12极坐标系

02 五月五月 2024极坐标系极坐标系2.平面直角坐标系中的点平面直角坐标系中的点P与坐标与坐标(a,b)是是 _对应的对应的.P(a,b).xyoab3.平面直角坐标系是最简单最常平面直角坐标系是最简单最常用的一种坐标系，但用的一种坐标系，但不是唯一不是唯一的的一种坐标系一种坐标系.有时用别的坐标有时用别的坐标系比较方便系比较方便.我们先看下面的问题我们先看下面的问题.还有什么坐标系呢？还有什么坐标系呢？1.与角与角终边相同的角：终边相同的角：=+2k,k Z一一一一5 海里海里（1）距离：）距离：5 海里海里（2）方向：东偏北）方向：东偏北20.ox拯救船拯救船30SOS!如何确定以下两船如何确定以下两船的位置关系呢？的位置关系呢？距离：距离：4 km 方向：方向：xo以怀远路为以怀远路为X轴轴以丽子元北街为以丽子元北街为Y轴轴.请问：去育才请问：去育才中学怎么走？中学怎么走？知知识识引引入入以丽子元北街为以丽子元北街为X轴轴以怀远路为以怀远路为Y轴轴.脑子脑子进水了？进水了？从这向北从这向北2000米。米。请问：去育才请问：去育才中学怎么走？中学怎么走？请分析上面这句话，他告诉了问路人请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？什么？从从这这向向北北走走 2 0 0 0米米！出发点出发点方向方向距离距离在生活中人们经常用在生活中人们经常用方向方向和和距离距离来表示来表示一点的位置。这种用一点的位置。这种用方向方向和和距离距离表示平表示平面上一点的位置的思想，就是面上一点的位置的思想，就是极坐标极坐标的的基本思想。基本思想。在以上问题中，位置的确定是用什么方在以上问题中，位置的确定是用什么方法确定的？法确定的？距离与方向距离与方向(1)(1)在平面内取一个定点在平面内取一个定点O O，叫做极点；，叫做极点；o(2)(2)引一条射线引一条射线OxOx，叫做极轴；，叫做极轴；x一、极坐标系的建立：一、极坐标系的建立：(3)(3)选定一个长度单位；选定一个长度单位；(4)(4)规定角度的正方向规定角度的正方向(通常取逆时针方向通常取逆时针方向).).这样建立的坐标系叫这样建立的坐标系叫做极坐标系做极坐标系.二、极坐标系内一点的极坐标的规定二、极坐标系内一点的极坐标的规定XOM 对于平面上任意一点对于平面上任意一点M，用用 表示线段表示线段OM的长度，的长度，用用 表示从表示从OX到到OM 的的角度，角度，叫做点叫做点M的的极径极径，叫做点叫做点M的的极角极角，有序，有序数对数对（，）就叫做就叫做M的的极坐标。极坐标。特别强调：特别强调：表示线段表示线段OM的长度，即点的长度，即点M到到极点极点O的距离；的距离；表示从表示从OX到到OM的角度，即的角度，即以以OX（极轴）为始边，（极轴）为始边，OM 为终边的角。为终边的角。注意：极角一般是用弧度来表示注意：极角一般是用弧度来表示题组一题组一：说出下图中各点的极坐标：说出下图中各点的极坐标题组二：在极坐标系里描出下列各点题组二：在极坐标系里描出下列各点ABCDEFGOX题组题组3.3.用点用点A,B,C,D,EA,B,C,D,E分别表示教学分别表示教学 楼楼,体体育馆育馆,图书馆图书馆,实验楼实验楼,办公楼的位置办公楼的位置.建立适建立适当的极坐标系当的极坐标系,写出各点的极坐标写出各点的极坐标.(O)x A B C D E50m450 600 120m60m解解:以点以点A A为极点为极点,AB,AB所在的所在的射线为极轴射线为极轴(单位长度为单位长度为1m),1m),建立极坐标系建立极坐标系.则点则点A,B,C,D,EA,B,C,D,E的极坐标分别为的极坐标分别为 探究？探究？平面上一点的极坐标是否唯一？平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？若不唯一，那有多少种表示方法？坐标不唯一是由谁引起的？坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式不同的极坐标是否可以写出统一表达式？极坐标系下的极坐标系下的点与它的极坐点与它的极坐标的对应情况标的对应情况特别规定：特别规定：当当M在极点时，它的极在极点时，它的极坐标坐标=0，可以取任意值。可以取任意值。在同一个极坐标系中，把下列的点表示出来在同一个极坐标系中，把下列的点表示出来三、点的极坐标的表达式的研究三、点的极坐标的表达式的研究XOM 如图：如图：OM的长度为的长度为4，请说出点请说出点M的极坐标的其的极坐标的其他表达式。他表达式。思：这些极坐标之间有何异同？思：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。就是说它们是终边相同的角。本题点本题点M的极坐标统一表达式：的极坐标统一表达式：极径相同，不同的是极角极径相同，不同的是极角四、极坐标系下点的极坐标四、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点探索点M（3，/4）的）的所有极坐标所有极坐标极径是正的时候：极径是正的时候：探究探究 平面上一点的极坐标是否唯一？