选修4－7优选法与试验设计初步

选修选修4 47 7优选法与试验设计初步优选法与试验设计初步 第一讲第一讲 优选法优选法 一一.什么叫优选法什么叫优选法 二二.单峰函数单峰函数问题提出问题提出 1.1.利用线性规划原理，可以解决在线利用线性规划原理，可以解决在线性约束条件下，求线性目标函数的最大性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，同时还可以求得使目值或最小值问题，同时还可以求得使目标函数取得最大或最小值的最优解标函数取得最大或最小值的最优解.其中其中在可行域内寻找最优解，体现了一种优在可行域内寻找最优解，体现了一种优选法思想选法思想.2.2.蒸馒头是日常生活中常做的事情，蒸馒头是日常生活中常做的事情，为了使蒸出的馒头好吃，就要放碱，如为了使蒸出的馒头好吃，就要放碱，如果碱放少了，蒸出的馒头就发酸；碱放果碱放少了，蒸出的馒头就发酸；碱放多了，馒头就会发黄且有碱味多了，馒头就会发黄且有碱味.如果你没如果你没有做馒头的经验，也没有人可以请教，有做馒头的经验，也没有人可以请教，就要用数学的方法迅速找出合适的碱量就要用数学的方法迅速找出合适的碱量标准标准.3.3.在实践中的许多最优化问题，试在实践中的许多最优化问题，试验结果与因素的关系，有些很难用数学验结果与因素的关系，有些很难用数学形式来表达，有些表达式很复杂，这需形式来表达，有些表达式很复杂，这需要我们学习解决这类问题的数学方法要我们学习解决这类问题的数学方法.探究（一）：探究（一）：优选法优选法 思考思考1 1：有一种商品价格竞猜游戏，参与有一种商品价格竞猜游戏，参与者在只知道售价范围的前提下，对一件者在只知道售价范围的前提下，对一件商品的价格进行竞猜商品的价格进行竞猜.当竞猜者给出的估当竞猜者给出的估价不正确时，主持人以价不正确时，主持人以“高了高了”或或“低低了了”作为提示语，再让竞猜者继续估价，作为提示语，再让竞猜者继续估价，在规定时间或次数内猜对了即可获得相在规定时间或次数内猜对了即可获得相应奖品应奖品.如果你参与这项活动，每次会怎如果你参与这项活动，每次会怎么给出估价？么给出估价？思考思考2 2：在生产、生活和科学实验中，人在生产、生活和科学实验中，人们为了达到优质、高产、低耗等目的，们为了达到优质、高产、低耗等目的，需要对有关因素的组合进行选择，其中需要对有关因素的组合进行选择，其中最佳组合简称最佳组合简称最佳点最佳点，关于最佳点的选，关于最佳点的选择问题，称为择问题，称为优选问题优选问题.优选问题在生产、优选问题在生产、科研和日常生活中大量存在，如商品价科研和日常生活中大量存在，如商品价格竞猜，蒸馒头放碱等都是优选问题，格竞猜，蒸馒头放碱等都是优选问题，你能列举一个优选问题的实例吗？你能列举一个优选问题的实例吗？思考思考3 3：有一个有一个1 1km2 2的正方形池塘，现在的正方形池塘，现在要找到池塘的最深点，若每隔要找到池塘的最深点，若每隔1 1m测量一测量一次，大约要测量多少次？次，大约要测量多少次？约约10106 6次次思考思考4 4：对于那些试验结果和相关因素的对于那些试验结果和相关因素的关系不易用数学形式表达或数学表达很关系不易用数学形式表达或数学表达很复杂的优选问题，人们往往通过做试验复杂的优选问题，人们往往通过做试验的办法来寻找各种因素的最佳点的办法来寻找各种因素的最佳点.通过试通过试验方法来求最佳点时，如果不合理安排，验方法来求最佳点时，如果不合理安排，就可能面临什么问题？就可能面临什么问题？面临大量试验面临大量试验.花费大量人力、财力和时间花费大量人力、财力和时间.有时可能不具有操作性有时可能不具有操作性.