定积分的概念与性质

返回返回上页上页下页下页目录目录第五章第五章 定积定积分分（Definite Integrals)积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分5/1/20241返回返回上页上页下页下页目录目录主主 要要 内内 容容第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 第二节第二节 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式第三节第三节 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 第四节第四节 广义积分广义积分5/1/20242返回返回上页上页下页下页目录目录第第5.15.1节节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 第五章第五章（Conceptions and Properties of Definite Integrals）一、一、引引 例例二、二、定积分的定义定积分的定义三、三、定积分的性质定积分的性质5/1/20243返回返回上页上页下页下页目录目录一、引一、引 例例1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积 A.矩形面积梯形面积5/1/20244返回返回上页上页下页下页目录目录1)分割分割:在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点2)近似求和近似求和:解决步骤解决步骤:把分成 n个子区间每个子区间长度为在每个子区间上任取作和5/1/20245返回返回上页上页下页下页目录目录3)取极限取极限:因此,令则曲边梯形面积当上述分割越来越细(即分点越来越多,同时各个子区间的长度越来越小)时,和式的值就越来越接近曲边梯形的面积5/1/20246返回返回上页上页下页下页目录目录设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1)分割分割:已知速度2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程把分成 n个子区间每个子区间长度为5/1/20247返回返回上页上页下页下页目录目录4)取极限取极限:上述两个问题的共性共性:解决问题的方法步骤相同:“分割分割,近似求和近似求和,取极限取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限特殊乘积和式的极限3)近似求和近似求和:在每个子区间上任取作和5/1/20248返回返回上页上页下页下页目录目录二、定积分定义二、定积分定义任一种分法任取总趋于确定的极限 I,则称此极限 I 为函数在区间上的定积分定积分,即此时称 f(x)在 a,b 上可可积积.记作5/1/20249返回返回上页上页下页下页目录目录积分上限积分上限积分下限积分下限被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积积分分和和定积分仅与被积函数及积分区间有关定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分而与积分变量用什么字母表示无关变量用什么字母表示无关,即即5/1/202410返回返回上页上页下页下页目录目录定理定理1 定理定理2 且只有有限个间断点且只有有限个间断点 可积的充分条件可积的充分条件:定理定理3 应当指出的是，应当指出的是，定积分的定义很重要，定积分的定义很重要，今后学习二重、三重积分、曲今后学习二重、三重积分、曲线与曲面积分时，线与曲面积分时，还会遇到结构上与表述上都类似的定义，还会遇到结构上与表述上都类似的定义，它们统称为它们统称为黎曼积分黎曼积分.5/1/202411返回返回上页上页下页下页目录目录例例1 利用定义计算定积分解解:将 0,1 n 等分,分点为取5/1/202412返回返回上页上页下页下页目录目录曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和各部分面积的代数和定积分的几何意义定积分的几何意义:5/1/202413返回返回上页上页下页下页目录目录5/1/202414返回返回上页上页下页下页目录目录三、定积分的性质三、定积分的性质（设所列定积分都存在）（设所列定积分都存在）(k 为常数)证证:=右端5/1/202415返回返回上页上页下页下页目录目录证证:当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取 c 为分点,于是5/1/202416返回返回上页上页下页下页目录目录则有当 a,b,c 的相对位置任意时,例如5/1/202417返回返回上页上页下页下页目录目录则证证:推论推论1 若在 a,b 上则6.若在 a,b 上5/1/202418返回返回上页上页下页下页目录目录证证:即7.设则推论推论2 积分估值积分估值定理定理5/1/202419返回返回上页上页下页下页目录目录证证:例例3（补充题）（补充题）试证:在区间0,10,1上单调递增，利用积分估值定理积分估值定理，得5/1/202420返回返回上页上页下页下页目录目录则至少存在一点使证证:则由性质性质7 可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.8.积分中值定理积分中值定理5/1/202421返回返回上页上页下页下页目录目录 可把故它是有限个数的平均值概念的推广故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对因说明说明:5/1/202422返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结1.定积分定积分定义定义 乘积和式的极限乘积和式的极限2.定积分的定积分的几何意义几何意义3.定积分存在的定积分存在的3个个充分性条件充分性条件4.定积分的定积分的8条条基本性质基本性质5/1/202423