随机水文学第六章

随机水文学第六章随机水文学第六章主要内容：主要内容：第一节 滑动平均模型第二节 自回归滑动平均模型 第三节 模型的识别和检验 第一节第一节滑动平均模型滑动平均模型一、一般滑动平均模型一、一般滑动平均模型MA(q)MA(q)滑动平均模型的一般形式MA(q)其中心化形式为：式中：q,1,q,2,q,q各阶权重又称权重系数是待求的参数 t白噪声系列，在水文上仍假定为P-分布，均值为零，其参数仅有两个即标准差与偏态系数，没有Cv 二、参数估计式中：样本序列的和r1,r2,rq（各阶自相关系数）均可由样本计算出。由一般形式经推导可得到如下方程组：三、的计算一般形式经变形可得：其中：x1,x2,xn为已知中心化径流系列q,1,q,2,q,q，已由上面解出 则 三、的计算（2）利用这样计算得到t系列，系列1，2，n按照矩法估计：四、一阶滑动平均模型以中心化变量表示的MA(1)模型形式如下：可由上述方法计算得到 五、二阶滑动平均模型以中心化变量表示的MA(2)模型形式如下：其 中 当r20时取+，当r2p时k,k=0。(1)AR(p)(1)AR(p)序列（如下图所示）序列（如下图所示）(2)MA(q)(2)MA(q)序列序列 自相关函数k呈截尾状，k=q时出现一个截尾点，即在 时 ；当kq时k=0。相反，它的偏相关函数随阶数的增加而逐渐变小，呈拖尾状。单调或波动衰减趋向于零。(3)ARMA(p,q)(3)ARMA(p,q)序列序列自相关函数和偏相关函数都没有截尾点，均以拖尾状而逐渐变小，趋向于零。缺陷：n但由样本序列去估计自相关函数k和偏相关函数k,k抽样误差较大，难以直观判断，必须进行统计推断。例如，即使是出自AR(p)模型的序列，由于抽样的缘故在kp时由样本序列估计出的也不全会为零，而在零上下起伏，而用统计检验方法，推断出它们和零的差异并不显著，则可认为截尾点是k=p，从而推断序列为AR(p)序列。下面分别叙述MA(q)，AR(p)和ARMA(p,q)模型识别的具体方法：1MA(q)模型n由于kq时k=0，rk在kq时渐进服从 的正态分布（其中 为rk的方差D(rk)），根据正态分布的性质：1MA(q)模型n先假定q0如kp时k,k=0；当kp时 将渐近服从 正态分布，为的方差D()。同样找到p0，在p0前 （k取1,2,p0）明显不为零，而p=p0时，k分别取p0+1,p0+2,p0+M（M可取左右）代入上式不等式统计满足上式不等式的个数占总数M的比例，如在68.3%或95.0%左右可判断在p0处截尾，并初步认为序列是AR(p0)序列。3ARMA(p,q)模型n对于这种混合模型，自相关函数和偏相关函数均无截尾的性质，认别较困难，一般识别p,q的方法可以从低阶到高阶逐个尝试，(p,q)分别取(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)然后分别进行参数估计，定出模型在检验这个模型是否被接受。若被接受，则模型确定；否则重新调整(p,q)直到接受为止。二、模型识别的AIC准则n日本的赤池（Akaike）对于ARMA(p,q)模型中阶数p和q的确定提出了AIC准则：式中：n为序列的长度；ln为自然对数，为残差的方差 q=0为AR(p)模型p=0为MA(q)模型 使AIC达到最小值的模型被认为是可以接受的好模型。对AR(p)模型，按AIC准则识别步骤：（1 1）计算样本序列的自相关函数）计算样本序列的自相关函数r rk k（2 2）按递推计算自回归系数）按递推计算自回归系数p,1p,1,p,2p,2,p,pp,p 按AIC准则识别步骤：（3 3）计算残差方差）计算残差方差（4 4）计算）计算AICAIC（5 5）根据不同）根据不同P P计算出相应的计算出相应的AIC(P)AIC(P)使使AICAIC达到最达到最小的小的P P为我们所求为我们所求 例 有序列n=45 采用AR(p)模型，分别计算得到AIC(k)值，如下：试判断AR(p)的阶数p p=14p=14 三、模型的检验n原假设H0：t序列相互独立 统计量 M最大滞时，一般m取n/4左右 Q服从自由度为（m-p-q）的2分布 由样本1,2,m计算出Q值，取值由2表查出2，若则接受原假设，认为t为独立序列的假设成立，反之不成立。例 n某站有44年径流序列，已识别出AR（1）模型。由样本序列，通过该模型算得t序列，进而算出它的自相关关系：r1()=-0.13，r2()=0.14，r3()=0.14，r4()=-0.09，r5()=0.04，r6()=0.18，r7()=-0.18，r8()=0.05，r9()=0.02，r10()=-0.09。四、模型实用性的初步分析 n选定的模型是否反映随机序列真实的统计特性，还必须在模型检验的基础上，作进一步的分析，即实用性分析实用性分析。n若建立的模型是为了随机模拟，这是由模型而得的大量模拟序列，应保持实测（样本）序列的主要统计特性。它们包括均值、方差（或变差系数）、偏态系数和一阶自相关系数。分析方法：1.1.长序列法长序列法 由模型模拟出一个很长的模拟序列，例如模拟出长度N为10000，然后仅根据这一个长序列计算各项特征值，并与由实测系列计算的各项特征值进行比较。2.2.短序列法短序列法 由模型模拟出许多等长度的短序列，其长度和实测序列长度一样。2.短序列法设有长度为n的m个模拟序列：第一组模拟序列x1,1,x1,2,x1,n第二组模拟序列x2,1,x2,2,x2,n第 第m组模拟序列xm,1,xm,2,xm,n 对每一组序列分别估计它们的参数均值，Cv，Cs，r1，并分别计算各组参数的均值和标准差 2.短序列法由模拟序列计算出的参数与实测序列进行对比。随模拟序列长度N的增加模拟序列参数的均值愈趋近实测序列的参数。本章结束本章结束n谢谢！谢谢！结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！40