思考思考5 5：利用数学原理，合理安排试验，利用数学原理，合理安排试验，以最少的实验次数迅速找到最佳点的科以最少的实验次数迅速找到最佳点的科学试验方法称为学试验方法称为优选法优选法.那么使用优选法那么使用优选法的目的是什么？需要进一步探究的问题的目的是什么？需要进一步探究的问题是什么？是什么？目的：目的：减少试验次数减少试验次数.问题：问题：优选法如何实施优选法如何实施.探究（二）：探究（二）：单峰函数单峰函数 思考思考1 1：在军事训练中，发射炮弹要考虑在军事训练中，发射炮弹要考虑发射角多大时炮弹的射程最远，这是一发射角多大时炮弹的射程最远，这是一个优选问题，能否用数学形式表达炮弹个优选问题，能否用数学形式表达炮弹的射程与发射角之间的关系？的射程与发射角之间的关系？能能思考思考2 2：设炮弹的初速度为设炮弹的初速度为v，发射角为，发射角为(0(09090)，在时刻，在时刻t t炮弹距发射点的水炮弹距发射点的水平距离为平距离为x，离地面的高度为，离地面的高度为y，空气阻，空气阻力忽略不计，则在下面的直角坐标系中，力忽略不计，则在下面的直角坐标系中，炮弹飞行轨迹的参数方程和普通方程分炮弹飞行轨迹的参数方程和普通方程分别是什么？别是什么？(t(t为参数为参数)x xy yO O思考思考3 3：炮弹的射程炮弹的射程x x与发射角与发射角之间的之间的函数关系是什么？其图象如何？炮弹发函数关系是什么？其图象如何？炮弹发射角的最佳点是什么？射角的最佳点是什么？射程射程x xO O发射角发射角最佳点是最佳点是 思考思考4 4：上述结果表明，发射角在上述结果表明，发射角在 内有唯一的最佳点内有唯一的最佳点 ，当发射角在，当发射角在内的取值比内的取值比 大些或小些时射程都近，大些或小些时射程都近，通常称这样的试验具有通常称这样的试验具有单峰性单峰性.一般地，一般地，怎样理解单峰性的含意？怎样理解单峰性的含意？在试验范围内有唯一的最佳点，当试验在试验范围内有唯一的最佳点，当试验范围内变化因素的取值比最佳点再大些范围内变化因素的取值比最佳点再大些或最小些时，试验效果都差，而且取值或最小些时，试验效果都差，而且取值距离最佳点越远试验效果越差距离最佳点越远试验效果越差.思考思考5 5：下图中的两个函数称为区间下图中的两个函数称为区间 a，b 上的上的单峰函数单峰函数，那么单峰函数的，那么单峰函数的定义特征是什么？定义特征是什么？x xy yO OabCf(x)x xy yO OabCg(x)函数函数f(x)在区间在区间 a，b 上只有唯一的最大上只有唯一的最大(小小)值点值点C C，且在点，且在点C C的两侧单调，并具的两侧单调，并具有相反的单调性有相反的单调性.思考思考6 6：下列各图中的函数是区间下列各图中的函数是区间 a，b 上的单峰函数吗？单峰函数一定是连续上的单峰函数吗？单峰函数一定是连续函数吗？函数吗？x xy yO Oabx xy yO O abx xy yO O ab规定：区间规定：区间 a，b 上的单调函数是单峰上的单调函数是单峰 函数函数.单峰函数不一定是连续函数单峰函数不一定是连续函数.探究（三）：探究（三）：因素与试点因素与试点思考思考1 1：在炮弹发射试验中，除发射角外，在炮弹发射试验中，除发射角外，客观上还会因哪些原因影响炮弹的射程客观上还会因哪些原因影响炮弹的射程？初速度，空气阻力，地理位置等初速度，空气阻力，地理位置等.思考思考2 2：一般地，把影响试验目标的诸多一般地，把影响试验目标的诸多原因称为原因称为因素因素.