定积分的应用

5.5.5.5.定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 5.5.5.5.定积分在经济上的应用定积分在经济上的应用5.5 5.5 5.5 5.5 定积分的应用定积分的应用定积分的应用定积分的应用 5.5.5.5.定积分的微元法定积分的微元法5.5.1 5.5.1 定积分的微元法定积分的微元法.复习引入：求曲边梯形面积的四个步骤复习引入：求曲边梯形面积的四个步骤(1)(1)分割分割把区间把区间a,b分成分成n个子区个子区间间(2)(2)近似代替近似代替(3)(3)近似求和近似求和(4)(4)取极限取极限2.将以上四个步将以上四个步骤概括概括为两步两步：3.求曲求曲边梯形面梯形面积的方法与步的方法与步骤推广，推广，得定得定积分的微元法：分的微元法：可以用定可以用定积分表示的量，在区分表示的量，在区间a,b上的定上的定积分分按以下方法得到：按以下方法得到：这种方法称种方法称为定定积分的微元法：分的微元法：4.4.用用微元法微元法分析问题的一般步骤分析问题的一般步骤:（1 1）定变量）定变量根据问题的具体情况，选取一个积分变量，根据问题的具体情况，选取一个积分变量，并确定变量的变化范围，如取并确定变量的变化范围，如取 为积分变量，的变化区间为积分变量，的变化区间为为 ；（3 3）求积分）求积分将上述微元将上述微元“积积”起来，得到所求量起来，得到所求量（2 2）取微元）取微元在区间在区间 内任取一个子区间内任取一个子区间 得到微分元素得到微分元素 ；.用定用定积分的微元法求由曲分的微元法求由曲线所所围成的平面成的平面图形的面形的面积。如图所示如图所示：例例.求抛物线求抛物线 和和 轴所围成的平轴所围成的平面图形的面积面图形的面积 解：作出图形解：作出图形例例.求抛物线求抛物线 和直线和直线 所围成所围成的平面图形的面积的平面图形的面积 解：作出图形解：作出图形解方程组解方程组 得得 例例 求曲求曲线所所围成的成的图形面形面积.解解 如如图所示，所示，解方程解方程组例例4 4求由曲线求由曲线 和直线和直线 所围所围成的平面图形的面积成的平面图形的面积 解：作出图形解：作出图形例例5 5 求求椭圆解解 根据根据椭圆的的对称性和定称性和定积分的几何意分的几何意义，有，有.用定用定积分的微元法求由曲分的微元法求由曲线所所围成的成的图形形 (3)(3)由连续曲线与直线由连续曲线与直线 所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积（我们仅讨论（我们仅讨论 的情况的情况)(4)(4)由连续曲线由连续曲线 与直线与直线所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积（我们仅讨论（我们仅讨论 的情况的情况)例例5 5 求曲求曲线所所围成的成的图形面形面积。.解解 如如图所示，所示，解方程解方程组课堂小结课堂小结可以用定可以用定积分表示的量，在区分表示的量，在区间a,b上的定上的定积分分按以下方法得到：按以下方法得到：1.定定积分的微元法分的微元法.由曲由曲线所所围成的平面成的平面图形的面形的面积为：.由曲由曲线所所围成的成的图形：形：*2.旋转体的体积旋转体的体积设设 是是 上的连续函数，由曲线上的连续函数，由曲线 与直线与直线 ，围成的曲边梯形绕围成的曲边梯形绕 轴轴旋转一周，得到一个旋转体，怎样求这个旋转旋转一周，得到一个旋转体，怎样求这个旋转体的体积？体的体积？?复习引入：复习引入：复习引入：复习引入：可以用定可以用定积分表示的量，在区分表示的量，在区间a,b上的定上的定积分分按以下方法得到：按以下方法得到：1.定定积分的微元法分的微元法.由曲由曲线所所围成的平面成的平面图形的面形的面积为：.由曲由曲线所所围成的成的图形：形：用微元法来求旋转体的体积用微元法来求旋转体的体积:在在 上任取一小区间上任取一小区间 得微分元素：得微分元素：(2)由曲线由曲线 与直线与直线所围成的曲边梯形绕所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而得到的旋转轴旋转一周而得到的旋转体的体积为体的体积为(1)由由连续曲曲线绕绕x轴旋旋转所得旋所得旋转体的体体的体积例例1 1证明：底面半径为证明：底面半径为r，高为，高为h的圆锥体的体的圆锥体的体积为积为 解：以圆锥的顶点为坐标原点，解：以圆锥的顶点为坐标原点，以圆锥的高为以圆锥的高为 轴，建立直角坐标轴，建立直角坐标系，系，直线直线OA的方程为的方程为则圆锥可以看成是由直角三角则圆锥可以看成是由直角三角形形ABO绕绕 轴旋转一周而得到的旋轴旋转一周而得到的旋转体转体轴和和例例2 求求椭圆分分别绕轴旋旋转所得所得椭球体的体球体的体积。