有限元分析基础

有限元分析基础材料10702班主要内容1有限元方法的历史 2有限元分析的作用3有限元分析过程的概要4有限元分析的目的和概念5 一维阶梯杆结构问题的求解 6有限元分析的基本流程 7有限元分析的特点8杆梁结构分析的工程概念有限元方法的历史有限元方法的思想最早可以追溯到古人的“化整为零”、“化圆为直”的作法，如“曹冲称象”的典故，我国古代数学家刘徽采用割圆法来对圆周长进行计算；这些实际上都体现了离散逼近的思想，即采用大量的简单小物体来“冲填”出复杂的大物体。早在1870年，英国科学家Rayleigh就采用假想的“试函数”来求解复杂的微分方程，1909年Ritz将其发展成为完善的数值近似方法，为现代有限元方法打下坚实基础。20世纪40年代，由于航空事业的飞速发展，设计师需要对飞机结构进行精确的设计和计算，便逐渐在工程中产生了的矩阵力学分析方法；1943年，Courant发表了第一篇使用三角形区域的多项式函数来求解扭转问题的论文；1956年波音公司的Turner，Clough，Martin和Topp在分析飞机结构时系统研究了离散杆、梁、三角形的单元刚度表达式；1960年Clough在处理平面弹性问题，第一次提出并使用“有限元方法”的名称；1955年德国的Argyris出版了第一本关于结构分析中的能量原理和矩阵方法的书，为后续的有限元研究奠定了重要的基础，1967年Zienkiewicz和Cheung出版了第一本有关有限元分析的专著；1970年以后，有限元方法开始应用于处理非线性和大变形问题；随着计算机技术的飞速发展，基于有限元方法原理的软件大量出现，并在实际工程中发挥了愈来愈重要的作用；目前，专业的著名有限元分析软件公司有几十家，国际上著名的通用有限元分析软件有ANSYS，ABAQUS，MSC/NASTRAN，MSC/MARC，ADINA，ALGOR，PRO/MECHANICA，IDEAS，还有一些专门的有限元分析软件，如LS-DYNA，DEFORM，PAM-STAMP,AUTOFORM，SUPER-FORGE等有限元分析的作用基于功能完善的有限元分析软件和高性能的计算机硬件对设计的结构进行详细的力学分析，以获得尽可能真实的结构受力信息，就可以在设计阶段对可能出现的各种问题进行安全评判和设计参数修改，据有关资料，一个新产品的问题有60以上可以在设计阶段消除，甚至有的结构的施工过程也需要进行精细的设计，要做到这一点，就需要类似有限元分析这样的分析手段。下面举出几个涉及土木工程、车辆工程、航空工程以及生物工程的实例北京奥运场馆的鸟巢由纵横交错的钢铁枝蔓组成，它是鸟巢设计中最华彩的部分，见图1-2，也是鸟巢建设中最艰难的。看似轻灵的枝蔓总重达42000吨，其中，顶盖以及周边悬空部位重量为14000吨，在施工时，采用了78根支柱进行支撑，也就是产生了78个受力区域，在钢结构焊接完成后，需要将其缓慢而又平稳地卸去，让鸟巢变成完全靠自身结构支撑；因而，支撑塔架的卸载，实际上就是对整个钢结构的加载，如何卸载？需要进行非常详细的数值化分析，以确定出最佳的卸载方案。2006年9月17日成功地完成了整体钢结构施工的最后卸载。有限元分析过程的概要 本课题先通过一个简单的实例，采用直接的推导方法，逐步展示有限元分析的基本流程，从中可以了解有限元方法的思路形成过程，以及如何由具体的求解步骤归纳出一种通用的标准求解方法。有限元分析的目的和概念任何具有一定使用功能的构件(称为变形体)都是由满足要求的材料所制造的，在设计阶段，就需要对该构件在可能的外力作用下的内部状态进行分析，以便核对所使用材料是否安全可靠，以避免造成重大安全事故。描述可承力构件的力学信息一般有三类：(1)构件中因承载在任意位置上所引起的移动(称为位移)；(2)构件中因承载在任意位置上所引起的变形状态(称为应变)；(3)构件中因承载在任意位置上所引起的受力状态(称为应力)；若该构件为简单形状，且外力分布也比较单一，如：杆、梁、柱、板就可以采用材料力学的方法，一般都可以给出解析公式，应用比较方便；但对于几何形状较为复杂的构件却很难得到准确的结果，甚至根本得不到结果。