空间向量基本定理(上课用)

空间向量基本定理空间向量基本定理(上课上课用用)回顾复习回顾复习2、共线向量定理、共线向量定理中点公式：中点公式：若若P P为为ABAB中点中点,则则OABP3.A、B、P三点共线的充要条件三点共线的充要条件A、B、P三点共线三点共线平面向量基本定理：平面向量基本定理：如果是如果是同一平面内同一平面内两个不共线两个不共线的的向量，那么对于这一平面内的任一向量向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，有且只有一对实数，使，使思考思考1：空间任意向空间任意向量量与两个不共线与两个不共线的向量的向量共面时，共面时，它们之间存在怎样它们之间存在怎样的关系呢？的关系呢？二、共面向量二、共面向量OA(2)共面向量共面向量:平行于同一平面的向量叫做平行于同一平面的向量叫做共面向量共面向量 思考思考:空间任意两个向量是否一定共面?空间任意三个向量呢?ABCD(1).已知平面与向量 ,如果向量 所在的直线OA平行于平面或向量 在平面内,那么我们就说向量 平行于平面,记作 /.一定不一定三个向量共面，又称三个向量三个向量共面，又称三个向量线性相关线性相关，反之，反之，如果三个向量不共面，则称这三个向量如果三个向量不共面，则称这三个向量线性无关线性无关ABNCMA1B1C1说明：若证明一条直线说明：若证明一条直线a与一个平面与一个平面平行：平行：1、说明这条直线在平面外、说明这条直线在平面外2、直线上的一个向量可以分解为这个、直线上的一个向量可以分解为这个 平面内不平行的两个向量的分解式平面内不平行的两个向量的分解式练习、如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且 .求证：MN/平面CDE证明：=又与不共线根据共面向量定理，由于MN不在平面CDE中，所以MN/平面CDE.可知共面。ABCDEFNM思考思考2：有平面有平面ABC，若，若P点在此面内，点在此面内，须满足什么条件？须满足什么条件？结论结论:空间四点空间四点P、A、B、C共面共面 1.1.存在唯一有序实数对存在唯一有序实数对x,y使使 可证明或判断四点共面2.2.对空间任一点对空间任一点O O,有有3.3.能转化为都以能转化为都以O O为起点的向量吗？为起点的向量吗？2.已知点已知点M在平面在平面ABC内，并且对空间任意一点内，并且对空间任意一点O，,则则x的值为：的值为：D3.已知已知A、B、C三点不共线，对平面外一点三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点，在下列条件下，点P是否与是否与A、B、C共面？共面？平面向量基本定理平面向量基本定理这表明这表明这表明这表明:平面内任一向量可以用该平面内的两个不平面内任一向量可以用该平面内的两个不平面内任一向量可以用该平面内的两个不平面内任一向量可以用该平面内的两个不共线向量来线性表示共线向量来线性表示共线向量来线性表示共线向量来线性表示.在空间向量中在空间向量中在空间向量中在空间向量中,我们还可以作怎样的推广呢我们还可以作怎样的推广呢我们还可以作怎样的推广呢我们还可以作怎样的推广呢?即空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗即空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗即空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗即空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗?能否通过平面向量基本定理来类似地推出空间向量基能否通过平面向量基本定理来类似地推出空间向量基能否通过平面向量基本定理来类似地推出空间向量基能否通过平面向量基本定理来类似地推出空间向量基本定理呢本定理呢本定理呢本定理呢?问题问题情境情境猜想猜想:AODCBE注：注：空间任意三个不共面向量都可以构成空空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底间的一个基底.如：如：其中 叫做基向量如果三个向量如果三个向量 不共面不共面,那么对空间任一向那么对空间任一向量量 ,存在唯一有序实数组存在唯一有序实数组(x,y,z),(x,y,z),使得使得OAPACBBP证明证明:（1）先证）先证存在性存在性过点过点P作直线作直线PP OC，交平面，交平面OAB于点于点P；在平面在平面OAB内，过点内，过点P作直线作直线PA OB，PB OA，分别，分别交交直线直线OA，OB于点于点A，B.空间向量基本定理空间向量基本定理:（又称空间向量分解定理）（又称空间向量分解定理）存在实数则存在实数则(x,y,z),使使(2)再证再证惟一性惟一性用反证法用反证法2.假设存在实数组假设存在实数组,使使所以所以即即因因从而从而共面共面,这与这与不共面矛盾不共面矛盾,所以有序实数组所以有序实数组(x,y,z)惟一惟一.说明：说明：空间任意三个空间任意三个不共面不共面的向量都可以构成的向量都可以构成 空间的一个基底空间的一个基底 三个向量不共面就隐含着它们三个向量不共面就隐含着它们都不是零都不是零 向量向量（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非 零向量共面）零向量共面）一个基底是不共面的三个向量构成的一一个基底是不共面的三个向量构成的一 个向量组，一个基向量是指基底中的某个向量组，一个基向量是指基底中的某 一个向量一个向量数学运用数学运用练习练习共线共线共面共面例例2 2：已知空间四边形：已知空间四边形OABCOABC，对角线，对角线OBOB、ACAC，M M和和N N分别是分别是OAOA、BCBC的中点，点的中点，点G G在在MNMN上，且使上，且使MG=2GNMG=2GN，试用基底，试用基底 表示向量表示向量CBOAMNG解：在解：在OMG中，中，例例3.已知平行六面体已知平行六面体OABCOABC,且且，用，用 表示如下表示如下向量向量:(1)；(2)（点（点G是侧面是侧面BBCC的中心）的中心）C/BACOA/B/O/G2：(A)1(A)1个个个个(B)2(B)2个个个个(C)3(C)3个个个个(D)4(D)4个个个个C C小结小结:3.3.空间向量基本定理及推论空间向量基本定理及推论空间向量基本定理及推论空间向量基本定理及推论.(1)(1)注意空间向量基本定理就是空间向量分解定理，即注意空间向量基本定理就是空间向量分解定理，即注意空间向量基本定理就是空间向量分解定理，即注意空间向量基本定理就是空间向量分解定理，即空间任一向量可分解为三个方向上的向量之和；空间任一向量可分解为三个方向上的向量之和；空间任一向量可分解为三个方向上的向量之和；空间任一向量可分解为三个方向上的向量之和；(2)(2)介绍了空间向量基本定理的应用。选定空间不共面介绍了空间向量基本定理的应用。选定空间不共面介绍了空间向量基本定理的应用。选定空间不共面介绍了空间向量基本定理的应用。选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出指定的向量，的三个向量作为基向量，并用它们表示出指定的向量，的三个向量作为基向量，并用它们表示出指定的向量，的三个向量作为基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量法解立体几何问题的一项基本功。是用向量法解立体几何问题的一项基本功。是用向量法解立体几何问题的一项基本功。是用向量法解立体几何问题的一项基本功。1.1.共线向量定理共线向量定理.2.2.共面向量定理共面向量定理.4.共线向量定理是在一维空间中利用向量平移得到的，而平面向量基本定理是在二维空间中借助与向量加法的平行四边形法则推导的，空间向量基本定理是在三维空间中研究的。结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！24