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复数的基本概念和运算复数的基本概念和运算1、复数、复数z=x+iy或 z=x+yi注意：注意：(1)2个复数不能比较大小个复数不能比较大小;(2)当且仅当实部、虚部分别相等时复数才相等。当且仅当实部、虚部分别相等时复数才相等。12、复数的表示复数的表示直角坐标：z=x+iy复平面与直角坐标平面上的点一一对应向量表示 模幅角三角表示：指数表示：0 xyOxyqPz=x+iy|z|=rz=0时辐角不确定2辐角主值公式：辐角主值公式：2341xy33、复数运算复数运算加法、减法：加法、减法：乘法乘法:除法除法:运算法则:z1+z2=z2+z1 z1z2=z2z1z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3z1(z2z3)=(z1z2)z3z1(z2+z3)=z1z2+z1z34乘积：乘积：z1=r1(cosq1+isinq1),z2=r2(cosq2+isinq2),z1z2=r1r2cos(q1+q2)+isin(q1+q2)于是:|z1z2|=|z1|z2|Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2模相乘；辐角相加。模相乘；辐角相加。商：商：模相除；辐角相减模相除；辐角相减幂：幂：根：根：注意根的注意根的多多值性！值性！5区域区域：平面点集：平面点集D D称为区域称为区域,必须满足下列两个条件：必须满足下列两个条件：1 1）D D是一个开集。是一个开集。2 2）D D是连通的。是连通的。不连通单连通域：单连通域：区域区域B B中任做一条简单闭曲线，曲线内中任做一条简单闭曲线，曲线内 部总属于部总属于B B，称，称B B为单连通区域。为单连通区域。多连通域：多连通域：不满足单连通域条件的区域。不满足单连通域条件的区域。单连通域多连通域区域的概念区域的概念6复变函数复变函数 w=f(z),z=x+iy,w=u(x,y)+iv(x,y)单值函数：单值函数：z 的一个值对应一个的一个值对应一个w值。值。多值函数：多值函数：z的一个值对应两个或以上的一个值对应两个或以上w值。值。反函数：反函数：z=g(w)复变函数的极限、连续性、可导、解析性的判定复变函数的极限、连续性、可导、解析性的判定71、极限、极限定理一：定理一：设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0条定理二：定理二：82、连续性、连续性复平面内，下列各式连续：复平面内，下列各式连续：项93、导数、导数定义在区域D内，称 可导10z0点：区域D：4、解析、解析使分母为零的点是它的奇点。11重要定理：重要定理：函数解析的条件函数解析的条件柯西柯西-黎曼黎曼(Cauchy-Riemann)方程方程12高高层层中中层层低低层层13初初 等等 函函 数数14多值！性质性质:15乘幂乘幂 16幂函数幂函数幂函数的解析性幂函数的解析性各分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的:各分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的:174.三角函数18第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分习题3-8(1)19CC1习题3-7(8)、3-9(1)20三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估估值值不不等等式式211、调和函数的定义四、解析函数与调和函数的关系 2、解析函数和调和函数的关系定理：定理：任何在区域 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数，即有：223、共轭调和函数区域区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.4、偏积分法和不定积分法求解析函数（简单了解即可简单了解即可）如果已知一个调和函数u,利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数v,从而构成一个解析函数u+vi的方法称为偏积分法.23一、一、复数项级数的一些基本概念复数项级数的一些基本概念 1、复数列 收敛的充要条件:同时收敛.2、复级数:收敛的充要条件:同时收敛.3、复级数绝对收敛:绝对收敛的充要条件:同时绝对收敛.第四章第四章 级级 数数24 收敛范围为圆域收敛范围为圆域,圆内绝对收敛圆内绝对收敛,圆外发散圆外发散,圆上不定圆上不定.1 1、收敛定理：收敛定理：(阿贝尔阿贝尔AbelAbel定理定理)如果级数 在 收敛,那么对满足 的z,级数必绝对收敛绝对收敛,如果在 级数发散,那么对满足 的z,级数必发散。二二、幂级数：、幂级数：幂级数的收敛半径的情况有三种幂级数的收敛半径的情况有三种:(1)(1)对所有的正实数都收敛对所有的正实数都收敛.级数在复平面内处处绝对收敛级数在复平面内处处绝对收敛:(2)(2)对所有的正实数除对所有的正实数除z z=0=0外都发散外都发散.级数在复平面内除原点外处处发散级数在复平面内除原点外处处发散:例如例如,级数级数(3)(3)既存在使级数发散的正实数既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收敛的正实数也存在使级数收敛的正实数.级数在收敛圆内处处绝对收敛级数在收敛圆内处处绝对收敛 252、收敛半径求法、收敛半径求法:如果如果:3、性质、性质:和函数和函数 在收敛圆内在收敛圆内:解析解析,可逐项求导可逐项求导,可逐项积分可逐项积分.习题4-6264 4、幂级数的运算和性质、幂级数的运算和性质(1)(1)幂幂级数的有理运算级数的有理运算(2)幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算如果当如果当时时,又设在又设在内内解析且满足解析且满足那么当那么当时时,说明说明:此代换运算常应用于将函数展开成幂级数此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.习题4-1127答案答案:幂级数幂级数的收敛范围是何区域的收敛范围是何区域?问题问题1:在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出不能作出一般的结论一般的结论,要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.答案：答案：问题问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?有关幂级数的两个关键问题：有关幂级数的两个关键问题：28三三、泰勒级数、泰勒级数:定理定理:在以在以 为中心的圆域内解析的函数为中心的圆域内解析的函数 f(z)，可以在该圆域内展开成可以在该圆域内展开成 的幂级数。的幂级数。泰勒级数展开式求法泰勒级数展开式求法:直接法直接法,间接法间接法.29常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式30四、洛朗级数：四、洛朗级数：洛朗级数展开式求法洛朗级数展开式求法:1.直接法直接法 2.间接法间接法 在计算闭路积分中的应用：在计算闭路积分中的应用：令n=-1,得或习题4-16(2)31第五章第五章 留数留数32零点与极点零点与极点 ：零点定义：零点定义：f(z)=0f(z)=0的点的点习题5-1(1、2、4)33(1)(2)利用留数求积分(3)求留数的3个规则：习题5-9(1、2)34习题5-13(1)35习题5-13(3)36习题5-13(5)37
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