有限元分析的目的：针对具有任意复杂几何形状变形体，完整获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息，即求取该变形体的三类力学信息(位移、应变、应力)。在准确进行力学分析的基础上，设计师就可以对所设计对象进行强度、刚度等方面的评判，以便对不合理的设计参数进行修改，以得到较优化的设计方案；然后，再次进行方案修改后的有限元分析，以进行最后的力学评判和校核，确定出最后的设计方案。图2-1给出一个针对大型液压机机架的设计过程以及采用有限元分析的状况。为什么采用有限元方法就可以针对具有任意复杂几何形状的结构进行分析，并能够得到准确的结果呢？这是因为有限元方法是基于“离散逼近”的基本策略，可以采用较多数量的简单函数的组合来“近似”代替非常复杂的原函数。一个复杂的函数，可以通过一系列的基底函数的组合来“近似”，也就是函数逼近，其中有两种典型的方法：(1)基于全域的展开(如采用傅立叶级数展开)，以及(2)基于子域的分段函数组合(如采用分段线性函数的连接)；下面，仅以一个一维函数的展开为例说明全域逼近与分段逼近的特点。比较以上两种方式的特点，可以看出，第一种方式所采用的基本函数 非常复杂，而且是在全域上 定义的，但它是高次连续函数，一般情况下，仅采用几个基底函数就可以得到较高的逼近精度；而第二种方式所采用的基本函数 非常简单，而且是在子域上 定义的，它通过各个子域组合出全域 但它是线性函数，函数的连续性阶次较低，因此需要使用较多的分段才能得到较好的逼近效果，则计算工作量较大。对于第一种的函数逼近方式，就是力学分析中的经典瑞利-里兹方法(Rayleigh-Ritz principle)的思想，而针对第二种的函数逼近方式，就是现代力学分析中的有限元方法的思想，其中的分段就是“单元”的概念。基于分段的函数描述具有非常明显的优势：(1)可以将原函数的复杂性“化繁为简”，使得描述和求解成为可能，(2)所采用的简单函数可以人工选取，因此，可取最简单的线性函数，或取从低阶到高阶的多项式函数，(3)可以将原始的微分求解变为线性代数方程。但分段的做法可能会带来的问题有：(1)因采用了“化繁为简”，所采用简单函数的描述的能力和效率都较低，(2)由于简单函数的描述能力较低，必然使用数量众多的分段来进行弥补，因此带来较多的工作量。综合分段函数描述的优势和问题，只要采用功能完善的软件以及能够进行高速处理的计算机，就可以完全发挥“化繁为简”策略的优势，有限元分析的概念就在于此。一维阶梯杆结构问题的求解 一维问题，即1D(one dimension)问题，是最简单的分析对象，下面就以一个1D阶梯杆结构为例，详细给出各种方法求解的过程，直观地引入有限元分析的基本思路，并以此逐步介绍有限元分析的过程。讨论：1、以上完全按照材料力学的方法，将对象进行分解来获得问题的解答，它所求解的基本力学变量是力（或应力），由于以上问题非常简单，而且是静定问题，所以可以直接求出，但对于静不定问题，则需要变形协调方程才能求解出应力变量；(上例是先求力-应力-应变-位移），2、若采用位移作为首先求解的基本变量则可以使问题的求解变得更规范一些，下面就基于A、B、C三个点的位移 来进行以上问题的求解。例题2.2(2)1D阶梯杆结构的节点位移求解及平衡关系所处理的对象与例题2.2(1)相同，要求分别针对每个连接节点，基于节点的位移来构建相应的平衡关系，然后再进行求解。解答：考虑图2-3所示杆件的受力状况，分别画出每个节点的分离受力图，如图2-6所示。式(2-27)的物理含义就是内力与外力的平衡关系，由式(2-29)可知，内力表现为各个节点上的内力，并且可以通过节点位移 来获取。由方程(2-23)可知，这是一个基于节点A、B、C描述的全结构的平衡方程，该方程的特点为：(a)基本的力学参量为节点位移 和节点力 。(b)直接给出全结构的平衡方程，而不是象例题2.2(1)那样，需要针对每一个杆件去进行递推。