苏教版2-1排列组合与概率--9.10排列组合综合问题(第一课时)

苏教版苏教版2-12-1排列组合与概排列组合与概率率-9.10-9.10排列组合综合问排列组合综合问题题(第一课时第一课时)回回 顾顾 引入：前面我们已经学习和掌握了排列组引入：前面我们已经学习和掌握了排列组合问题的求解方法，下面我们要在复习、巩合问题的求解方法，下面我们要在复习、巩固已掌握的方法的基础上，学习和讨论排列、固已掌握的方法的基础上，学习和讨论排列、组合的综合问题和应用问题。组合的综合问题和应用问题。问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？应注意什么问题？应注意什么问题？解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用原理，可用分类法分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用理，可用位置法位置法；上述两种称；上述两种称“直接法直接法”,当问题的反面简单当问题的反面简单明了时，可通过求差排除法明了时，可通过求差排除法,采用采用“间接法间接法”；另外，排列；另外，排列中中“相邻相邻”问题可采用问题可采用捆绑法捆绑法；“分离分离”问题可用问题可用插空法插空法等。等。解排列组合问题，一定要做到解排列组合问题，一定要做到“不重不重”、“不漏不漏”。排列组合、排列组合、不重不漏不重不漏注意问题：注意问题：解题方法：解题方法：互斥分类互斥分类-分类法分类法先后有序先后有序-位置法位置法 反面明了反面明了-排除法排除法相邻排列相邻排列-捆绑法捆绑法分离排列分离排列-插空法插空法一一.排列组合综合问题排列组合综合问题 例例1：有：有12 人。按照下列要求分配，求不同人。按照下列要求分配，求不同 的分法种数。的分法种数。分为两组，一组分为两组，一组7人，一组人，一组 5人；人；分为甲、乙两组，甲组分为甲、乙两组，甲组 7人，乙组人，乙组5人；人；分为甲、乙两组，一组分为甲、乙两组，一组 7人，一组人，一组5人；人；分为甲、乙两组，每组分为甲、乙两组，每组6人；人；分为两组，每组分为两组，每组 6人；人；要求：审清题意、仔细分析、周密考虑、防止重漏。要求：审清题意、仔细分析、周密考虑、防止重漏。分析：把分析：把12 人分成两组，一组人分成两组，一组7人，一组人，一组5人与把人与把12人分成甲、乙两组，甲组人分成甲、乙两组，甲组7人，乙组人，乙组5人，实质上是一样的，人，实质上是一样的，都必须分成两步：第一步从都必须分成两步：第一步从12 人中选出人中选出7人组成一组（或甲人组成一组（或甲组）有组）有C127种方法；第二步，剩余的种方法；第二步，剩余的5人组成一组（或乙组）人组成一组（或乙组）有有C55种方法。所以总的分配种数为种方法。所以总的分配种数为C127.C55种。种。所以所以、分配种数都为分配种数都为C127.C55分配问题分配问题:思考：把思考：把12 人分为甲、乙两组，一组人分为甲、乙两组，一组7人，人，一组一组5人人,与与 比较比较,有何相同和不同地方有何相同和不同地方?相同地方都是分成两组相同地方都是分成两组,一组一组7 人人,一组一组5 人人,有有C127.C55种；所不同的种；所不同的是一组是一组7人，一组人，一组5人，并没人，并没有指明甲乙谁是有指明甲乙谁是7人，谁是人，谁是5人，要考虑甲乙的顺序，人，要考虑甲乙的顺序，所以要再乘以所以要再乘以P22，所以，所以总的种数为总的种数为C127.C55.A22。点评：上述问题是非平均分配问题，点评：上述问题是非平均分配问题，没有指出组名没有指出组名给出了组名，而且指明了谁是几个人。这在非平均分给出了组名，而且指明了谁是几个人。这在非平均分配中是一样的。而配中是一样的。而 虽然给出了组名，却没有指明谁是虽然给出了组名，却没有指明谁是几个人，所以这时有顺序问题。几个人，所以这时有顺序问题。注意：注意：求求给出了组名，却没有指明哪组多少人的种数给出了组名，却没有指明哪组多少人的种数，可以可以先算未给出组名先算未给出组名（或给出组名并指明哪组多少人）（或给出组名并指明哪组多少人）的种数，然后乘以组数的阶乘。的种数，然后乘以组数的阶乘。分为甲、乙两组，一组分为甲、乙两组，一组7人，一组人，一组5人；人；分析：把分析：把12个人分为甲、乙两组，每组个人分为甲、乙两组，每组6人，人，可分成两步，第一步，从可分成两步，第一步，从12人中抽出人中抽出6人给甲组，人给甲组，有有C126种，余下的种，余下的6人给乙组有人给乙组有C66种，所以种，所以共有共有C126.C66种种.