机械制图平面的投影及相对位置

1 1三峡大学三峡大学1.4 1.4 平面的投影平面的投影一、平面的表示法一、平面的表示法a ab bc ca a b b c c 不在同一直线不在同一直线上的三个点上的三个点a ab bc ca a b b c c a ab bc ca a b b c c d dd d 两平行直线两平行直线a ab bc ca a b b c c 两相交直线两相交直线*a ab bc ca a b b c c 平面图形平面图形1 1、用几何元素表示平面、用几何元素表示平面直线及线外一点直线及线外一点2 2三峡大学三峡大学2.2.迹线表示法迹线表示法(见书本见书本P33)P33)空间平面与投影面的交线空间平面与投影面的交线叫平面的迹线。叫平面的迹线。平面平面P P与与H H面的交线为面的交线为水平迹线水平迹线P PH H，与，与V V面的交线为面的交线为正面迹正面迹线线P PV V，与，与W W面的交线为面的交线为侧面迹线侧面迹线P PW W。3 3三峡大学三峡大学平行平行垂直垂直倾斜倾斜实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性二、平面的投影二、平面的投影平面平面/投影面投影面投影反映实形面投影反映实形面平面平面投影面投影面投影积聚成直线投影积聚成直线平面平面投影面投影面投影类似原平面投影类似原平面4 4三峡大学三峡大学 各种位置平面的投影各种位置平面的投影(三类七种情况三类七种情况)投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 铅垂面铅垂面(H)正垂面正垂面(V)侧垂面侧垂面(W)水平面水平面(/H)正平面正平面(/V)侧平面侧平面(/W)5 5三峡大学三峡大学VWHPPH 铅垂面铅垂面投影特性：投影特性：1.abc积聚为一条线，积聚为一条线，与与OX、OYH的夹角的夹角反映反映、角；角；2.a b c、a b c 为为 ABC的类似形；的类似形；ABCacbababbaccc1 1）投影面垂直面的投影投影面垂直面的投影6 6三峡大学三峡大学VWHQQV 正垂面正垂面 投影特性：投影特性：1.a b c 积聚为一条线，与积聚为一条线，与OX、OZ的夹角的夹角反映反映、角；角；2.abc、a b c 为为 ABC的类似形。的类似形。ababbacccAcCabB7 7三峡大学三峡大学VWHSWS 侧垂面侧垂面投影特性：投影特性：1、a b c 积聚为一条线，积聚为一条线，与与OYW、OZ 的夹角的夹角反映反映、角角；2、abc、a b c 为为 ABC的类似形。的类似形。CabABcabbbaaccc8 8三峡大学三峡大学abca c b c b a 类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性铅垂面铅垂面投影特性：投影特性：1.在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。2.另两个投影面上的投影有类似性。另两个投影面上的投影有类似性。是什么位置是什么位置的平面？的平面？投影特征投影特征：一斜两类似：一斜两类似9 9三峡大学三峡大学VWH水平面水平面投影特性：投影特性：1.a b c/OX、a b c/OYW，分别分别积聚为直线积聚为直线;2.水平投影水平投影abc反映反映 ABC实形实形。CABabcbacabccabbbaacc2 2）投影面平行面的投影投影面平行面的投影1010三峡大学三峡大学正平面正平面VWH投影特性：投影特性：1.abc/OX、a b c /OZ，分别分别积聚为直线；积聚为直线；2.正面投影正面投影a b c 反映反映 ABC实形。实形。cabbacbcabacabcbcaCBA1111三峡大学三峡大学投影特性：投影特性：1.abc/OYY、a b c /OZ，分别分别积聚为直线；积聚为直线；2.侧平面投影侧平面投影a b c 反映反映 ABC实形。实形。侧平面侧平面VWHabbbacccabcbacabcCABa1212三峡大学三峡大学a b c a b c abc积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面水平面投影特性：投影特性：1.在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。2.另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。平行的直线。投影特征投影特征：两线一实形：两线一实形1313三峡大学三峡大学一般位置平面一般位置平面投影特性投影特性 1.abc、a b c 、a b c 均为均为 ABC的类似形；的类似形；2.不反映不反映、的真实角度。的真实角度。abcbacababbaccbacCAB3 3）一般位置平面的投影（一般位置平面的投影（三类似三类似）1414三峡大学三峡大学QHRV例：用有积聚性的迹线表示下列平面：过直线例：用有积聚性的迹线表示下列平面：过直线AB的的正垂面正垂面P；过点；过点C的正平面的正平面Q；过直线；过直线DE的水平面的水平面R。