《2412垂径定理1》课件 (2)

人教版九年级上册人教版九年级上册垂径定理垂径定理 垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分弦平分弦,并且平并且平分弦所对的两条弧。分弦所对的两条弧。CDABCDAB CD CD是直径，是直径，AE=BE,AE=BE,AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.OABCDE垂径定理推论垂径定理推论 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直的直径垂直于弦于弦,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。CDAB,CDAB,CD CD是直径，是直径，AE=BE AE=BE AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.OABCDE垂径定理的本质是垂径定理的本质是满足其中任两条，必满足其中任两条，必定同时满足另三条定同时满足另三条（1）一条直线过圆心）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分弦）这条直线平分弦（4）这条直线平分弦所对的优弧）这条直线平分弦所对的优弧（5）这条直线平分弦所对的劣弧）这条直线平分弦所对的劣弧判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分的两条弧分别三等分 如图，点如图，点P是半径为是半径为5 cm的的 O内一点，内一点，且且OP=3cm,则过则过P点的弦中，点的弦中，（1）最长的弦）最长的弦=cm（2）最短的弦）最短的弦=cm ABCD108543已知已知P为内一点，且内一点，且OP2cm，如果，如果的半径是的半径是，那么，那么过P点的最短点的最短的弦等于的弦等于.问题问题:你知道赵州桥吗你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形它的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.437.4m m,拱高拱高(弧弧的中点到弦的距离的中点到弦的距离)为为7.27.2m m，你能求出赵州桥主你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？赵州桥主桥拱的半径是多少？37.4m7.2mABOCD关于弦的问题，关于弦的问题，常常需要常常需要过圆心作过圆心作弦的垂线段弦的垂线段，这是，这是一条非常重要的一条非常重要的辅辅助线助线。圆心到弦的距离、圆心到弦的距离、半径、弦半径、弦构成构成直角直角三角形三角形，便将问题，便将问题转化为直角三角形转化为直角三角形的问题。的问题。ABOCD解：解：如图，用如图，用ABAB表示主桥拱，设表示主桥拱，设ABAB所在的圆的圆心为所在的圆的圆心为O O，半径为，半径为r.r.经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OCOC垂足为垂足为D D，与，与ABAB交于点交于点C C，则，则D D是是ABAB的中点，的中点，C C是是ABAB的中点，的中点，CDCD就是拱高就是拱高.AB=37.4m AB=37.4m，CD=7.2mCD=7.2m AD=1/2 AB=18.7m AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2OD=OC-CD=r-7.2 解得解得r=27.9r=27.9（m m）即即主桥拱半径约为主桥拱半径约为27.9m.27.9m.如如图为一一圆弧弧形拱形拱桥，半径，半径OA OA=10m=10m，拱高，拱高为4m4m，求拱，求拱桥跨度跨度ABAB的的长。垂径定理的应用垂径定理的应用例例2 2如图，一条公路的转变处是一段圆弧如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧即图中弧CD,CD,点点O O是弧是弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上的一点上的一点,且且OECDOECD垂足为垂足为F,EF=90m.F,EF=90m.求这段弯路的半径求这段弯路的半径.n解解:连接连接OC.OC.OCDEF船能过拱桥吗船能过拱桥吗?例例3.3.如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.27.2米米,拱顶高出水拱顶高出水面面2.42.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3 3米、船舱顶部为长方形并高出水面米、船舱顶部为长方形并高出水面2 2米的米的货船要经过这里货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？此货船能顺利通过这座拱桥吗？船能过拱桥吗船能过拱桥吗解解:如图如图,用用 表示桥拱表示桥拱,所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,O,半径为半径为Rm,Rm,经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OD,DOD,D为垂足为垂足,与与 相交于点相交于点C.C.根根据垂径定理据垂径定理,D,D是是ABAB的中点的中点,C,C是是 的中点的中点,CD,CD就是拱高就是拱高.由题设得由题设得在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得解得解得 R3.9（m）.在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.