基本不等式实际应用题

1.1.两个不等式两个不等式（1 1）（2 2）变式变式1 1变式变式2 2 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立如果a0，b0，（当且仅当（当且仅当a=b时取时取“”号）号）（1）如果）如果a，b0，且，且abP（定值定值），那么），那么a+b有最有最_值值_(当且仅当当且仅当_时取时取“=”）.（2）如果）如果a，b0，且，且abS（定值定值），那么），那么ab有最有最_值值_(当且仅当当且仅当_时取时取“=”）.2.利用基本不等式求最值问题：利用基本不等式求最值问题：小小大大利用基本不等式求最值的条件：利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。一正、二定、三相等。a=ba=b应用基本不等式求最值的条件：应用基本不等式求最值的条件：a a与与b b为正实数为正实数若等号成立，若等号成立，a a与与b b必须能必须能够相等够相等一正一正二定二定三相等三相等积定和最小积定和最小和定积最大和定积最大 重要变形重要变形2基础知识基础知识（由小到大）（由小到大）（1）把）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ab=36当a=b=6时，和a+b最小为12a+b=18当a=b=9时，积ab最大为81不等式不等式是一个基本不等式，它在解决实际问题中由广泛的应用，是一个基本不等式，它在解决实际问题中由广泛的应用，是解决是解决最大（小）值最大（小）值问题的有力工具。问题的有力工具。【应用练习】例例1:1:某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池,其容积为其容积为4800m4800m3 3,深为深为3m.3m.如果池底每平方米如果池底每平方米的造价为的造价为150150元元,池壁每平方米的造价为池壁每平方米的造价为120120元元,怎样设计水池能使总造价最低怎样设计水池能使总造价最低?最低总造最低总造价是多少价是多少?分析分析:水池呈长方体形水池呈长方体形,它的高是它的高是3m,3m,底面的长底面的长与宽没有确定与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了如果底面的长与宽确定了,水池的总造价也就确定了水池的总造价也就确定了.因此应当考察底因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。面的长与宽取什么值时水池总造价最低。解解:设底面的长为设底面的长为xm,xm,宽为宽为ym,ym,水池总造价为水池总造价为z z元元.根据题意根据题意,有有:由容积为由容积为4800m4800m3 3,可得可得:3xy=4800:3xy=4800因此因此 xy=1600 xy=1600由基本不等式与不等式的性质由基本不等式与不等式的性质,可得可得即即 当且仅当当且仅当x=y,x=y,即即x=y=40 x=y=40时时,等号成立等号成立 所以所以,将水池的底面设计成边长为将水池的底面设计成边长为40m40m的正方形的正方形时总造价最低时总造价最低,最低总造价为最低总造价为297600297600元元.练习：（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形菜园长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？100解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100篱笆的长为2（x+y）m由可得2（x+y）40当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=10这个矩形的长、宽都为这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m（2）一段长为）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？面积最大值是多少？最大？面积最大值是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(x+y)=36即 x+y=18=81当且仅当x=y=9时取等号 当这个矩形的长、宽都是9m的时候面积最大，为81m2xy（3）已知三角形的面积等于）已知三角形的面积等于50，两条直角边各，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？设三角形的两条直角边为x、y解：则s=xy=100当且仅当x=y=10时取等号当这个直角三角形的直角边都时10的时候，两条直角边的和最小为20（4）用）用20m长的铁丝折成一个面积最大的矩形，长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？应当怎样折？解：设矩形的长为设矩形的长为xm，宽为，宽为ym，则，则2(x+y)=20即 x+y=10=25 当且仅当x=y=5时取等号 当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大，为25xy（5）一段长为）一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长矩形菜园，墙长18m，问这个矩形的长、宽各，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？18m解：设菜园的长和宽分别为xm，ym则 x+2y=30 xy菜园的面积为s=xy=X2y=当且仅当x=2y时取等号即当矩形菜园的长为15m，宽为15/2 m时，面积最大为此时x=15，y=15/2练习：做一个体积为做一个体积为32，高为，高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？值时用纸最少？解：根据题意，有Z=2+4x+4y体积为322xy=32即xy=16由基本不等式与不等式的性质，可得z32+48=64xy2设底面的长为xm，宽为ym，需用纸z=32+4(x+y)=8当且仅当x=y时，取等号，此时x=y=4当x=y=4时，用纸最少为64