ababPVPH1515三峡大学三峡大学bac水平水平正垂正垂侧垂侧垂投影面平行面投影面平行面:两线一实形两线一实形投影面垂直面投影面垂直面:一斜两类似一斜两类似1616三峡大学三峡大学在平面内取在平面内取直线的方法直线的方法 定理一定理一若一直线过平面上的若一直线过平面上的两点，则此直线必在两点，则此直线必在该平面内。该平面内。定理二定理二若一直线过平面上的一点，若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面直线，则此直线在该平面内。内。平面上取任意直线平面上取任意直线三、平面上的直线和点三、平面上的直线和点1717三峡大学三峡大学abcb c a abcb c a d mnn m d例例1 1：已知平面由直线：已知平面由直线ABAB、ACAC所确定，试在平所确定，试在平面内任作一条直线。面内任作一条直线。解法一解法一解法二解法二根据定理二根据定理二根据定理一根据定理一有无数解。有无数解。1818三峡大学三峡大学例例2 2：在：在平面平面ABCABC内内作一条水平线，使其到作一条水平线，使其到H H面的面的距离为距离为10mm10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！1919三峡大学三峡大学 平面上取点平面上取点若点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。若点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。即：点在线上，则点在面上。即：点在线上，则点在面上。2020三峡大学三峡大学 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。线，然后再在该直线上确定点的位置。例例1 1：已知：已知K K点在平面点在平面ABCABC上，求上，求K K点的水平投影。点的水平投影。bacc a k b k 面上取点的方法：面上取点的方法：首先面上取线首先面上取线abcab k c d kd利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线通过在面内作辅助线(细实线细实线)求解求解2121三峡大学三峡大学例例2 2 已知已知 ABCABC给定一平面给定一平面,试判断点试判断点D D是否属于该平面。是否属于该平面。d dabcabcee点点D不属于平面不属于平面ABCd dabcabcee点点D属于平面属于平面ABC2222三峡大学三峡大学例例3 3：作出三角形：作出三角形ABCABC平面内三角形平面内三角形DEFDEF的水平投影。的水平投影。de求线先找两已知点，求线先找两已知点，求点先找已知线。求点先找已知线。aabccbfefd12122323三峡大学三峡大学四、相互垂直的两直线的投影特性四、相互垂直的两直线的投影特性 两直线同时平行于某一投影面时两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投，在该投影面上的投影反映直角。影反映直角。两直线中有一条平行两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。的投影反映直角。两直线均为一般位置直线时两直线均为一般位置直线时，在三个投，在三个投影面上的投影不一定反映直角。影面上的投影不一定反映直角。直角投影直角投影定理定理a c b abc.即要在投影图中画垂直或判断即要在投影图中画垂直或判断垂直，必须有投影面平行线。垂直，必须有投影面平行线。小结2424三峡大学三峡大学一、各种位置平面的投影特性一、各种位置平面的投影特性 一般位置平面（三类似）一般位置平面（三类似）投影面垂直面（一斜两类似）投影面垂直面（一斜两类似）投影面平行面（两线一实形）投影面平行面（两线一实形）三个投影为边数相等的类似多边形。三个投影为边数相等的类似多边形。在其垂直的投影面上的投影积聚成直线。在其垂直的投影面上的投影积聚成直线。另外两个投影为类似多边形。另外两个投影为类似多边形。在其平行的投影面上的投影反映实形。在其平行的投影面上的投影反映实形。另外两个投影积聚为直线。另外两个投影积聚为直线。ababbacccabbbaacccbbaaccbac2525三峡大学三峡大学二、平面上的点与直线二、平面上的点与直线(P27-30)(P27-30)平面上的点平面上的点 一定位于平面内的某条直线上一定位于平面内的某条直线上.平面上的直线（平面上的直线（求线先找已知点求线先找已知点）过平面上的两个点。过平面上的两个点。过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。ddabcabcee2626三峡大学三峡大学1.5 1.5 直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括相对位置包括平行、相交（垂直）。平行、相交（垂直）。