由于全面考虑试验中的各由于全面考虑试验中的各种因素往往非常困难，常假设其中的某种因素往往非常困难，常假设其中的某些因素保持不变，或忽略某些影响较小些因素保持不变，或忽略某些影响较小的因素，而把关注点集中在感兴趣的某的因素，而把关注点集中在感兴趣的某个因素上个因素上.如果在一个试验过程中，只有如果在一个试验过程中，只有（或主要有）一个因素在变化，则称这（或主要有）一个因素在变化，则称这类问题为类问题为单因素问题单因素问题.炮弹发射试验是炮弹发射试验是否为单因素问题？认为哪些因素保持不否为单因素问题？认为哪些因素保持不变？忽略了哪些因素？变？忽略了哪些因素？认为初速度保持不变，忽略了空气阻力认为初速度保持不变，忽略了空气阻力.思考思考3 3：把试验中可以人为调控的因素叫把试验中可以人为调控的因素叫做做可控因素可控因素，不能人为调控的因素叫做，不能人为调控的因素叫做不可控因素不可控因素，炮弹发射试验中哪些是可，炮弹发射试验中哪些是可控因素，哪些是不可控因素？一般地，控因素，哪些是不可控因素？一般地，在试验中我们感兴趣的因素是哪种因素在试验中我们感兴趣的因素是哪种因素？发射角是可控因素，空气阻力是不可控发射角是可控因素，空气阻力是不可控因素，感兴趣的是可控因素因素，感兴趣的是可控因素.思考思考4 4：表示试验目标与因素之间对应关表示试验目标与因素之间对应关系的函数称为系的函数称为目标函数目标函数，常用，常用x x表示因素，表示因素，f(x)表示目标函数，包含最佳点的因素范表示目标函数，包含最佳点的因素范围下限用围下限用a表示，上限用表示，上限用b表示表示.炮弹发炮弹发射试验的目标函数，因素范围上、下限射试验的目标函数，因素范围上、下限分别是什么？分别是什么？目标函数目标函数：因素范围上限因素范围上限：，下限下限：0.0.思考思考5 5：当主要因素确定之后，接下来的当主要因素确定之后，接下来的任务是通过试验找出最佳点，使试验的任务是通过试验找出最佳点，使试验的结果（目标）最好结果（目标）最好.当目标函数没有表当目标函数没有表达式时，一般要选择适当的方法安排试达式时，一般要选择适当的方法安排试验点（简称验点（简称试点试点），选择试点方法找出），选择试点方法找出最佳点的基本原则是什么？最佳点的基本原则是什么？试点个数尽可能少试点个数尽可能少.思考思考6 6：设设x x1 1和和x x2 2是因素范围是因素范围 a，b 内的内的任意两个试点，任意两个试点，C C为最佳点，把两个试点为最佳点，把两个试点中效果较好的点称为中效果较好的点称为好点好点，效果较差的，效果较差的点称为点称为差点差点.若目标函数为单峰函数，则若目标函数为单峰函数，则好点与差点哪个更接近最佳点？好点与差点哪个更接近最佳点？若好点和差点在最佳点同侧，则好点比若好点和差点在最佳点同侧，则好点比差点更接近最佳点；否则，不好说差点更接近最佳点；否则，不好说.x xy yO OabCf(x)x xy yO OabCf(x)思考思考7 7：若目标函数为单峰函数，则最佳若目标函数为单峰函数，则最佳点，好点，差点的相对位置关系如何？点，好点，差点的相对位置关系如何？x xy yO OabCf(x)x xy yO OabCf(x)最佳点与好点必在差点的同侧最佳点与好点必在差点的同侧.思考思考8 8：以差点为分界点，把因素范围分以差点为分界点，把因素范围分成两部分，其中好点所在部分称为成两部分，其中好点所在部分称为存优存优范围范围.据此，你能设计一个找最佳点的方据此，你能设计一个找最佳点的方法吗？法吗？不断缩小存优范围不断缩小存优范围 理论迁移理论迁移 例例1 1 据医学统计，人群中带有某种传染病毒的人据医学统计，人群中带有某种传染病毒的人所占的比例为所占的比例为0.25%.0.25%.