随机过程概率空间

随机过程概率空间随机过程概率空间1.1 概率空间概率空间一、随机事件的公理化定义一、随机事件的公理化定义 回顾初等概率论中引进古典概率、几何概率回顾初等概率论中引进古典概率、几何概率等定义，有如下问题：等定义，有如下问题：对于随机试验对于随机试验E的样本空间的样本空间,是否是否的每一个的每一个子集子集(事件事件)都能确定概率都能确定概率?定义定义(代数代数)：设随机试验：设随机试验E 的样本空间的样本空间为为,F 是是的子集组成的集族，满足的子集组成的集族，满足(1)F;(2)若若AF,则则 .（对逆运算封闭）（对逆运算封闭）(3)若若 则则（对可列并运算封闭）（对可列并运算封闭）称称F为为的一个的一个-代数代数（事件体）（事件体）,F 中的集中的集合称为合称为事件事件.F的定义给出了事件间类似于代数学中的代的定义给出了事件间类似于代数学中的代数结构数结构.Ex1：在编号为：在编号为1,2，,n 的的 n个元件中取一件，个元件中取一件，1.考虑元件的编号，则全体基本事件为考虑元件的编号，则全体基本事件为样本空间为样本空间为构造如下事件构造如下事件:可验证集族可验证集族组成一个组成一个代数代数.2.仅考虑元件是正品或次品，则基本事件为仅考虑元件是正品或次品，则基本事件为 A1=取到正品取到正品,A2=取到次品取到次品 则则 为一个为一个代数代数.Ex.2 测量一个零件测量一个零件,考虑其测量结果与实际长考虑其测量结果与实际长度的误差度的误差.基本事件为基本事件为x,样本空间为样本空间为 则则R1 1的子集全体：的子集全体：,单点集单点集 x，一切开的，一切开的,闭的，半开半闭区间等组成的集族闭的，半开半闭区间等组成的集族F是一个代数是一个代数.另外，令另外，令=出现正误差出现正误差=出现负误差出现负误差则则 为一个为一个代数代数.注：注：对同一研究对象的同一试验对同一研究对象的同一试验,试验目的不同试验目的不同,其样本空间和代数的结构会不同其样本空间和代数的结构会不同.定义定义(可测空间可测空间)：样本空间：样本空间和和代数的二元体代数的二元体(,F)称为可测空间称为可测空间.可测空间有如下可测空间有如下性质性质：1.2.对可列交运算封闭对可列交运算封闭,若若 则有则有 证证3.对有限并对有限并,有限交封闭：若有限交封闭：若 则则4.对差运算封闭对差运算封闭,即即若若 则则 .二、概率的公理化定义二、概率的公理化定义柯氏公理体系是现代概率论的基石柯氏公理体系是现代概率论的基石.定义定义(概率概率)：设：设(,F)是一可测空间，对是一可测空间，对 定义在定义在F上的实值集函数上的实值集函数P(A),满足满足1)非负性：对非负性：对 2)规范性规范性:P()=1;3)完全可加性完全可加性,对对 有有 称称P是是(,(,F)上的上的概率概率(测度测度),),P(A)是事件是事件A的概率的概率.三元体三元体(,F,P)称为称为概率空间概率空间.Ex:设某路口到达的车辆数为设某路口到达的车辆数为m,基本事件基本事件为为m,样本空间样本空间 F是是的一切子集的一切子集组成的集族，则组成的集族，则F是一个是一个代数代数.定义定义P()=0,并对并对AF 令令证明证明 P为可测空间为可测空间(,(,F)上的概率上的概率.证证:1)2)因因3)设设有有三、概率性质三、概率性质设设(,(,F,P)是概率空间是概率空间,则概率则概率P 有如下性质有如下性质:1)P()=0;2)有限可加性有限可加性:若若 则则推论推论1:推论推论2(单调性单调性):):若若 ，则，则P(AB)=P(A)P(B)且且3)概率的单调性概率的单调性证：证：A1AnAn+1其中其中B1,B2,互不相容，由完全可加性有互不相容，由完全可加性有 收敛级数的余项极限为收敛级数的余项极限为0,(as ),),即即 推论推论1：推论推论2：证：在推论证：在推论1中中 ABn=An-A4）多除少补原理）多除少补原理推论推论：概率具有次可加性：概率具有次可加性四、条件概率四、条件概率 定义定义：设：设(,F,P)是概率空间，是概率空间，A,BF，且且P(B)0 称为已知事件称为已知事件B发生的条件下，事件发生的条件下，事件A 发生的发生的条件概率条件概率.定理：定理：设设(,F,P)是概率空间是概率空间,BF,且且P(B)0,则则对对 有有 对应对应,集函数集函数 满足满足三条公理三条公理:条件概率条件概率是概率是概率.定义定义:记记PB=P(|(|B）,则则PB 是可测空间是可测空间(,(,F)上的概率上的概率,称称(,(,F,PB)是是条件概率空间条件概率空间.定理：定理：设设A是概率空间是概率空间(,F,P)上的正概率事件上的正概率事件,BF,且且PA(B)0,则对任意则对任意CF 有有 证证 Ex.10 张签中有三张幸运签张签中有三张幸运签,3人依次各抽一人依次各抽一张签张签,第一个人抽到幸运签第一个人抽到幸运签,假若第二人也抽到假若第二人也抽到,问第三人抽到幸运签的概率问第三人抽到幸运签的概率.解解 设设 Ai=第第i 人抽到幸运签人抽到幸运签,i=1,2,3.所求概率为所求概率为五、全五、全概率公式与概率公式与Bayes公式公式 定理：定理：设设(,F,P)是概率空间是概率空间,若若 1)A iF,且且 P(Ai)0，(i=1,2,n);2)完备性完备性条件条件.则对任意则对任意BF 有有1)