意义 几何直观 0.2 0.2是一位小数，精确到十分位；是一位小数，精确到十分位；0.200.20是两位小数，是两位小数，精确到百分位，它们所表示的阴影部分面积相等，即精确到百分位，它们所表示的阴影部分面积相等，即 0.2=0.200.2=0.20借助几何直观进行教学，理解数学问题的借助几何直观进行教学，理解数学问题的本质本质 几何直观可以形象生动地展现数学问题几何直观可以形象生动地展现数学问题的本质，有助于促进学生的数学理解，在的本质，有助于促进学生的数学理解，在有机渗透数学思想方法的同时提高学生的有机渗透数学思想方法的同时提高学生的思维能力和解决问题的能力思维能力和解决问题的能力几何直观如，学习分数乘分数时，通过实例并配合图解让学生着重理如，学习分数乘分数时，通过实例并配合图解让学生着重理解解“用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母”的算理。的算理。工人给一房间铺地板，如果一个工人每小时铺整个房间工人给一房间铺地板，如果一个工人每小时铺整个房间的的 ，那么，那么2020分钟能铺这个房间的几分之几？分钟能铺这个房间的几分之几？几何直观把一个房间分成四等份，一个工人每小时把一个房间分成四等份，一个工人每小时铺整个房间的一份，即为铺整个房间的一份，即为 图（图（1 1）,因因为为2020分钟为分钟为 小时，所以整个房间的小时，所以整个房间的1 1份等分为份等分为3 3份，取其中的一份份，取其中的一份 图（图（2 2）。因。因为要计算这一份是整个房间的几分之几，把黑色条形部分的三等份延长为要计算这一份是整个房间的几分之几，把黑色条形部分的三等份延长 图（图（3 3）发现整个房间被分成发现整个房间被分成4 43 3份，而一个工人份，而一个工人2020分钟分钟铺的这个房间的部分只是其中的铺的这个房间的部分只是其中的1 11 1份。份。利用信息技术展示几何直观利用信息技术展示几何直观 比如，在研究三角形面积时，利用几何画板软比如，在研究三角形面积时，利用几何画板软件，可以让学生看到，尽管点件，可以让学生看到，尽管点C在直线上运动，三在直线上运动，三角形角形ABC的形状变化了，但三角形的面积一直不变。的形状变化了，但三角形的面积一直不变。几何直观在教学中培养学生养成画图的习惯在教学中培养学生养成画图的习惯重视变换重视变换让图形动起来让图形动起来学会从学会从“数数”与与“形形”的两个角度来认识数学的两个角度来认识数学掌握运用一些基本图形解决问题掌握运用一些基本图形解决问题几何直观 几何直观能够帮助学生打开思维的大几何直观能够帮助学生打开思维的大门，开启智慧的钥匙，突破数学理解上的门，开启智慧的钥匙，突破数学理解上的难点。在今后的教学实践中，我们还需要难点。在今后的教学实践中，我们还需要不断地思考和探索。不断地思考和探索。“形缺数时难入微，数缺形时少直观形缺数时难入微，数缺形时少直观”几何直观 谢谢 谢！谢！祝大家身体健康、工作顺利、合家幸福！