某市在一次高考体检中有某市在一次高考体检中有1 1万万名考生待检，为了查清这些考生中哪些人携带此病名考生待检，为了查清这些考生中哪些人携带此病毒，医院采取一种叫毒，医院采取一种叫“群试群试”的方法，通过血液化的方法，通过血液化验进行排查验进行排查.即把从每位考生身上抽取的血样分成即把从每位考生身上抽取的血样分成两部分，一份保存备用，一份与其他若干人的血样两部分，一份保存备用，一份与其他若干人的血样混合在一起化验若某组混合血样中含此病毒，说混合在一起化验若某组混合血样中含此病毒，说明这组人中有该病毒携带者，然后利用备用血样逐明这组人中有该病毒携带者，然后利用备用血样逐个化验排查；若某组混合血样中不含此病毒，说明个化验排查；若某组混合血样中不含此病毒，说明这组人中没有该病毒携带者，这样就可以减少化验这组人中没有该病毒携带者，这样就可以减少化验的次数若将这的次数若将这1 1万名考生平均分成万名考生平均分成200200组进行群试组进行群试化验排查，那么至多做多少次化验，就一定能找出化验排查，那么至多做多少次化验，就一定能找出所有该病毒携带者所有该病毒携带者.14241424次次 例例2 2 已知函数已知函数f(x)为区间为区间00，11上的上的单峰函数，且单峰函数，且f(x)在在xa时取最大值，并时取最大值，并称称a为为峰点峰点，包含峰点的区间叫做，包含峰点的区间叫做含峰区含峰区间间.证明：对任意证明：对任意x1 1，x2 2(0(0，1)1)，x1 1x2 2，若，若f(x1 1)f(x2 2)，则，则(0(0，x2 2)为含峰为含峰区间；若区间；若f(x1 1)f(x2 2)，则，则(x1 1，1)1)为含为含峰区间峰区间.例例3 3 已知函数已知函数若若f(x)是是00，44上的单峰函数，求上的单峰函数，求a的取的取值范围值范围.小结作业小结作业 1.1.如果影响试验的某个因素（记为如果影响试验的某个因素（记为x x）处于某种状态（记为处于某种状态（记为x xx x0 0）时，试验结）时，试验结果最好，那么这种状态（果最好，那么这种状态（x xx x0 0）就是这）就是这个因素（个因素（x x）的最佳点）的最佳点.2.2.具有单峰性的试验是优选法研究的具有单峰性的试验是优选法研究的最简单的试验，在这样的试验中，试验最简单的试验，在这样的试验中，试验结果可以表示为实验因素的单峰函数结果可以表示为实验因素的单峰函数.3.3.目标函数并不需要目标函数并不需要f(x)的真正表达的真正表达式，因素范围可以用式，因素范围可以用a到到b的线段来表示的线段来表示.不断缩小存优范围是寻找最佳点的一个不断缩小存优范围是寻找最佳点的一个有效办法有效办法.选修选修4 47 7优选法与试验设计初步优选法与试验设计初步 第一讲第一讲 优选法优选法 三三.黄金分割法黄金分割法0.6180.618法法问题提出问题提出 1.1.优选法的含意是什么？优选法的含意是什么？利用数学原理，合理安排试验，以最少利用数学原理，合理安排试验，以最少的实验次数迅速找到最佳点的科学试验的实验次数迅速找到最佳点的科学试验方法方法.2.2.区间区间 a，b 上的单峰函数的基本特上的单峰函数的基本特点是什么？点是什么？函数在区间函数在区间 a，b 上只有唯一的最大上只有唯一的最大(小小)值点值点C C，且在点，且在点C C的两侧单调，并具有相的两侧单调，并具有相反的单调性反的单调性.3.3.好点、差点和单峰函数存优范围的好点、差点和单峰函数存优范围的含义分别是什么？含义分别是什么？好点：好点：两个试点中效果较好的点；两个试点中效果较好的点；差点：差点：两个试点中效果较差的点；两个试点中效果较差的点；存优范围：存优范围：以差点为分界点，把因素范以差点为分界点，把因素范 围分成两部分，好点所在围分成两部分，好点所在 部分对应的范围部分对应的范围.4.4.