模糊集的基本运算

第二第二章章 模糊集的基本运算模糊集的基本运算一一.模糊集的表示方法模糊集的表示方法 模模糊糊集集合合是是论论域域X 到到0,10,1的的映映射射,因因此此用用隶隶属属函函数数来来表表示示模模糊糊集集合合是是最最基基本本的的方方法法。除除此此以以外外,还还有有以下的表示方法：以下的表示方法：1)1)序偶表示法序偶表示法 A=(x,A(x)|x X.例例如如:用用集集合合X=x1,x2,x3,x4表表示示某某学学生生宿宿舍舍中中的的四四位位男男同同学学,“帅帅哥哥”是是一一个个模模糊糊的的概概念念。经经某某种种方方法法对对这这四四位位学学生生属属于于帅帅哥哥的的程程度度(“(“帅帅度度”)做做的的评评价价依依次次为为:0.55,0.78,0.91,0.56,则则以以此此评评价价构构成成的的模模糊糊集集合合A记为记为:A=(x1,0.55),(x2,0.78),(x3,0.91),(x4,0.56).2)2)向量表示法向量表示法 当论域当论域X=x1,x2,xn时时,X上的模糊集上的模糊集A可表示为向量可表示为向量 A=(A(x1),A(x2),A(xn).模糊集模糊集“帅哥帅哥”A可记为可记为:A=(0.55,0.78,0.91,0.56).向量的每个分量都在向量的每个分量都在0与与1之间之间,称之为称之为模糊向量模糊向量。3）Zadeh表示法表示法 当论域为有限集当论域为有限集x1,x2,xn时时,模糊集合可表示为模糊集合可表示为 A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+A(xn)/xn.注意注意,这里仅仅是借用了算术符号这里仅仅是借用了算术符号+和和/,并不表示分数并不表示分数和运算和运算,而只是描述而只是描述A中有哪些元素中有哪些元素,以及各个元素的隶属度以及各个元素的隶属度值。值。对于任意论域对于任意论域X中的模糊集合中的模糊集合A可记为可记为:模糊集模糊集“年轻年轻”A可表示为可表示为 注注意意：当当论论域域明明确确的的情情况况下下,在在序序偶偶和和ZadehZadeh表表示示法法中中,隶隶属属度度为为0 0的的项项可可以以不不写写出出。而而在在向向量量表表示示法法中中,应应该该写出全部分量。写出全部分量。例例如如,论论域域X为为1 1到到1010的的所所有有正正整整数数,模模糊糊集集“近近似似于于5 5”A可表示为：可表示为：或或 或或二二.典型的隶属函数典型的隶属函数 构构造造恰恰当当的的隶隶属属函函数数是是模模糊糊集集理理论论应应用用的的基基础础。一一种种基基本本的的构构造造隶隶属属函函数数的的方方法法是是“参参考考函函数数法法”,即即参参考考一一些些典典型型的的隶隶属属函函数数,通通过过选选择择适适当当的的参参数数,或或通通过过拟拟合、整合、实验等手段得到需要的隶属函数。合、整合、实验等手段得到需要的隶属函数。下面介绍典型隶属函数。下面介绍典型隶属函数。1.偏小型偏小型 降降半半矩矩形形分分布布,降降半半形形分分布布,降降半半正正态态分分布布,降降半半柯柯西分布西分布,降半梯形分布降半梯形分布,降岭形分布。降岭形分布。2.偏大型偏大型 升升半半矩矩形形分分布布，升升半半形形分分布布，升升半半正正态态分分布布，升升半半柯柯西分布，升半梯形分布，升岭形分布。西分布，升半梯形分布，升岭形分布。“年年轻轻”模模糊糊集集合合的的隶隶属属函函数数为为降降半半柯柯西西分分布布,其其中中取取a=1/5,b=25,c=2.“年年老老”模模糊糊集集合合的的隶隶属属函函数数为为升升半半柯柯西西分布分布,其中取其中取a=1/5,b=50,c=2.3.中间型中间型(对称型对称型)矩矩形形分分布布,尖尖形形分分布布,正正态态分分布布,柯柯西西分分布布,梯梯形形分分布布,岭形分布。岭形分布。三三.模糊集上的运算模糊集上的运算1.几几点说明点说明 经经典典集集合合可可用用特特征征函函数数完完全全刻刻画画,因因而而经经典典集集合合可可看看成成模糊集的特例模糊集的特例(即隶属函数只取即隶属函数只取0,1两个值的模糊集两个值的模糊集)。设设X为为非非空空论论域域,X上上的的全全体体模模糊糊集集记记作作F(X).