一、平行问题一、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行 直线与平面平行直线与平面平行定理定理:若一直线平行于平面上的某一直线，若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必平行。则该直线与此平面必平行。即：将线面即：将线面/，转化为线线，转化为线线/2727三峡大学三峡大学 直线与平面平行直线与平面平行 1.1.1.1.当直线与特殊位置平面相平行时，直线的投影当直线与特殊位置平面相平行时，直线的投影平行平行于于平面的具有平面的具有积聚性积聚性的同面投影，如图。的同面投影，如图。gg/2.2.当直线与平面都为特殊情况且平行时，直线与平面当直线与平面都为特殊情况且平行时，直线与平面的的积聚性投影积聚性投影在同面投影上。在同面投影上。特殊情况：特殊情况：2828三峡大学三峡大学例例1 1：过：过A A点作平面平行于线段点作平面平行于线段BCBC。bbc ccaaXOdd 作图：作图：ad/bcad/bc，ad/bcad/bc故，故，BC/BC/平面平面DAFDAF分析：分析：线线线线/，则线面则线面/；过；过A A点点做直线做直线AD/BCAD/BC。ff可过可过A A点任意点任意作直线作直线AFAF2929三峡大学三峡大学n a c b m abcmn有无数解有无数解分析分析:过过M M点作点作一条一条/平面内平面内的任意直线的的任意直线的直线直线,即得即得.例例2 2：过：过M M点作直线点作直线MNMN平行于平面平行于平面ABCABC。3030三峡大学三峡大学正平线正平线c c b b a a m m a abc cm mn n唯一解唯一解n n 分析分析:在平面在平面ABCABC内作一条正平线内作一条正平线,MN/,MN/此正平线此正平线,即得即得.例例3 3：过：过M M点作直线点作直线MNMN平行于平行于V V面和平面面和平面ABCABC。3131三峡大学三峡大学 若一平面上的若一平面上的两相交直线两相交直线对应平行于另一平面上的对应平行于另一平面上的两相两相交直线交直线，则这两平面相互平行。，则这两平面相互平行。若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平行，相互平行，则它们则它们具有积聚性具有积聚性的那组投影的那组投影必相互平行必相互平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef2.2.两平面平行两平面平行/3232三峡大学三峡大学 平行平行举例例例 判断下列两平面是否平行判断下列两平面是否平行不平行不平行3333三峡大学三峡大学直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交 直线与平面相交直线与平面相交(实物实物)直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点交点是直线与平面的是直线与平面的共有点，且交共有点，且交点点是直线与平面可见与不可见的是直线与平面可见与不可见的分界点。分界点。要讨论的问题：要讨论的问题：求求直线与平面的直线与平面的交点。交点。判别两者之间的相互遮挡的判别两者之间的相互遮挡的可见性。可见性。我们只讨论直线与平面中至少我们只讨论直线与平面中至少有一个元素处于特殊位有一个元素处于特殊位置的情况置的情况（直线特殊或者平面特殊）。（直线特殊或者平面特殊）。二、相交问题二、相交问题3434三峡大学三峡大学（1 1）.直线与平面相交（直线与平面相交（平面为特殊位置）平面为特殊位置）VHPHPABCacbkNKM3535三峡大学三峡大学abcmnc n b a m 1.1.空间空间及投影分析及投影分析 平面平面ABCABC是一铅垂面，其水平投是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与影积聚成一条直线，该直线与mnmn的交的交点即为点即为K K点的水平投影。点的水平投影。求交点求交点 判别可见性（判别可见性（V V面）面）由水平投影可知，由水平投影可知，KNKN段在平面段在平面ABCABC前，故正面投影上前，故正面投影上k k n n 为可见。为可见。再再根据根据:交点是可见与不可见的分界点交点是可见与不可见的分界点，求得求得k k m m 上一段不可见。上一段不可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。k 1(2)2.2.作图作图k21抓住交点是共抓住交点是共有点的特点有点的特点例：求直线例：求直线MNMN与平面与平面ABCABC的交点的交点K K并判别可见性并判别可见性3636三峡大学三峡大学（2 2）直线为特殊位置直线为特殊位置3737三峡大学三峡大学km(n)bm n c b a ac 直线为特殊位置直线为特殊位置1.1.