解：解：绕轴旋旋转时,得得:特特别地地,当当 时,得球体体得球体体积绕轴旋旋转时,得得:例例3 3求由抛物线求由抛物线 与直线与直线 所围成的所围成的封闭图形绕封闭图形绕 轴旋转一周所得旋转体轴旋转一周所得旋转体的体积的体积.解：如图所示，解：如图所示，例例4 求曲求曲线所所围成的成的图形形绕轴旋旋转而成的旋而成的旋转体的体体的体积.解解 如如图所示所示.解方程解方程组课堂小结：课堂小结：可以用定可以用定积分表示的量，在区分表示的量，在区间a,b上的定上的定积分分按以下方法得到：按以下方法得到：1.定定积分的微元法分的微元法3.由曲线由曲线 与直线与直线所围成的曲边梯形绕所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而得到的旋转轴旋转一周而得到的旋转体的体积为体的体积为.由由连续曲曲线绕绕x轴旋旋转所得旋所得旋转体的体体的体积一一.变力沿直线作功变力沿直线作功 9 定积分的物理应用定积分的物理应用复复习引入引入:定定积分的微元法分的微元法.1.1.若物体在常力若物体在常力F作用下作用下,沿沿F的的方向移动方向移动 s 距离距离,则力对物体所作的功为：则力对物体所作的功为：W=Fs 得得dW=F(x)dx则则.设物体所受到的力是位置设物体所受到的力是位置x x的函数的函数,取取x x为积分变量为积分变量,变化区间为变化区间为 a,b.由由x=a移到移到x=b,求物体在变力求物体在变力F(x)作用下作用下,沿力的方向沿力的方向力对物体所作的功力对物体所作的功.用定积分的微元法来解决这一问题用定积分的微元法来解决这一问题:(1)(1)任取子区间任取子区间 x,x+dx 例例1 设设9.89.8牛顿的力能使弹簧伸长牛顿的力能使弹簧伸长1 1厘米厘米,从而从而(焦耳焦耳)求伸长求伸长1010厘米需作多少功厘米需作多少功?所以所以k=980.=980.F=9.8=9.8牛顿牛顿,当当x=0.01=0.01米时米时,解解:F=980 x.例例2 2 一个圆台形的水池内盛满了水一个圆台形的水池内盛满了水,水池高为水池高为5 5米米,上底半径上底半径为为3 3米米,下底半径为下底半径为2 2米米,求将水池内的水全部抽出需作多少功求将水池内的水全部抽出需作多少功?解解:建立如图所示的直角坐标系建立如图所示的直角坐标系,解解 将水桶从井里提上来所作的功为将水桶从井里提上来所作的功为 下面计算下面计算将绳子从井里提上来所作的功将绳子从井里提上来所作的功,则所作的总功为则所作的总功为 例例3 一桶水重一桶水重1010kg,由一条线密度由一条线密度0.1kg/m的绳子系着，的绳子系着，将它从将它从2020m深的井里提上来需作多少功深的井里提上来需作多少功?o201.1.设有一面积为设有一面积为S S的平板的平板,水平放置在液体下深度水平放置在液体下深度x x处处,则则平板一侧所受压力为平板一侧所受压力为:则平板一侧所受压力须用微元法解决则平板一侧所受压力须用微元法解决.2.如果平板垂直放置在液体下如果平板垂直放置在液体下,二二.液体的压力液体的压力例例4.有一个水平放置的圆形管道，直径为有一个水平放置的圆形管道，直径为2米，有一道闸门，米，有一道闸门，当水半满时，求闸门受到的力。当水半满时，求闸门受到的力。解：建立如图所示的直角坐标系。解：建立如图所示的直角坐标系。例例5 半径为半径为R R的圆柱形油桶内有半桶油的圆柱形油桶内有半桶油,求一个端面所受的压力求一个端面所受的压力.解解 yox例例6 6 求如图的等腰梯形水闸门一侧所受的压力求如图的等腰梯形水闸门一侧所受的压力.解解 2o2y(2,1)x 例例7 设有质量为设有质量为M,长度为长度为L L的均匀细杆的均匀细杆,解：任意解：任意 x,x+dx oaxL另有一质量为另有一质量为m的质点位于同一直线上的质点位于同一直线上,且且到杆的近段距离为到杆的近段距离为a,求杆对质点的引力求杆对质点的引力.三三.引力引力由万有引力定律由万有引力定律,两质点之间的引力为两质点之间的引力为 若要计算细棒对质点的引力若要计算细棒对质点的引力,须用微元法解决须用微元法解决.