由于没有组名，与由于没有组名，与比较，比较，显然显然分成甲、乙两组是有分成甲、乙两组是有顺序的，如顺序的，如123456分在甲组与分在甲组与123456分在乙组是不一样的，而分在乙组是不一样的，而作为分成两组却是一样的。有顺序的多，无顺序的少，象非作为分成两组却是一样的。有顺序的多，无顺序的少，象非平均分配一样，有组名的种数应该是无平均分配一样，有组名的种数应该是无组名的种数的关于组数组名的种数的关于组数的阶乘倍。的阶乘倍。所以在所以在的基础上除以组数的阶乘的基础上除以组数的阶乘，即，即12个人分个人分为两组，每组为两组，每组 6人的种数为人的种数为C126.C66/A22种。种。点评：上述点评：上述 属于平均分配问题，属于平均分配问题，求没求没有给出组名的种数，可以先求有给出组名的种数，可以先求给出组名的种给出组名的种数数，再除以组数的阶乘！，再除以组数的阶乘！分为甲、乙两组，每组分为甲、乙两组，每组6人；人；分为两组，每组分为两组，每组6人；人；分为三组，一组分为三组，一组5人，一组人，一组4人，一组人，一组3人；人；分为甲、乙、丙三组，甲组分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组人，乙组4人人,丙组丙组3人；人；分为甲、乙、丙三组，一组分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组人，一组4人，一组人，一组3人；人；分为甲、乙、丙三组，每组分为甲、乙、丙三组，每组4人；人；分为三组，每组分为三组，每组4人。人。练习：有练习：有12 人。按照下列要求分配，人。按照下列要求分配，求不同的分法种数。求不同的分法种数。答案答案C125.C74.C33 C125.C74.C33 C125.C74.C33.A33C124.C84.C44分成三组，其中一组分成三组，其中一组2人，另外两组都是人，另外两组都是 5人。人。C122.C105.C55 A22 C124.C84.C44 A33 小结小结：例例1与练习与练习1说明了非平均分配、平均说明了非平均分配、平均分配以及部分平均分配问题。分配以及部分平均分配问题。1.非平均分配问题中，没有给出组名与给出非平均分配问题中，没有给出组名与给出组名是一样的，可以直接分步求；给出了组名组名是一样的，可以直接分步求；给出了组名而没指明哪组是几个，可以在没有给出组名而没指明哪组是几个，可以在没有给出组名（或给出组名但不指明各组多少个）种数的（或给出组名但不指明各组多少个）种数的基础上基础上乘以乘以组数的全排列数。组数的全排列数。2.平均分配问题中，给出组名的分步求；若没给出组名的，平均分配问题中，给出组名的分步求；若没给出组名的，一定要在给出组名的基础上一定要在给出组名的基础上除以除以组数的全排列数。组数的全排列数。3.部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是 平均分配。这样分配问题就解决了。平均分配。这样分配问题就解决了。结论结论：给出组名：给出组名(非平均中未指明非平均中未指明各组个数）的要在未给出组名的种各组个数）的要在未给出组名的种数的基础上，乘以组数的阶乘。数的基础上，乘以组数的阶乘。例例2：求不同的排法种数。：求不同的排法种数。6男男2女排成一排，女排成一排，2女相邻；女相邻；6男男2女排成一排，女排成一排，2女不能相邻；女不能相邻；4男男4女排成一排，同性者相邻；女排成一排，同性者相邻；4男男4女排成一排，同性者不能相邻。女排成一排，同性者不能相邻。分析：分析：由由2女捆绑成一人与女捆绑成一人与6男全排列男全排列,再把再把2女全排列，女全排列，有有A77.A22种种 “捆绑法捆绑法”把把6男男2女女8人全排列，扣去人全排列，扣去 2 女女“相邻相邻”就是就是2女女“不相邻不相邻”，所以有所以有A88-A77.A22种。种。“排除法排除法”还可用还可用“插空法插空法”直接求解：先把直接求解：先把6男全排列，再在男全排列，再在6男相邻男相邻的的7个空位中排个空位中排2女，所以共有女，所以共有A66.A72种种.分离排列问题分离排列问题:思考思考:对于不相邻的分离排列能否都用对于不相邻的分离排列能否都用“排除法排除法”?若改若改5男男3女女 排成一列排成一列,3女不相邻女不相邻,用排除法得用排除法得 对吗对吗?(反面不明了反面不明了:有有3女相邻，两两相邻等几种情况。女相邻，两两相邻等几种情况。)4男男4女排成一列，同性者相邻，把女排成一列，同性者相邻，把4男、男、4女女捆绑成一个排列，然后同性者之间再全排列，所捆绑成一个排列，然后同性者之间再全排列，所在地共有在地共有A22.A44.A44种。