平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？若不唯一，那有多少种表示方法？坐标不唯一是由谁引起的？坐标不唯一是由谁引起的？同一点不同的极坐标是否可以写出统一表达式？同一点不同的极坐标是否可以写出统一表达式？不唯一不唯一有无数种有无数种极角极角可以（可以（，2k+）OXPM(,)五、极坐标系下点与它的极坐标的五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况对应情况1给定（给定（,）,就可以在就可以在极坐标极坐标平平面内确定唯一的一点面内确定唯一的一点M。2给定平面上一点给定平面上一点M，但却有无数个，但却有无数个极坐标与之对应。极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。原因在于：极角有无数个。一般地一般地,若若(,)是一点的极坐标是一点的极坐标,则则(,+2k)、都可以作为它的极坐标、都可以作为它的极坐标.如果如果限定限定0,02或或,那么除极点外那么除极点外,平面内的点和极坐标就平面内的点和极坐标就可以可以一一对应一一对应了了.2.在极坐标系中在极坐标系中,与与(,)关于极轴对称关于极轴对称的点是的点是()A.(,)B.(,)C.(,)D.(,)AB题组四题组四 1.在极坐标系中，与点在极坐标系中，与点 (3,)重合重合的点是的点是()A.(3,)B.(3,)C.(3,)D.(3,)3.3.边长为边长为a的正六边形的正六边形OABCDE在极坐标系中在极坐标系中 的位置如图所示，求这个正六边形各顶点的位置如图所示，求这个正六边形各顶点 的极坐标。的极坐标。ABCxEDOO(0,0)，C(2a,0)5.5.在极坐标系中在极坐标系中,若等边三角形的两顶点若等边三角形的两顶点 是是A(2,),B(2,),A(2,),B(2,),那么顶点那么顶点C C的坐标可能是的坐标可能是()()3一点的极坐标有否统一的表达式？一点的极坐标有否统一的表达式？小结小结1建立一个极坐标系需要哪些要素建立一个极坐标系需要哪些要素极点；极轴；长度单位；角度单位和极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。它的正方向。2极坐标系内一点的极坐标有多少种极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？表达式？无数种。是因为极角引起的。无数种。是因为极角引起的。有。（有。（，2k+）这节课我们学到了什么？这节课我们学到了什么？丰收园丰收园:1.1.极坐标系极坐标系的建立的建立四四要要素素极点极点极轴极轴单位长度单位长度角度的正方向角度的正方向11给定（给定（,）,就可以在就可以在极坐标极坐标 平面内确定唯一的一点平面内确定唯一的一点M.22给定平面上一点给定平面上一点M，但却有无数个极，但却有无数个极 坐标与之对应坐标与之对应.2.2.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况极坐标系下点与它的极坐标的对应情况极坐标和直角坐标的互化极坐标和直角坐标的互化平面内的一个点的直角坐标是平面内的一个点的直角坐标是(1,)这个点如何用极坐标表示这个点如何用极坐标表示?Oxy在直角坐标系中在直角坐标系中,以原点作为极点以原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴轴的正半轴作为极轴,并且两种坐标系中取相并且两种坐标系中取相同的长度单位同的长度单位点点M的直角坐标为的直角坐标为设点设点M的极坐标为的极坐标为(,)M(2,/3)极坐标与直角坐标的互化关系式极坐标与直角坐标的互化关系式:设点设点M的直角坐标是的直角坐标是(x,y)极坐标是极坐标是(,)x=cos,y=sin 互化公式的三个前提条件：互化公式的三个前提条件：1.极点与直角坐标系的原点重合极点与直角坐标系的原点重合;2.极轴与直角坐标系的极轴与直角坐标系的x轴的正半轴的正半 轴重合轴重合;3.两种坐标系的单位长度相同两种坐标系的单位长度相同.例例1.将点将点M的极坐标的极坐标 化成直角坐标化成直角坐标.解解:所以所以,点点M的直角坐标为的直角坐标为已知下列点的极坐标，求它们的直已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。角坐标。例例2.将点将点M的直角坐标的直角坐标 化成极坐标化成极坐标.解解:因为点在第三象限因为点在第三象限,所以所以因此因此,点点M的极坐标为的极坐标为练习练习:已知点的直角坐标已知点的直角坐标,求它们求它们的极坐标的极坐标.例例3 已知两点（已知两点（2，），（），（3，）求两点间的距离求两点间的距离.32oxAB解：解：AOB=6用余弦定理求用余弦定理求AB的长即可的长即可.