二次函数精讲

二二 次次 函函 数数二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象图象二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系三种表示方式三种表示方式开口方向开口方向顶点顶点抛物线抛物线y=ax2与与y=a(x-h)2+k之间的平移关系之间的平移关系对称轴对称轴增减性增减性知识网络性质性质要点、考点聚焦要点、考点聚焦1、一般地，、一般地，y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，是常数，a0)称为称为y是是x的二次函数，的二次函数，它的图象是抛物线它的图象是抛物线.=轴的负半轴上轴的负半轴上交点在交点在交点在原点交点在原点轴的正半轴上轴的正半轴上交点在交点在y0c0cy0c 0a0a 开口向下开口向下 开口向上开口向上轴右侧；异号 在轴左侧，同号 在ybayba,一、概念及图象一、概念及图象:1、a的符号与抛物线开口方向的符号与抛物线开口方向 2、a、b的符号与其对称轴的位置的符号与其对称轴的位置3、C的符号与抛物线和的符号与抛物线和y轴交点的位置轴交点的位置二、性质二、性质:(2)b2-4ac=01个交点个交点.(1)b2-4ac02个交点个交点.(3)b2-4ac0没有交点没有交点.(2)顶点坐标为顶点坐标为(-、),当当X=-=-时时,y y有最大值或最小值为有最大值或最小值为2ab4a4ac-b22ab4a4ac-b24.抛物线与抛物线与x轴交点个数的判定轴交点个数的判定.5.对称轴、顶点坐标及增减性对称轴、顶点坐标及增减性2ab(1)对称轴为直线对称轴为直线X=-=-(3)增减性：由开口方向及对称轴决定增减性：由开口方向及对称轴决定1.已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，的图象如图所示，那么下列判断不正确的有那么下列判断不正确的有 ()A.abc0 B.b2-4ac0C.2a+b0 D.4a-2b+c0D考点聚焦考点聚焦要点、考点聚焦要点、考点聚焦 (1)一般式一般式:y=ax+bx+c (2)顶点式顶点式:y=a(x-h)+k (3)交点式交点式:y=a(x-x)(x-x)2221变式：二次函数变式：二次函数y=2x2-4x+4的图象可由的图象可由y=2x2的图象的图象()A.向左平移向左平移1个单位，再向下平移个单位，再向下平移2个单位得到个单位得到B.向左平移向左平移1个单位，再向上平移个单位，再向上平移2个单位得到个单位得到C.向右平移向右平移1个单位，再向下平移个单位，再向下平移2个单位得到个单位得到D.向右平移向右平移1个单位，再向上平移个单位，再向上平移2个单位得到个单位得到D5.抛物线的平移：抛物线的平移：4.抛物线解析式的三种形式抛物线解析式的三种形式例例.把抛物线把抛物线y=3x2的图象先的图象先向左平移向左平移2个单位，再向上平移个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线为个单位得到的抛物线为_左加右减、上加下减左加右减、上加下减y=3(x+2)2+3解解:(:()：由图象可知图象经过点：由图象可知图象经过点(,)，(,)a+c-5=0a+c-5=016a+c-20=016a+c-20=0a=1 c=4a=1 c=4解析式为解析式为y=xy=x2 2-5x+4-5x+4顶点坐标为顶点坐标为(,-)(,-)2 25 54 49 9典型例题解析典型例题解析【例【例1】已知二次函数已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图所示：的图象如图所示：1 14 4x xy y0 0():):求这个二次函数的解析式及顶点坐标求这个二次函数的解析式及顶点坐标():):观察图象回答观察图象回答:当当x x取何值时，取何值时，y y随的增大而增大？随的增大而增大？():):当当x x取何值时，取何值时，y0?Xy0?X取何值时，取何值时，y0?y0?1 14 4x xy y0 0(3)(3)：由图象可得当：由图象可得当x x1 1或或x x4 4时时,y,y0 0 1 1x x4 4时时,y,y0 0解解:(2):(2)：由图象可知当：由图象可知当x x 时时y y随随x x的增大而增大的增大而增大25(1)(1)求经过求经过A A、B B、C C三点的抛物线对应的函数表达式三点的抛物线对应的函数表达式.(2)(2)设设M M为为(1)(1)中抛物线的顶点求直线中抛物线的顶点求直线MCMC对应的函数表达式对应的函数表达式.(3)(3)试说明直线试说明直线MCMC与与p p的位置关系的位置关系,并证明你的结论并证明你的结论.【例例2 2】如如图图,在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中,坐坐标标原原点点为为O,AO,A点点坐坐标标为为(4,0),B(4,0),B点点坐坐标标为为(-1,0)(-1,0)以以ABAB的的中中点点p p为为圆圆心心,AB,AB为直径作为直径作p p与与y y轴的正半轴交于点轴的正半轴交于点C.C.B B O Op pA A x xy yC C解解:(1):(1)连接连接PC.PC.A(4,0),B(-1,0)A(4,0),B(-1,0)AB=5.AB=5.2 25 52 25 52 23 3P P是是ABAB的中点的中点,且且p p的圆心的圆心,PC=PA=,OP=4-=.PC=PA=,OP=4-=.pcpc2 2-op-op2 2()2-()22 25 52 23 3OC=2 OC=2 C(0,2).C(0,2).