空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MNMN为铅垂线，其水平为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点投影积聚成一个点，故交点K K的水平投影也积聚在该点上。的水平投影也积聚在该点上。求交点求交点 判别可见性（判别可见性（V V面）面）用重影点判断用重影点判断 点点位于平面上，在前；点位于平面上，在前；点位位于于MNMN上，在后。故上，在后。故k k 2 2 为不可见为不可见。1(2)k 212.2.作图作图用面上取点法用面上取点法3838三峡大学三峡大学两平面相交两平面相交(实物实物)两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是交线是两平面的两平面的共有线，共有线，同时同时交线上的点交线上的点都是两平面的都是两平面的共有点，交线共有点，交线是两平面可见与是两平面可见与不可见的不可见的分界线。分界线。要讨论的问题：要讨论的问题：求两平面的交线求两平面的交线方法：方法：确定两平面的确定两平面的两个共有点。两个共有点。确定确定一个共有点及交线的方向。一个共有点及交线的方向。只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况（即只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况（即两种情况：一个平面处于特殊，两个平面都处于特殊）。两种情况：一个平面处于特殊，两个平面都处于特殊）。判别两平面之间的相互遮挡的判别两平面之间的相互遮挡的可见性。可见性。3939三峡大学三峡大学（1 1）两平面都为特殊平面）两平面都为特殊平面4040三峡大学三峡大学可通过正面投影直可通过正面投影直观地进行判别。观地进行判别。abcdefc f d b e a m(n)1.1.空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC与与DEFDEF都为都为正垂面正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线交线必为一条正垂线。求交线求交线 判别可见性（判别可见性（H H面）面）2.2.作图作图 从正面投影上可看出，在从正面投影上可看出，在交线左侧，平面交线左侧，平面ABCABC在上，其在上，其水平投影可见。水平投影可见。nm例例1 1：求两平面的交线：求两平面的交线MNMN，并判别可见性。，并判别可见性。4141三峡大学三峡大学VH（2 2）.其中一平面为特殊平面其中一平面为特殊平面FBACEHabcMNmnP4242三峡大学三峡大学b c f h a e abcefh1.1.空间及投影分析空间及投影分析 平面平面EFHEFH是一水平面，它的正是一水平面，它的正面投影有积聚性。面投影有积聚性。a a b b 与与e e f f hh的交点的交点m m 、b b c c 与与eef f h h 的交点的交点n n,即为两平即为两平面的两个共有点的正面投影，故面的两个共有点的正面投影，故m m n n 是是MNMN的正面投影的正面投影。求交线求交线 判别可见性判别可见性(H(H面面)m m n n bb在在efhefh上上面，面，故水平投影故水平投影mnbmnb可见，其他可见，其他可见性可根据投影特点得出。可见性可根据投影特点得出。2.2.作图作图mn nm（2 2）.其中一平面为特殊平面（求交线其中一平面为特殊平面（求交线MNMN）4343三峡大学三峡大学c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N N点的水平投影点的水平投影n n位于位于defdef的外面，说明点的外面，说明点N N位于位于DEFDEF所确定的平面内，但不所确定的平面内，但不位于位于DEFDEF这个图形内。这个图形内。所以所以ABCABC和和DEFDEF的交线的交线应为应为MKMK。nn m kmk 互交互交KNKN后面的蓝色后面的蓝色平面的投影平面的投影4444三峡大学三峡大学三、垂直问题三、垂直问题 1.1.直线与平面直线与平面 与铅垂面垂直的直线为水平线与铅垂面垂直的直线为水平线,H面面;与正垂面垂直的直线是正平线与正垂面垂直的直线是正平线,V面面.与铅垂线垂直的平面是水平面与铅垂线垂直的平面是水平面,V;与正垂线垂直的平面是正平面与正垂线垂直的平面是正平面,H.1 1）平面特殊）平面特殊投影面投影面垂直面垂直面的直线是投影面的直线是投影面平行线平行线，并在平面积聚性投影上反映，并在平面积聚性投影上反映直角；直角；即即2 2）直线特殊）直线特殊投影面投影面垂直线垂直线的平面是投影面的平面是投影面平行面平行面，并在平面积聚性投影上反映，并在平面积聚性投影上反映直角；直角；即即作点作点A A到平面到平面CDEFCDEF的距离？的距离？（EFDEFD呢？）呢？）4545三峡大学三峡大学2.2.平面与平面垂直平面与平面垂直只介绍只介绍两个投影面垂直面相垂直：两个投影面垂直面相垂直：它们的交线为投影面的垂直线，且在积聚性的投影反映直角它们的交线为投影面的垂直线，且在积聚性的投影反映直角;pqqP下面举例下面举例