种。“捆绑法捆绑法”本题可否用排除法得排列总数为：本题可否用排除法得排列总数为：A88-A22.A44.A44；或用简单插空法得排列总数为：或用简单插空法得排列总数为：A44.A54?错！错！用排除法时，反面要明了，而这里反面不明了，用排除法时，反面要明了，而这里反面不明了，还有还有2人或人或3人人相邻的相邻的。用简单插空法可能出现两男或两。用简单插空法可能出现两男或两女相邻的情况。如女相邻的情况。如“女男男女男女男女女男男女男女男女”。同性不相邻必须男女都排好，即男奇数位，同性不相邻必须男女都排好，即男奇数位，女偶数位，或者对调。女偶数位，或者对调。总排列数为总排列数为A22.A44.A44种。种。由此可见，分离排列问题，不能简单地用插空法或由此可见，分离排列问题，不能简单地用插空法或排除法要根据具体的情况具体分析。排除法要根据具体的情况具体分析。例例3：某乒乓球队有：某乒乓球队有8男男7女共女共15名队员，名队员，现进行混合双打训练，两边都必须要现进行混合双打训练，两边都必须要1男男1女，女，共有多少种不同的搭配方法。共有多少种不同的搭配方法。分析：每一种搭配都需要分析：每一种搭配都需要2男男2女，所以女，所以先要选出先要选出2男男2女，有女，有C82.C72种；种；然后考虑然后考虑2男男2女搭配，有多少种方法？女搭配，有多少种方法？男女男女-男女男女 Aa-Bb Ab-Ba Bb-Aa Ba-Ab 显然：显然：与与；与与在搭配在搭配上是一样的。所以上是一样的。所以只有只有2种方法，种方法，所以总的搭配方法有所以总的搭配方法有2 C82.C72种。种。搭配问题搭配问题:先组后排先组后排 例例4:高二某班要从高二某班要从7名运动员出名运动员出4名组成名组成4100 米接力队，参加校运会，其中甲，乙两人都不跑中米接力队，参加校运会，其中甲，乙两人都不跑中 间两棒的安排方法有多少种？间两棒的安排方法有多少种？分析：从分析：从7人中选出人中选出4人分别安排在第一、二、三、四人分别安排在第一、二、三、四棒这个事，与组合和排列都有关，这里对甲、乙又有特棒这个事，与组合和排列都有关，这里对甲、乙又有特殊的要求，这就有几种不同的情况，所以要分类考虑，殊的要求，这就有几种不同的情况，所以要分类考虑，先考虑先考虑4人的选取有几类？人的选取有几类？再考虑谁跑哪棒。再考虑谁跑哪棒。直接法：直接法：先组：先组：分三类。第一类，没有甲、乙，有分三类。第一类，没有甲、乙，有C54种；第二类，有甲无乙或有乙无甲，有种；第二类，有甲无乙或有乙无甲，有 2C53种；种；第三类，既有甲又有乙。有第三类，既有甲又有乙。有C52种。种。分离排列问题分离排列问题:引例引例（曾经作过的题）：（曾经作过的题）：4名运动员出名运动员出组成组成4100米接力队，参加校运会，其中米接力队，参加校运会，其中甲，乙两人不同时跑中间两棒的安排方甲，乙两人不同时跑中间两棒的安排方法有多少种？法有多少种？第一类无甲乙情况：可把第一类无甲乙情况：可把4人全排列，有人全排列，有A44 种；种；第二类甲乙只有一人情况：甲或乙第二类甲乙只有一人情况：甲或乙 先考虑有先考虑有A21种余下的三人全排列有种余下的三人全排列有A33种；第三类甲乙都有的种；第三类甲乙都有的情况：先考虑甲乙有情况：先考虑甲乙有A22种，余下的有种，余下的有A22种。种。所以，第一类有所以，第一类有C54.A44种种,第二类有第二类有2C53.A21.A32种种,第三类有第三类有C52.A22.A22种。由加法原理；总的安排种。由加法原理；总的安排方法有方法有N=C54.A44+2C53.A21.A33+C52.A22.A22（种）（种）注意：注意：排列组合综合题在求解中的分类十分重要，排列组合综合题在求解中的分类十分重要，大家要认真体会，理解其思路和方法是大家要认真体会，理解其思路和方法是先组后排先组后排。再考虑每一类中要如何安排棒数？再考虑每一类中要如何安排棒数？本例很难象引例那样用间接法解。本例很难象引例那样用间接法解。例例5:f是集合是集合M=a,b,c,d到到N=0,1,2的映射，的映射，且且f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4,则不同的映射有多则不同的映射有多少个？少个？解：根据题意，集合解：根据题意，集合M中元素中元素a、b、c、d对应对应到集合到集合N中元素的情形分别为中元素的情形分别为1、1、1、1；1、1、0、2；0、0、2、2三种类型三种类型则不同的映射个数共有：则不同的映射个数共有：例例6:用用0、1、2、3、9这十个数字组成五位数，这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的 五位五位数有多少个？