(c)在获得节点位移变量 后，其它力学参量（如应变和应力），都可以分别求出（见式(2-26)）为了将方程(2-23)写成更规范、更通用的形式，用来求解例题2.2(1)所示结构的更一般的受力状况，下面在式(2-23)的基础上，直接推导出通用平衡方程。可以看出：方程(2-31)的左端就是杆件的内力表达和杆件的内力表达之和，这样就将原来的基于节点的平衡关系，变为通过每一个杆件的平衡关系来进行叠加。这里就自然引入单元的概念，即将原整体结构进行“分段”，以划分出较小的“构件”，每一个“构件”上具有节点，还可以基于节点位移写出该“构件”的内力表达关系，这样的“构件”就叫做单元，它意味着在几何形状上、节点描述上都有一定普遍性和标准性，只要根据实际情况将单元表达式中的参数（如材料常数、几何参数）作相应的代换，它就可以广泛应用于这一类构件(单元)的描述。从式(2-32)和式(2-33)可以看出，虽然它们分别用来描述杆件和杆件的，但它们的表达形式完全相同，因此本质上是一样，实际上，它们都是杆单元。可以将杆单元表达为如图2-7所示的标准形式。可以看出，方程(2-38)是单元内力与外力的平衡方程，它与单元的刚度方程是相同的。叫做单元的刚度矩阵，叫做刚度矩阵中的刚度系数有限元分析的基本流程例题2.3(1)三连杆结构的有限元分析过程解答：所谓基于单元的分析方法，就是将原整体结构按几何形状的变化性质划分节点并进行编号，然后将其分解为一个个小的构件（即：单元），基于节点位移，建立每一个单元的节点平衡关系（叫做单元刚度方程），对于杆单元来说就是式(2-38)；下一步就是将各个单元进行组合和集成，类似于式(2-31)，以得到该结构的整体平衡方程（也叫做整体刚度方程），按实际情况对方程中一些节点位移和节点力给定相应的值（叫做处理边界条件），就可以求解出所有的节点位移和支反力，最后在得到所有的节点位移后，就可以计算每一个单元的其它力学参量（如应变、应力）；下面给出该问题的有限元分析过程。有限元分析的特点有限元分析的最大特点就是标准化和规范化，这种特点使得大规模分析和计算成为可能，当采用了现代化的计算机以及所编制的软件作为实现平台时，则复杂工程问题的大规模分析就变为了现实。实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元，这就需要我们构建起各种各样的具有代表性的单元，一旦有了这些单元，就好像建筑施工中有了一些标准的预制构件(如梁、楼板等)，可以按设计要求搭建出各种各样的复杂结构，如图2-11所示有限元分析的最主要内容，就是研究单元，即首先给出单元的节点位移和节点力，然后基于单元节点位移与节点力的相互关系可以直接获得相应的刚度系数，进而得到单元的刚度方程，实际上就是要得到针对单元节点的平衡方程，这就是单元的刚度方程，就可以针对实际的复杂结构，根据实际的连接关系，将单元组装为整体刚度方程，这实际上也是得到整体结构的基于节点位移的整体平衡方程。因此，有限元方法的主要任务就是对常用的各种单元（包括1D、2D、3D问题的单元）构造出相应的单元刚度矩阵；当然，如果还采用如例题2.2(2)所示的直接法来进行构造，会非常烦琐，而采用能量原理（如：虚功原理或最小势能原理）来建立相应的平衡关系则比较简单，这种方法可以针对任何类型的单元进行构建，以得到相应的刚度矩阵。杆梁结构分析的工程概念 在建筑结构中，杆、梁、板是主要的承力构件，关于它们的计算分析对于建筑结构设计来说具有非常重要的作用，对杆、梁、板的建模将充分考虑到实际结构的几何特征及连接方式，并需要对其进行不同层次的简化，可以就某一特定分析目的得到相应的1D、2D、3D模型，由于在设计时并不知道结构的真实力学性能(或许还没有实验结果，或许还得不到精确的解析解)，仅有计算分析的一些结果，因此，一种进行计算结果校核或验证的可能方法，就是对所分析对象分别建立1D、2D、3D模型，来进行它们之间的相互验证和核对；图3-1给出一个建筑结构中的杆梁框架以及建模简化过程。谢谢老师同学们