有限元-伽辽金法

有限元有限元-伽辽金法伽辽金法9.1 伽辽金方法伽辽金方法 一、加权余量法一、加权余量法 当微分方程不易求得精确解时，当微分方程不易求得精确解时，可以用加权余量法求得一个近似解。可以用加权余量法求得一个近似解。例如一维微分方程例如一维微分方程（D为一维微分算子）为一维微分算子）假定假定u(x)为上微分方程的精确解，为上微分方程的精确解，为近似解。为近似解。余量余量 9.1 伽辽金方法伽辽金方法 一、加权余量法一、加权余量法 定理：定理：对任意连续函数对任意连续函数 若将若将换成成，微分方程的等效积分形式：，微分方程的等效积分形式：9.1 伽辽金方法伽辽金方法 一、加权余量法一、加权余量法 满足边界条件满足边界条件9.1 伽辽金方法伽辽金方法 一、加权余量法一、加权余量法 （i=1，2，n，）权函数权函数 权函数的取法可以是各种各样的，从而得到权函数的取法可以是各种各样的，从而得到不同的加权余量法，常用的方法包括配点法、不同的加权余量法，常用的方法包括配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。9.1 伽辽金方法伽辽金方法 一、加权余量法一、加权余量法 （i=1，2，n，）与是已知函数是已知函数 当当m=n时，则可确定出待定系数时，则可确定出待定系数ci9.1 伽辽金方法伽辽金方法 二、伽辽金法二、伽辽金法 （i=1，2，n，）是已知函数是已知函数 取权函数取权函数，就得到了含有，就得到了含有m个未知量的代数方程组个未知量的代数方程组（i=1，2，m）伽辽金法伽辽金法 9.1 伽辽金方法伽辽金方法 二、伽辽金法二、伽辽金法 例：用伽辽金法求解下二阶常微分方程例：用伽辽金法求解下二阶常微分方程 解：解：9.1 伽辽金方法伽辽金方法 二、伽辽金法二、伽辽金法 （i=1，2，m）伽辽金法伽辽金法 (m=2)9.1 伽辽金方法伽辽金方法 二、伽辽金法二、伽辽金法 x=0.25x=0.5x=0.750.044010.069750.060060.044080.069440.060089.2 二维稳态热传导微分方程二维稳态热传导微分方程 对于二维稳态热传导，各向同性热传导微分方程提法为对于二维稳态热传导，各向同性热传导微分方程提法为 质量密度质量密度 单位质量热源物质在单位时间内的生热率单位质量热源物质在单位时间内的生热率 热传导系数热传导系数 边界条件边界条件（给定温度边界）（给定温度边界）（给定热流边界）（给定热流边界）（对流换热边界）（对流换热边界）边界外法界外法线单位向量位向量的方向余弦的方向余弦 热流量热流量对流换热系数对流换热系数环境温度环境温度9.3二维稳态热传导有限元方程二维稳态热传导有限元方程 一、有限元方程一、有限元方程 有有n个结点的一个单元内的温度场设为个结点的一个单元内的温度场设为 结点形函数点形函数结点温度点温度 形函数矩形函数矩阵单元结点温度列阵单元结点温度列阵 微分方程的余量微分方程的余量 9.3二维稳态热传导有限元方程二维稳态热传导有限元方程 一、有限元方程一、有限元方程 9.3二维稳态热传导有限元方程二维稳态热传导有限元方程 一、有限元方程一、有限元方程 上上 9.3二维稳态热传导有限元方程二维稳态热传导有限元方程 一、有限元方程一、有限元方程 9.3二维稳态热传导有限元方程二维稳态热传导有限元方程 一、有限元方程一、有限元方程 9.3二维稳态热传导有限元方程二维稳态热传导有限元方程 一、有限元方程一、有限元方程 热传导刚度矩阵热传导刚度矩阵 温度载荷列阵温度载荷列阵 9.3二维稳态热传导有限元方程二维稳态热传导有限元方程 一、有限元方程一、有限元方程 9.3二维稳态热传导有限元方程二维稳态热传导有限元方程 二、三结点三角形单元二、三结点三角形单元 单元结点温度列阵单元结点温度列阵 9.3二维稳态热传导有限元方程二维稳态热传导有限元方程 二、三结点三角形单元二、三结点三角形单元 9.3二维稳态热传导有限元方程二维稳态热传导有限元方程 二、三结点三角形单元二、三结点三角形单元 热传导刚度矩阵热传导刚度矩阵 9.3二维稳态热传导有限元方程二维稳态热传导有限元方程 二、三结点三角形单元二、三结点三角形单元 是常数，是常数，若若设对流流换热系数系数是是ij边 热传导刚度矩阵热传导刚度矩阵 9.3二维稳态热传导有限元方程二维稳态热传导有限元方程 二、三结点三角形单元二、三结点三角形单元 温度载荷列阵温度载荷列阵 如果单元的热源密度如果单元的热源密度 Q为常数，由内部热源产生的温度载荷列阵为常数，由内部热源产生的温度载荷列阵 设都是常数，都是常数，为jm边，为为ij边边 9.3二维稳态热传导有限元方程二维稳态热传导有限元方程 三、四结点等参元三、四结点等参元对四结点等参元，须要导数变换对四结点等参元，须要导数变换 热传导矩阵元素的积分（暂不计热传导矩阵元素的积分（暂不计）例例 厚壁厚壁圆圆筒内半径筒内半径为为0.3m0.3m，外半径，外半径为为0.5m,0.5m,圆圆筒内壁温度筒内壁温度500500C C，外壁温度外壁温度100 100 C C，圆圆筒两端筒两端设为绝热设为绝热，材料的，材料的导热导热系数系数为为7.5W/(m7.5W/(mK)K)，求沿，求沿圆圆筒壁厚方向的温度筒壁厚方向的温度场场。例例 厚壁厚壁圆圆筒内半径筒内半径为为0.3m0.3m，外半径，外半径为为0.5m,0.5m,圆圆筒内壁温度筒内壁温度500500C C，外壁温度外壁温度100 100 C C，圆圆筒两端筒两端设为绝热设为绝热，材料的，材料的导热导热系数系数为为7.5W/(m7.5W/(mK)K)，求沿，求沿圆圆筒壁厚方向的温度筒壁厚方向的温度场场。