设经过设经过A A、B B、C C三点的抛物线为三点的抛物线为y=a(x-4)(x+1).y=a(x-4)(x+1).2 21 12 21 12 21 12 23 32=a(0-4)(0+1).2=a(0-4)(0+1).a=-.a=-.抛物线为抛物线为 y=-(x-4)(x+1).y=-(x-4)(x+1).即即y=-xy=-x2 2+x+2.+x+2.B B O Op pA A x xy yC C(2)(2)将将y=-xy=-x2 2+x+2+x+2配方配方,得得y=-(x-)y=-(x-)2 2+,21232123825顶点顶点M(,).M(,).23825设直线设直线MCMC为为y=y=mx+nmx+n,则有则有2=n2=n825=m+nm+n.23解得解得m=m=n=2.n=2.43直线直线MCMC为为y=x+2.y=x+2.43B BO Op pA Ax xy yC CM M解解(3)(3)直线直线MCMC与与p p相切相切.ON=,PN=+=ON=,PN=+=.383823625ONON2 2-OC-OC2 2()2+22=38CN=.CN=.310CNCN2 2+PC+PC2 2=()=()2 2+()+()2 2=()=()2 2=PN=PN2 2.25310625PCN=90PCN=90。.MC与与 p相切相切.y=x+2.y=x+2.中中,令令y=0,y=0,得得x=-.x=-.4338 设设MC与与x轴交于点轴交于点N,在在B BO Op pA Ax xy yC CN NM M1.(2004年年重庆市重庆市)二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的图象如图所示，则点如图所示，则点M（b,c/a）在）在 ()A.第一象限第一象限 B.第二象限第二象限C.第三象限第三象限 D.第四象限第四象限D课时训练课时训练2.如如图图所所示示，二二次次函函数数y=x2-4x+3的的图图象象交交x轴轴于于A、B两两点，交点，交y轴于点轴于点C，则则ABC的面积为的面积为 ()A.6 B.4 C.3 D.1Cx xy y0 0C CB BA A 某某水水果果批批发发商商销销售售每每箱箱进进价价为为40元元的的苹苹果果,据据市市场场调调查查发发现现,若若每每箱箱以以50元元的的价价格格售售出出,平平均均每每天天销销售售90箱箱,价格每提高价格每提高1元元,平均每天少销售平均每天少销售3箱箱.(1)(1)求平均每天销售量求平均每天销售量y y(箱箱)与与销售价销售价x(元元/箱箱)之间的函数关系式之间的函数关系式.(2)(2)求求该该批批发发商商平平均均每每天天的的销销售售利利润润w w(元元)与与销销售售价价x x(元元/箱箱)之之间间 的函数关系式的函数关系式.(3)(3)当每箱苹果的销售价为多少元时当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润可以获得最大利润?最大最大 利润是多少利润是多少?解解:(1):(1)由已知得由已知得:y=90-3(x-50)即即:y=-3x+240(2)由由(1)得得:w=(-3x+240)(x-40)即即:w=-3x2+360 x-9600(3)由由(2)得得:w=3x2+360 x-9600当当x=-=60 x=-=60时时,w,w的最大值为的最大值为12001200元元3602x(-3)1.1.会利用会利用a a、b b、c c的值判断二次函数的大致位置情况；的值判断二次函数的大致位置情况；反之，若已知二次函数的大致位置，也可以判断出一反之，若已知二次函数的大致位置，也可以判断出一些特殊关系式或字母的取值范围等，此类问题既要细些特殊关系式或字母的取值范围等，此类问题既要细心处理，又要灵活运用数形结合思想，易出错心处理，又要灵活运用数形结合思想，易出错.2.2.会利用方程根的性质，一元二次方程根的判别式，会利用方程根的性质，一元二次方程根的判别式，判定抛物线与判定抛物线与x x轴交点的情况；反之，可以求某些字轴交点的情况；反之，可以求某些字母的取值范围母的取值范围.3.3.会建立数学模型，利用二次函数解决实际问题会建立数学模型，利用二次函数解决实际问题【作业】如图所示，已知抛物线【作业】如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c与与x轴负半轴轴负半轴交于交于A、B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C，且且OB=，CB=2 ,CAO=30，求抛物线的解析式和它的顶点坐标求抛物线的解析式和它的顶点坐标.解解:CB=2 OB=OC=3 CAO=30 OA=3 点点A(-3 ,0)点点B(-,0)点点c(0,3)可设抛物线的解析式为可设抛物线的解析式为y=a(x+3 )(x+)3=a(0+3 )(0+)a=y=(x+3 )(x+)顶点坐标为顶点坐标为(-2 ,-1)33131谢谢 谢谢!