于于是是,P(X)F(X),这这里里P(X)为为X的的幂幂集集(即即X的的全全体体子子集集构构成成的的集集合合).特特别别地地,空空集集的的隶隶属属函函数数恒恒为为0,全全集集X的的隶隶属属函函数数恒恒为为1,即即、X都是都是X上的模糊集。上的模糊集。2.模糊集的包含关系模糊集的包含关系 设设X为为非非空空论论域域,A,B为为X上上的的两两个个经经典典集集合合。A B当且仅当属于当且仅当属于A的元素都属于的元素都属于B.易证易证A B当且仅当对任意当且仅当对任意x X有有CA(x)CB(x).X X1 1X X1 1 定定义义 设设X为为非非空空论论域域,A,B为为X上上的的两两个个模模糊糊集集合合。称称A包包含含于于B(记记作作A B),如如果果对对任任意意x X有有A(x)B(x).这时也称这时也称A为为B的子集。的子集。X X1 1A A(x x)B B(x x)例例 论域论域X=x1,x2,x3,x4时时,X上的模糊集上的模糊集A为为:A=(0.55,0.78,0.91,0.56).X上的模糊集上的模糊集B为为:B=(0.35,0.52,0.65,0.37).则根据定义有则根据定义有B A.帅哥帅哥帅哥帅哥超男超男超男超男 定定义义 论论域域X上上的的模模糊糊集集A与与B称称为为是是相相等等的的,如如果果A B 且且B A,即对任意即对任意x X有有A(x)=B(x).3.模糊集的并模糊集的并 设设X为非空论域为非空论域,A,B为为X上的两个经典集合。上的两个经典集合。AB=x X|x A或或x B.易证易证 CA B(x)=maxCA(x),CB(x)=CA(x)CB(x).X X1 1X X1 1 定义定义 设设X为非空论域为非空论域,A,B为为X上的两个模糊集合。上的两个模糊集合。A与与B的并的并(记作记作AB)是是X上的一个模糊集上的一个模糊集,其隶属函数为其隶属函数为 (AB)(x)=maxA(x),B(x)=A(x)B(x),x X.(AB)(x)4.模糊集的交模糊集的交 定定义义 非非空空论论域域X上上的的两两个个模模糊糊集集合合A与与B的的交交(记记作作AB)是是X上的一个模糊集上的一个模糊集,其隶属函数为其隶属函数为 (AB)(x)=minA(x),B(x)=A(x)B(x),x X.(AB)(x)5.模糊集的补模糊集的补 定义定义 非空论域非空论域X上的一个模糊集合上的一个模糊集合A的补的补(记作记作A 或或AC)X上的一个模糊集上的一个模糊集,其隶属函数为其隶属函数为 A(x)=1 A(x),x X.注注：两两个个模模糊糊集集的的并并、交交运运算算可可以以推推广广到到一一般般情情形形,即即对对任任意意指指标标集集I,若若Ai是是X上上的的模模糊糊集集,i I.则则模模糊糊集集的的(任任意意)并、并、(任意任意)交定义为交定义为:例例 设论域设论域X=x1,x2,x3,x4为一个为一个4人集合人集合,X上的模糊集合上的模糊集合 A表示表示“高个子高个子”:A=(x1,0.6),(x2,0.5),(x3,1),(x4,0.4).模糊集合模糊集合B表示表示“胖子胖子”:B=(x1,0.5),(x2,0.6),(x3,0.3),(x4,0.4).则模糊集合则模糊集合“高或胖高或胖”为为:AB=(x1,0.60.5),(x2,0.50.6),(x3,10.3),(x4,0.40.4)=(x1,0.6),(x2,0.6),(x3,1),(x4,0.4).模糊集合模糊集合“又高又胖又高又胖”为为:AB=(x1,0.5),(x2,0.5),(x3,0.3),(x4,0.4).模糊集合模糊集合“个子不高个子不高”为为:A =(x1,0.4),(x2,0.5),(x3,0),(x4,0.6).四四.模糊集的运算性模糊集的运算性质 1.经典集合的运算性质经典集合的运算性质 经典集合关于并、交、补运算具有以下性质经典集合关于并、交、补运算具有以下性质:设设X为论域为论域,A,B,C为为X上的经典集合上的经典集合,则则 (1)幂等律幂等律:AA=A,AA=A;(2)交换律交换律:AB=BA,AB=BA;(3)结合律结合律:(AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC);(4)吸收律吸收律:A(AB)=A,A(AB)=A;(5)分配律分配律:A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB)(AC);(6)对合律对合律(复原律复原律):(A)=A;(7)两极律两极律(同一律同一律):AX=A,AX=X,A=,A=A;(8)De Morgan对偶律对偶律:(AB)=A B,(AB)=A B;(9)排中律排中律(互补律互补律):AA=X,AA=.