区间区间 x,x+dx 对应的细杆质量为对应的细杆质量为 则引力为则引力为四四.连续函数的平均值连续函数的平均值n个数的平均值为个数的平均值为而连续函数而连续函数f(x)在区间在区间 a,b 上的平均值上的平均值,需要用定积分计算需要用定积分计算.将将a,bna,bn等分等分,在每个小区间上依次任取在每个小区间上依次任取 则则 由定积分定义可知由定积分定义可知例例1 1 求从求从0 0秒到秒到T T秒这段时间内自由落体的平均速度秒这段时间内自由落体的平均速度.解解 注意注意:积分中值定理中的积分中值定理中的f(f()就是就是f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上的平均值上的平均值.5.5.2 5.5.2 定积分在经济上的应用定积分在经济上的应用 定积分在经济中的应用归纳起来一般分为两大定积分在经济中的应用归纳起来一般分为两大类型：类型：第一，已知边际函数或变化率，用定积分求原来的第一，已知边际函数或变化率，用定积分求原来的函数；函数；第二，已知边际函数或变化率，用定积分计算产量第二，已知边际函数或变化率，用定积分计算产量由到由到 时原来函数的改变量时原来函数的改变量一般地，已知边际成本、边际收入、边际利润等去一般地，已知边际成本、边际收入、边际利润等去考虑总成本、总收入、总利润等问题考虑总成本、总收入、总利润等问题5.5.2 5.5.2 定积分在经济上的应用定积分在经济上的应用 (1)已知某产品的边际成本为已知某产品的边际成本为 ，固定成本，固定成本为，则产量为为，则产量为 个单位时总成本函数为个单位时总成本函数为产量由产量由 变到变到 时，总成本函数的改变量为时，总成本函数的改变量为5.5.2 5.5.2 定积分在经济上的应用定积分在经济上的应用 (2)已知某产品的边际收入为已知某产品的边际收入为 ，则产量为，则产量为 个单位时总收入函数为个单位时总收入函数为产量由产量由 变到变到 时，总收入函数的改变量为时，总收入函数的改变量为5.5.2 5.5.2 定积分在经济上的应用定积分在经济上的应用 (3)某产品的边际利润为某产品的边际利润为则产量为则产量为 个单位时总利润函数为个单位时总利润函数为积分积分 是不计固定成本下的利润函数，有是不计固定成本下的利润函数，有时也称为毛利润时也称为毛利润产量由产量由 变到变到 时，总利润函数的改变量为时，总利润函数的改变量为5.5.2 5.5.2 定积分在经济上的应用定积分在经济上的应用 例例30已知某产品的边际成本为已知某产品的边际成本为（百元（百元/吨吨）,求：产量由求：产量由2吨增加到吨增加到5吨时总成本的改变量及平均成本吨时总成本的改变量及平均成本.解解:（百元）（百元）产量由产量由2吨增加到吨增加到5吨时总成本的改变量吨时总成本的改变量平均成本为平均成本为 （百元（百元/吨）吨）5.5.2 5.5.2 定积分在经济上的应用定积分在经济上的应用 设生产某产品的边际成本为设生产某产品的边际成本为(万元万元/件件)，边际收入为，若在，边际收入为，若在最大利润的基础上再生产最大利润的基础上再生产30件产品，利件产品，利润会发生什么变化？润会发生什么变化？例例31解解:该产品的边际利润为该产品的边际利润为令令,即，得惟一的驻点即，得惟一的驻点 ;5.5.2 5.5.2 定积分在经济上的应用定积分在经济上的应用 解解:且且 ，所以产量为，所以产量为 件时，利润件时，利润最大在最大利润的基础上再生产最大在最大利润的基础上再生产 件产品，利润件产品，利润的改变量为的改变量为亦即最大利润的基础上再生产亦即最大利润的基础上再生产3030件产品，利润件产品，利润会减少会减少2727万元万元(万元万元)课堂练习课堂练习：（答案：（答案：2）3若某产品的固定成本为若某产品的固定成本为5万元，边万元，边际成本为际成本为 （万元（万元/百件），百件），求总成本函数求总成本函数（答案：（答案：）1求由曲线在求由曲线在 上与轴所围成图形上与轴所围成图形的面积的面积 2求由抛物线，求由抛物线，所围成图形的面积所围成图形的面积（答案：（答案：）1定积分的几何意义定积分的几何意义2利用定积分求平面图形的面积利用定积分求平面图形的面积 3利用定积分求旋转体的体积利用定积分求旋转体的体积 小结小结 4利用定积分求经济变量函数利用定积分求经济变量函数5利用定积分求经济变量的改变量利用定积分求经济变量的改变量 作业作业 习题习题5,14 15 16 17 18 19