优选法的基本原则是以最少的实验优选法的基本原则是以最少的实验次数迅速找到最佳点，在实际问题中，次数迅速找到最佳点，在实际问题中，应采取什么办法贯彻这个原则？对具有应采取什么办法贯彻这个原则？对具有单峰性的试验，如何安排试点才能迅速单峰性的试验，如何安排试点才能迅速找到最佳点？这才是优选法的核心内容，找到最佳点？这才是优选法的核心内容，也是我们必须解决的问题也是我们必须解决的问题.探究（一）：探究（一）：黄金分割常数黄金分割常数 思考思考1 1：对于单峰函数，最佳点与好点必对于单峰函数，最佳点与好点必在差点的同侧，从而可以通过不断缩小在差点的同侧，从而可以通过不断缩小存优范围来寻找最佳点，具体如何操作存优范围来寻找最佳点，具体如何操作？先在因素范围先在因素范围 a，b 内任选两点各做一内任选两点各做一次试验，根据试验结果确定好点与差点，次试验，根据试验结果确定好点与差点，在差点处把在差点处把 a，b 分成两段，截掉不含分成两段，截掉不含好点的一段，留下存优范围好点的一段，留下存优范围 a1 1，b1 1 再再在在 a1 1，b1 1 内重复上述工作，内重复上述工作，.思考思考2 2：假设因素区间为假设因素区间为00，11，取两个，取两个试点试点0.10.1和和0.20.2，则对峰值在，则对峰值在(0(0，0.1)0.1)内内的单峰函数，两次试验存优范围缩小到的单峰函数，两次试验存优范围缩小到了什么区间？对峰值在了什么区间？对峰值在(0.2(0.2，1)1)内的单内的单峰函数，两次试验存优范围缩小到了什峰函数，两次试验存优范围缩小到了什么区间？么区间？x xy yO O0.10.11 1f(x)0.20.2 (0(0，0.2)0.2)x xy yO O0.10.11 1f(x)0.20.2(0.1(0.1，1)1)思考思考3 3：上述结果表明，如果试点选取是上述结果表明，如果试点选取是随意的，则对寻找单峰函数最佳点的效随意的，则对寻找单峰函数最佳点的效率会产生一定的影响率会产生一定的影响.由于在试验之前无由于在试验之前无法预知哪个试点是好点，为了克服盲目法预知哪个试点是好点，为了克服盲目性和侥幸心理，在每次选取两个试点时，性和侥幸心理，在每次选取两个试点时，你认为这两个试点应具有什么相对位置你认为这两个试点应具有什么相对位置关系为好？关系为好？关于区间中点对称关于区间中点对称 ab思考思考4 4：在一个区间内关于中点对称的两在一个区间内关于中点对称的两点有无数对，实践表明，两个试点离中点有无数对，实践表明，两个试点离中点太近或太远，都不利于很快接近最佳点太近或太远，都不利于很快接近最佳点点.我们设想：我们设想：每次舍去的区间长度与舍每次舍去的区间长度与舍去前的区间长度之比为常数去前的区间长度之比为常数.对单峰函数，对单峰函数，若两个试点的试验结果一样，应如何舍若两个试点的试验结果一样，应如何舍去区间？去区间？同时舍去两个试点外侧的区间同时舍去两个试点外侧的区间.思考思考5 5：在因素区间在因素区间 a，b 内选取两个试内选取两个试点点x1 1和和x2 2，且，且x1 1x2 2，由点，由点x1 1和和x2 2关于区关于区间间 a，b 的中心对称，可得什么关系？的中心对称，可得什么关系？舍去的区间长度为多少？舍去的区间长度为多少？x1 1x2 2ab x2 2abx1 1 思考思考6 6：不妨设不妨设x2 2是好点，是好点，x1 1是差点，则是差点，则舍去的区间是什么？存优范围是什么？舍去的区间是什么？存优范围是什么？再在存优范围内再在存优范围内 a，x1 1 内做试验要取几内做试验要取几个试点？