注注：满满足足上上述述前前四四条条规规律律的的代代数数系系统统称称为为格格(可可诱诱导导出出一一个个序序A BAB=AAB=B)。满满足足以以上上9条条性性质质的的代代数数系系统统称为布尔代数称为布尔代数(Boolean algebra,即即“有补的有界分配格有补的有界分配格”.2.模糊集合的运算性质模糊集合的运算性质 定理定理 设设X为论域为论域,A,B,C为为X上的模糊集合上的模糊集合,则则 (1)幂等律幂等律:AA=A,AA=A;(2)交换律交换律:AB=BA,AB=BA;(3)结合律结合律:(AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC);(4)吸收律吸收律:A(AB)=A,A(AB)=A;(5)分配律分配律:A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB)(AC);(6)对合律对合律(复原律复原律):(A)=A;(7)两极律两极律(同一律同一律):AX=A,AX=X,A=,A=A;(8)De Morgan对偶律对偶律:(AB)=A B,(AB)=A B.证明证明De Morgan对偶律对偶律:对任意对任意x X,由于由于(AB)(x)=1(AB)(x)=1(A(x)B(x)=(1 A(x)(1 B(x)=A(x)B(x)=(A B)(x).所以所以 (AB)=A B.同理可证同理可证 (AB)=A B.注注：模模糊糊集集中中互互补补律律不不成成立立(参参见见下下面面的的反反例例).满满足足以以上上8条条性性质质的的代代数数系系统统称称为为De Margan代代数数,也也称称为为软软代代数数(soft algebra).反例反例 设论域设论域X=a,b上的模糊集上的模糊集A=(a,0.6),(b,0.3).则则 A=(a,0.4),(b,0.7).从而从而 AA=(a,0.6),(b,0.7)X,AA=(a,0.4),(b,0.3).五五.L型模糊集型模糊集 本本节节把把模模糊糊集集合合的的隶隶属属度度取取值值范范围围推推广广到到一一般般格格上上,并研究这类广义模糊集合及其性质。并研究这类广义模糊集合及其性质。1.偏序集与格偏序集与格 定定义义 称称(P,)为为偏偏序序集集,若若P上上的的二二元元关关系系 满满足足以以下下三三个条件个条件:(1)自反性自反性:a P,a a;(2)反对称性反对称性:a b且且b a a=b;(3)传递性传递性:a b且且b c a c.对对于于偏偏序序集集(P,),如如果果对对于于任任意意a,b P总总有有a b或或b a成立成立,则称则称P为线性序集或全序集。为线性序集或全序集。设设(P,)为为偏偏序序集集,若若存存在在a P使使得得对对任任意意b P都都有有a b,则则称称a为为P的的最最小小元元。若若存存在在a P使使得得对对任任意意b P都都有有b a,则称则称a为为P的的最大元最大元。易易知知,如如果果偏偏序序集集有有最最小小元元或或最最大大元元,则则最最小小元元或或最最大大元元是惟一的。为此是惟一的。为此,记记0为最小元素为最小元素,1为最大元素。为最大元素。设设(P,)为为偏偏序序集集,X P,若若存存在在a P使使得得对对任任意意x X都都有有x a,则则称称a为为X的的上上界界。如如果果X的的上上界界集集合合有有最最小小元元素素,则则称称它它为为X的的最最小小上上界界或或上上确确界界,记记为为supX或或X.对对偶偶地地,可可以以定定义义下界下界、最大下界或、最大下界或下确界下确界(记为记为infX或或X)。定定义义 偏偏序序集集(L,)称称为为格格,如如果果 a,b P,上上确确界界a b与与下确界下确界ab都存在。都存在。