机理分析模型

机理分析模型机理分析模型5.1 微分方程的建立微分方程的建立 实际问题需寻求某个变量实际问题需寻求某个变量y 随另一变量随另一变量 t 的的变化规律变化规律：y=y(t).直接求直接求很困难很困难 建立关于未知变量、建立关于未知变量、未知变量的导数以及未知变量的导数以及自变量的方程自变量的方程 建立变量能满足建立变量能满足的微分方程的微分方程？哪一类问题哪一类问题在工程实际问题中在工程实际问题中 *“改变改变”、“变化变化”、“增加增加”、“减少减少”等关键词等关键词提示我们注意什么量在变化提示我们注意什么量在变化.关键词关键词“速率速率”、“增长增长”“衰变衰变”，“边际的边际的”，常涉及到导数，常涉及到导数.建建立立方方法法常常用用微微分分方方程程运用已知物理定律运用已知物理定律 利用平衡与增长式利用平衡与增长式 运用微元法运用微元法应用分析法应用分析法机理分机理分析法析法建立微分方程模型时建立微分方程模型时应用已知物理定律，应用已知物理定律，可事半功倍可事半功倍 例例5.1.1 一个较热的物体置于室温为一个较热的物体置于室温为180c的的房间内，该物体最初的温度是房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后分钟以后降到降到500c.想知道它的温度降到想知道它的温度降到300c 需要多少时需要多少时间？间？10分钟以后它的温度是多少？分钟以后它的温度是多少？牛顿冷却（加热）定律：牛顿冷却（加热）定律：将温度为将温度为T的物体的物体放入处于常温放入处于常温 m 的介质中时，的介质中时，T的变化的变化速率速率正正比于比于T与周围介质的温度差与周围介质的温度差.一一.运用已知物理定律运用已知物理定律 分析分析：假设房间足够大，放入温度较低或较：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡布均衡,保持为保持为m m，采用牛顿冷却定律是一个，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。相当好的近似。建立模型建立模型：设物体在冷却过程中的温度为：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t0，“T的变化速率正比于的变化速率正比于T与周围介质的温度差与周围介质的温度差”翻译为翻译为数学语言数学语言建立微分方程建立微分方程其中参数其中参数k 0，m=18.求得一般解为求得一般解为 ln(Tm)=k t+c,代入条件，求得代入条件，求得c=42，k=,最后得最后得 T(t)=18+42 ,t 0.结果结果：T(10)=18+42 =25.870，该物体温度降至该物体温度降至300c 需要需要8.17分钟分钟.二二.利用平衡与增长式利用平衡与增长式 许多研究对象在数量上常常表现出某种许多研究对象在数量上常常表现出某种不不变的特性变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等，如封闭区域内的能量、货币量等.利用变量间的平衡与增长特性，可分析和利用变量间的平衡与增长特性，可分析和建立有关变量间的相互关系建立有关变量间的相互关系.续例续例2.3 人口增长模型人口增长模型 对某地区时刻对某地区时刻t t的人口总数的人口总数P(t)，除考虑个，除考虑个体的体的出生、死亡出生、死亡，再进一步考虑，再进一步考虑迁入迁入与与迁出迁出的的影响影响.在很短的时间段在很短的时间段t 内内，关于关于P(t)变化的一个变化的一个最简单的模型是：最简单的模型是：t时间内的人口增长量时间内的人口增长量=t内出生人口数内出生人口数t内死亡人口数内死亡人口数+t内迁入人口数内迁入人口数t内迁出人口数内迁出人口数 t时间内的净改变量时间内的净改变量=t时间内输入量时间内输入量t时间内输出量时间内输出量 般般化化更更一一基本模型基本模型 不同的输入、输出情况对应不同的差分或不同的输入、输出情况对应不同的差分或微分方程微分方程.输入量：输入量：含系统外部输入及系统内部产生的量；含系统外部输入及系统内部产生的量；输出量：输出量：含流出系统及在系统内部消亡的量含流出系统及在系统内部消亡的量.此类建模方法的此类建模方法的关键关键是是分析并正确描述基本模型的右端，分析并正确描述基本模型的右端，使平衡式成立使平衡式成立 例例5.1.2 战斗模型战斗模型 两方军队交战，希望为两方军队交战，希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：如下目的：1.1.预测哪一方将获胜？预测哪一方将获胜？2.2.估计获胜的一方最后剩下多少士兵？估计获胜的一方最后剩下多少士兵？