个试点？存优范围是存优范围是 a，x1 1 x1 1x2 2ab 舍去舍去(x1 1，b 取一个试点取一个试点 x2 2ax1 1思考思考7 7：在存优范围在存优范围 a，x1 1 内取第三个内取第三个试点试点x3 3，则点，则点x2 2与与x3 3的相对位置关系如何的相对位置关系如何？舍去的区间长度为多少？舍去的区间长度为多少？x3 3关于区间关于区间 a，x1 1 的中心对称，且点的中心对称，且点x3 3在在点点x2 2左侧，舍去的区间长度为左侧，舍去的区间长度为x1 1x2 2.思考思考8 8：根据按比例舍去原则，可得什么根据按比例舍去原则，可得什么等式？等式？bx1 1x2 2ax2 2ax1 1x3 3思考思考9 9：将上面的等式可得将上面的等式可得,即即如何理解这个等式两边的实际意义？如何理解这个等式两边的实际意义？bx1 1x2 2ax2 2ax1 1x3 3两次舍弃后的存优范围占舍弃前全区间两次舍弃后的存优范围占舍弃前全区间的比例数的比例数.思考思考1010：设设 ，有什么办法求出，有什么办法求出t t的值吗？的值吗？探究（二）：探究（二）：黄金分割法黄金分割法 思考思考1 1：称为称为黄金分割常数黄金分割常数，用，用表表示，示，0.618.0.618.试验方法中，利用黄金试验方法中，利用黄金分割常数确定试点的方法叫做分割常数确定试点的方法叫做黄金分割黄金分割法法，也叫做，也叫做0.6180.618法法.一般地，利用这个一般地，利用这个方法寻找单峰函数在因素区间方法寻找单峰函数在因素区间 a，b 内内的最佳点，具体如何操作？的最佳点，具体如何操作？在存优范围内取黄金分割点为试点在存优范围内取黄金分割点为试点.思考思考2 2：炼钢时通过加入含有特定化学元炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使练出的钢满足一定的指标素的材料，使练出的钢满足一定的指标要求要求.假设为了炼出某种特定用途的钢，假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在每吨需要加入某元素的量在1000g1000g到到2000g2000g之间，若以之间，若以1g1g为间隔，把所有的可为间隔，把所有的可能性都做一遍试验来寻找最优点，这种能性都做一遍试验来寻找最优点，这种方法称为方法称为均分法均分法，利用均分法寻找最优，利用均分法寻找最优点有什么缺点？点有什么缺点？试验次数太多，在时间、人力和物力上试验次数太多，在时间、人力和物力上造成浪费造成浪费.思考思考3 3：用一张纸条表示用一张纸条表示100010002000g2000g，以以10001000为起点标出刻度，如何确定第一为起点标出刻度，如何确定第一试点试点x1 1和第二试点和第二试点x2 2的值？的值？x2 213821382x1 1161816181000100020002000 x1 1100010000.6180.618(2000(20001000)1000)1618(g)1618(g)，x2 21000100020002000 x x1 11382(g).1382(g).思考思考4 4：如果称因素范围的左右两端点值如果称因素范围的左右两端点值分别为分别为小头小头和和大头大头，那么，那么x1 1和和x2 2的直观的直观表达式如何？表达式如何？x2 213821382x1 1161816181000100020002000 x1 1100010000.6180.618(2000(20001000)1000)1618(g)1618(g)，x2 21000100020002000 x x1 11382(g).1382(g).x1 1小小0.6180.618(大小大小)，x2 2小大小大x1 1.