任意子集都有上、下确界的格称为任意子集都有上、下确界的格称为完备格完备格。上上、下下确确界界运运算算满满足足分分配配律律的的格格称称为为分分配配格格,这这里里分分配律指有限分配律。配律指有限分配律。定理定理 设设(L,)为格为格,则上、下确界运算满足则上、下确界运算满足:(1)幂等律幂等律:aa=a,aa=a;(2)交换律交换律:ab=ba,ab=ba;(3)结合律结合律:(ab)c=a(bc),(ab)c=a(bc);(4)吸收律吸收律:a(ab)=a,a(ab)=a.定理定理 设代数系统设代数系统(L,)中的二元运算中的二元运算,满足满足:幂等律幂等律:aa=a,aa=a;交换律交换律:ab=ba,ab=ba;结合律结合律:(ab)c=a(bc),(ab)c=a(bc);吸收律吸收律:a(ab)=a,a(ab)=a.则则:(1)ab=a ab=b;(2)在在L中中定定义义二二元元关关系系 如如下下a b ab=a.那那么么(L,)是格是格,且且,是这个格是这个格(L,)的上、下确界运算。的上、下确界运算。2.Boole代数与代数与De Morgan代数代数 定定义义 设设L是是有有界界分分配配格格,0,1分分别别是是其其最最大大元元和和最最小小元元。对对任任意意a L,若若存存在在a L使使得得aa=1,aa=0,则则称称L为布尔代数。为布尔代数。定定义义 设设P是是偏偏序序集集,h:PP是是映映射射。如如果果当当a b时时恒恒有有h(a)h(b),则则 称称 h为为 保保 序序 映映 射射。如如 果果 当当 a b时时 恒恒 有有h(b)h(a),则则称称h为为逆逆序序映映射射。如如果果逆逆序序映映射射h满满足足对对合合律律h(h(a)=a,则则h称称为为逆逆序序对对合合对对应应或或逆逆合合映映射射,也也称称h为为伪伪补补。定义定义 设设L是有界分配格是有界分配格,h:LL是是L上的一元运算且满足上的一元运算且满足(1)h(h(a)=a,(2)h(ab)=h(a)h(b),h(ab)=h(a)h(b).则称则称L为为De Morgan代数代数。易知易知De Morgan代数中代数中h是逆合映射。是逆合映射。设设X为为非非空空集集合合,则则幂幂集集格格(P(X),c)为为布布尔尔代代数数,而而X上上的的模模糊糊集集全全体体构构成成的的格格(F(X),c)为为De Morgan代数。代数。布尔代数是布尔代数是De Morgan代数代数,反之不真。反之不真。3.L型模糊集及其运算型模糊集及其运算 定定义义 设设X为为论论域域(经经典典集集合合),L是是一一个个有有逆逆合合映映射射(伪伪补补)h的格。则映射的格。则映射A:XL称为集合称为集合X上的上的L型模糊集合。型模糊集合。记记FL(X)=A|A:XL为为L型模糊集合型模糊集合.设设A,B FL(X),若若 x X有有A(x)B(x),则则称称A含含于于B,记记为为A B.易知易知(FL(X),)为偏序集。可分别定义并、交、补如下为偏序集。可分别定义并、交、补如下:(AB)(x)=A(x)B(x),(AB)(x)=A(x)B(x)。Ac(x)=h(A(x).容容易易验验证证：如如果果L是是分分配配格格(完完备备格格),则则FL(X)也也是是分分配配格格(完完备备格格)。如如果果L是是De Morgan代代数数,则则FL(X)也也De Morgan代数。代数。例例 设设L=a,b|a b,a,b 0,1.a,b,c,d L,规定规定 a,b c,d a c,b d.则则L是完备格是完备格,且如下定义的映射且如下定义的映射 h:LL,h(a,b)=1 b,1 a 是是L上上的的伪伪补补。于于是是,A:XL是是L型型模模糊糊集集,这这种种模模糊糊集集在在区区间分析中是十分有用的。间分析中是十分有用的。4.区间值模糊集区间值模糊集 许许多多情情况况下下很很难难用用一一个个确确切切的的数数值值来来表表达达一一个个对对象象隶隶属属于于一一个个模模糊糊概概念念的的程程度度。经经验验告告诉诉我我们们,用用一一个个数数值值范范围围来来描描述述某某点点对对一一个个模模糊糊概概念念的的相相关关程程度度会会相相对对容容易易一一些些,这就产生了区间值模糊集。这就产生了区间值模糊集。X X1 1A A-(x)(x)A A+(x)(x)