3.计算失败的一方开始时必须投入计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？多少士兵才能赢得这场战斗？模型建立：模型建立：设设 x(t)t 时刻时刻X方存活的士兵数方存活的士兵数；y(t)t 时刻时刻Y方存活的士兵数方存活的士兵数；假设：假设：1 1）双方所有士兵不是战死就是活着参加战）双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗斗，x(t)与与y(t)都是连续变量都是连续变量.2）Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队方军队 a 名士兵名士兵；3）X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队方军队 b 名士兵名士兵；t 时间内时间内X军队减少的士兵数军队减少的士兵数=t 时间内时间内Y军队消灭对方的士兵数军队消灭对方的士兵数平衡式平衡式 即有即有 x=ayt,同理同理 y=bxt,令令t 0,得到微分方程组：得到微分方程组：三三.微元法微元法 基本思想基本思想：通过分析研究对象的有关变量在通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况一个很短时间内的变化情况.例例5.1.3 一个高为一个高为2米的球体容器里盛了一半米的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为积为1 1平方厘米平方厘米.试求放空容器所需要的时间试求放空容器所需要的时间.2米对孔口的流速做两条假设对孔口的流速做两条假设：1t 时刻的流速时刻的流速v 依赖于依赖于此刻容器内水的高度此刻容器内水的高度h(t).2 整个放水过程无能整个放水过程无能量损失。量损失。分析分析：放空容器放空容器？容器内水的体积为零容器内水的体积为零容器内水的高度为零容器内水的高度为零 模型建立：模型建立：由水力学知：水从孔口流出的流由水力学知：水从孔口流出的流量量Q为通过为通过“孔口横截面的水的体积孔口横截面的水的体积V对时间对时间t 的的 变化率变化率”，即，即S孔口横截面积（单位：平方厘米）孔口横截面积（单位：平方厘米）h(t)水面高度（单位：厘米）水面高度（单位：厘米）t时间（单位：秒）时间（单位：秒）当当S=1平方厘米平方厘米，有有h(t)h+h 在在t，t+t 内，内，水面高度水面高度 h(t)降至降至h+h(h0),容器中水的体积的改变量为容器中水的体积的改变量为 V=V(h)V(h+h)=h3(r12+r22)o(h)r2ho(h)r1r2令令t 0,得得 dV=r2 dh，（2）比较比较(1)、(2)两式得微分方程如下：两式得微分方程如下：积分后整理得积分后整理得 0h100 四.分析法分析法令令 h=0，求得完全排空需要约求得完全排空需要约2小时小时58分分.基本思想：基本思想：根据对现实对象特性的认识，根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系分析其因果关系,找出反映内部机理的规律找出反映内部机理的规律.例例5.1.4（独家广告模型）（独家广告模型）广告是调整商品广告是调整商品销售的强有力的手段销售的强有力的手段,广告与销售量之间有什广告与销售量之间有什么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？分析分析 广告的效果广告的效果,可做如下的条件假设：可做如下的条件假设：*1.商品的销售速度会因广告而增大，当商品商品的销售速度会因广告而增大，当商品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极限值；限值；*2.商品销售率（销售加速度）随商品销售速度商品销售率（销售加速度）随商品销售速度的增高而降低；的增高而降低；*3.选择如下广告策略，选择如下广告策略，t时刻的广告费用为：时刻的广告费用为：建模建模 记记 S(t)t 时刻商品的销售速度；时刻商品的销售速度；M 销售饱和水平，即销售速度的上限；销售饱和水平，即销售速度的上限；（0）衰减因子，广告作用随时间的衰减因子，广告作用随时间的推移而自然衰减的速度推移而自然衰减的速度.直接建立微分方程直接建立微分方程 称称 p 为响应系数为响应系数，表征表征A(t)对对 S(t)的影响力的影响力.模型分析模型分析：是否与前三条假设相符？是否与前三条假设相符？假设假设1*市场余市场余额额假设假设2*销售速度因广告作用增大销售速度因广告作用增大,同时同时又受市场余额的限制又受市场余额的限制.改写模型改写模型