数有多少个？解法一：分类：解法一：分类：第一类，含有第一类，含有0的满足条件的五的满足条件的五位数，位数，第二类，不含有第二类，不含有0的五位数，的五位数，总共有总共有C53C41A41A44+C53C42A55=11040解法二：排除法：解法二：排除法：总的含有三个奇数数字和两总的含有三个奇数数字和两个偶数数字的五位数个偶数数字的五位数,有有C53C52A55个个排除掉以排除掉以0为首位的那些五位数为首位的那些五位数,C53C41A44共有共有N=C53C52A55 C53C41A44=11040有有C53C41A41A44个个有有C53C42A55个个2、210的正约数有多少个？的正约数有多少个？1、从单词、从单词“equation”中选取中选取5个不同的字母排成一排，个不同的字母排成一排，含有含有“qu”(其中其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列有多相连且顺序不变）的不同排列有多少？少？课堂练习：课堂练习：3、在、在MON的边的边ON上有上有5个异于个异于O点的点点的点,OM上有上有4个异于个异于O点的点点的点,以这十个点以这十个点(含含O)为顶点为顶点,可以得到多可以得到多少个三角形少个三角形?NOMABCDEFGHI（为什么？）（为什么？）4、如图，在以、如图，在以AB为直径的半圆周上有异于为直径的半圆周上有异于A、B的六个的六个点点C1，C2，C3，C4，C5，C6，AB上有异于上有异于A、B的四个的四个点点D1，D2，D3，D4，问：，问：(1)以这以这10个点中的个点中的3个点为顶点可作多少个三角形个点为顶点可作多少个三角形?(2)以图中以图中12个点个点(包括包括A、B)中的四个为顶点，可作多中的四个为顶点，可作多少个四边形少个四边形?ABD1D2D3D4C1C2C3C4C5C65、有、有4个不同的球，个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒个不同的盒子，把球全部放入盒内，内，共有多少种放法？共有多少种放法？恰有一个盒内有恰有一个盒内有2个球，有个球，有多少种放法？多少种放法？恰有两个盒不放球，有多少种放法？恰有两个盒不放球，有多少种放法？；课堂小结课堂小结 本节课，对几个例子的分析讨论，总结了分配问本节课，对几个例子的分析讨论，总结了分配问题，分离排列问题，以及排列组合综合题的解法。题，分离排列问题，以及排列组合综合题的解法。解排列组合综合题一般应遵循：解排列组合综合题一般应遵循：“先组后排先组后排”的的原则。解题时一定要注意原则。解题时一定要注意“不重、不漏不重、不漏”。解题方法：解题方法：互斥分类互斥分类-分类法分类法先后有序先后有序-位置法位置法 反面明了反面明了-排除法排除法相邻排列相邻排列-捆绑法捆绑法分离排列分离排列-插空法插空法练练习习 1.某班有某班有23男男37女共女共60名学生，拟派出名学生，拟派出2个个辩论队，每队辩论队，每队3人，各人，各1男男2女，共有多少种不女，共有多少种不同的搭配方法。同的搭配方法。2.高二要从全级高二要从全级10名独唱选手中选出名独唱选手中选出6名在歌咏名在歌咏会上表演，出场安排甲，乙两人都不唱中间两位会上表演，出场安排甲，乙两人都不唱中间两位的安排方法有多少种？的安排方法有多少种？3.15 人按照下列要求分配，求不同的人按照下列要求分配，求不同的分法种数。分法种数。(1)分为三组，每组分为三组，每组5人人,共有共有_ 种不同的分法。种不同的分法。（2）分为甲、乙、丙三组，一组）分为甲、乙、丙三组，一组7人，另两组各人，另两组各4人，共有人，共有_种不同的分法。种不同的分法。（3）分为甲、乙、丙三组，一组）分为甲、乙、丙三组，一组6人，一组人，一组5人，人，一组一组4人，共有人，共有_种不同的分法。种不同的分法。4.8名同学选出名同学选出4名站成一排照相，其中甲、乙两名站成一排照相，其中甲、乙两人都不站中间两位的排法有人都不站中间两位的排法有_ _ _种。种。5.某班有某班有27名男生名男生13女生，要各选女生，要各选3人组成人组成班委会和团支部每队班委会和团支部每队3人，人，3人中人中2男男1女，共有女，共有_ 种不同的选法。种不同的选法。结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！22