一条排水管的截面如图所示已知排水管的半径一条排水管的截面如图所示已知排水管的半径 OB=10 OB=10，水面宽，水面宽 AB=16 AB=16。求水深。求水深DC1088解解:作作 OC AB 于于 C,由垂径定理得由垂径定理得:AC=1/2 AB=0.5 16=8 由勾股定理得由勾股定理得:CD=OD-OC=4BAO16DC一条排水管的截面如图所示已知排水管的半径一条排水管的截面如图所示已知排水管的半径 OB=10 OB=10，水面宽，水面宽 AB=16 AB=16。求水深。求水深3.3.已知已知oo的弦的弦AB=6AB=6,直径直径CD=10CD=10,且且ABCD,ABCD,那么那么C C到到ABAB的距离等于的距离等于1.1.已知已知OO的弦的弦AB=4AB=4,圆心圆心O O到到ABAB的中点的中点C C的距离为的距离为1 1,那么那么OO的半径为的半径为2.2.如图如图,在在OO中弦中弦ABAC,ABAC,OMAB,ONAC,OMAB,ONAC,垂足分别为垂足分别为M,M,N,N,且且OM=2,0N=3,OM=2,0N=3,则则AB=,AB=,AC=,OA=AC=,OA=BAMCON1或或964Cm半径为的圆中，有两条平行弦半径为的圆中，有两条平行弦AB 和和CD，并且，并且AB=,CD=，求，求AB和和CD间的距离间的距离.EF.EFDABCO(2)ABDC(1)O做这类问题是，思考问题一定要做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况。全面，考虑到多种情况。你能你能破镜重破镜重圆圆吗？吗？ABACmnO 作弦作弦ABABACAC及它们的垂直平分及它们的垂直平分线线m mn n，交于，交于O O点；以点；以O O为圆心，为圆心，OAOA为半径作圆。为半径作圆。破镜重破镜重圆圆ABCmnO 弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。作图依据：挑战自我挑战自我如图，如图，O 与矩形与矩形 ABCD 交于交于 E,F,G,H，AH=4,HG=6,BE=2求求:EF。ABCD0EFGHMN462O OC CD DA AB B如图，如图，ABAB是是OO的直径，的直径，AB=10AB=10，弦，弦AC=8AC=8，D D是是ACAC的中点，连结的中点，连结CDCD，求，求CDCD的长。的长。E已知：已知：AB是是 O直径，直径，CD是弦，是弦，AECD，BFCD求证：求证：ECDF.AOBECDFH1、（、（1）O的半径为的半径为5 cm，弦，弦ABCD,AB=6 cm,CD=8 cm,请画出图形请画出图形 根据图形根据图形，求出，求出AB与与CD之间的距离之间的距离 是是 。(2)你能直接写出此题的答案么：你能直接写出此题的答案么：O的半径为的半径为5 cm，弦，弦ABCD,AB=6 cm,CD=8 cm,则以则以A、B、C、D为顶点的四边形的为顶点的四边形的面积等于面积等于 cm 49cm或7cm7cm或1cm已知：如图，线段已知：如图，线段AB与与 O交于交于C、D两点，两点，且且OA=OB 求证：求证：AC=BD BOACD证明圆中与弦有关证明圆中与弦有关的线段相等时的线段相等时,常常借助垂径定理借助垂径定理,利用利用其平分弦的性质来其平分弦的性质来解决问题解决问题.M练习练习1:在圆在圆O中，直径中，直径CEAB于于 D，OD=4，弦，弦AC=，求圆求圆O的半径。的半径。例例1 1：如图，圆：如图，圆O O的弦的弦ABAB8 8 ，DCDC2 2，直径，直径CEABCEAB于于D D，求半径求半径OCOC的长。的长。3.如图，如图，CD为圆为圆O的直径，弦的直径，弦AB交交CD于于E，CEB=30，DE=9，CE=3，求弦，求弦AB的长。的长。4.4.如图，如图，ABAB是是O O的弦，的弦，OCA=30OCA=300 0，OB=5cmOB=5cm，OC=8cmOC=8cm，则，则AB=AB=；OABC30308 85 54 4DF一弓形弦长为一弓形弦长为cmcm，弓形所在的圆的半径为，弓形所在的圆的半径为7cm7cm，则弓形的高为，则弓形的高为.巩固训练巩固训练 D DC CBOADO OA AB BC小 结 运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦a a，弦，弦心距心距d d，弓形高，弓形高h h，半径，半径r r之间有以下关系：之间有以下关系：ABC DO d+h=r 垂径定理的应用垂径定理的应用hrd1 1、两条辅助线：、两条辅助线：半径、圆心到弦的垂线段半径、圆心到弦的垂线段2 2、一个、一个RtRt：半径、圆心到弦的垂线段、半弦半径、圆心到弦的垂线段、半弦OABC3 3、两个定理：、两个定理：垂径定理、勾股定理垂径定理、勾股定理达标检测达标检测一、填空一、填空1 1、已知、已知ABAB、CDCD是是O O中互相垂直的弦，并且中互相垂直的弦，并且ABAB把把CDCD分成分成3cm3cm和和7cm7cm的两部分，则圆心的两部分，则圆心O O和弦和弦ABAB的距离为的距离为 cm.cm.2 2、已知、已知O O的半径为的半径为10cm10cm，弦，弦MNEF,MNEF,且且MN=12cm,EF=16cm,MN=12cm,EF=16cm,则弦则弦MNMN和和EFEF之间的距离为之间的距离为 .3 3、已知、已知O O中，弦中，弦AB=8cmAB=8cm，圆心到，圆心到ABAB的距离为的距离为3cm3cm，则此圆的半径，则此圆的半径为为 .4 4、在半径为、在半径为25cm25cm的的O O中，弦中，弦AB=40cmAB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中，则此弦和弦所对的弧的中点的距离是点的距离是 .5 5、O O的直径的直径AB=20cm,BAC=30AB=20cm,BAC=30则弦则弦AC=AC=.14cm或2cm25cm10cm和40cm10 3 cm