思考思考5 5：用黄金分割法确定第一试点用黄金分割法确定第一试点x1 1后，后，x2 2的值相当于的值相当于“加两头，减中间加两头，减中间”.类似地，在确定第类似地，在确定第n个试点个试点xn时，如果时，如果存优范围内相应的好点是存优范围内相应的好点是xm，则，则xn等于等于什么？什么？xn小大小大xmxnxm小小大大思考思考6 6：对前述炼钢问题，比较第一、二对前述炼钢问题，比较第一、二次试验结果，如果第二试点次试验结果，如果第二试点x2 2是好点，是好点，则第三试点则第三试点x3 3的值如何计算？的值如何计算？x3 31000100016181618138213821236(g)1236(g)x2 213821382x1 1161816181000100020002000思考思考7 7：比较第二、三次试验结果，如果比较第二、三次试验结果，如果第二试点第二试点x2 2仍是好点，则第四试点仍是好点，则第四试点x4 4的的值如何计算？值如何计算？x4 41236123616181618138213821472(g)1472(g)x2 213821382x1 11618161810001000 x3 312361236思考思考8 8：用用0.6180.618法寻找最佳点时，虽然法寻找最佳点时，虽然不能保证在有限次内准确找到最佳点，不能保证在有限次内准确找到最佳点，但随着试验次数的增加，存优范围会越但随着试验次数的增加，存优范围会越来越小，若用一个数据来越小，若用一个数据n来刻画来刻画n次试验次试验后的精度，以此衡量一种试验方法的效后的精度，以此衡量一种试验方法的效率，则率，则n应如何计算？应如何计算？n次试验后的存优范围次试验后的存优范围原始的因素范围原始的因素范围n思考思考9 9：用用0.6180.618法确定试点时，法确定试点时，n次试验次试验后的精度后的精度n为多少？为多少？n0.6180.618n1 1思考思考1010：用用0.6180.618法寻找最佳点时，若给法寻找最佳点时，若给定精度定精度，为了达到这个精度，至少要，为了达到这个精度，至少要做多少次试验？做多少次试验？理论迁移理论迁移 例例1 1 已知某因素范围是已知某因素范围是100100，11001100，用黄金分割法寻找最佳点，已知前用黄金分割法寻找最佳点，已知前6 6次试次试验后的好点包含在区间验后的好点包含在区间700700，750750内，内，求第求第6 6次试验后的存优范围次试验后的存优范围.684684，774 774 例例2 2 调酒师为了调制一种鸡尾酒，每调酒师为了调制一种鸡尾酒，每100kg100kg烈性酒中需要加入柠檬汁的量在烈性酒中需要加入柠檬汁的量在1kg1kg到到2kg2kg之间，用之间，用0.6180.618法寻找它的最佳法寻找它的最佳加入量，要求加入柠檬汁的误差不超出加入量，要求加入柠檬汁的误差不超出1g1g，问需要做多少次试验？，问需要做多少次试验？需要做需要做1919次试验次试验 例例3 3 在用在用0.6180.618法寻找最佳点的过程法寻找最佳点的过程中，若某次试验后的存优范围是中，若某次试验后的存优范围是22，b b 且且2.3822.382是这个存优范围内的一个好点，是这个存优范围内的一个好点，求求b b的值的值.b b2.6182.618或或b b3.3.小结作业小结作业 1.1.建立黄金分割法的基本原则是：建立黄金分割法的基本原则是：两个试点关于存优范围的中心对称，且两个试点关于存优范围的中心对称，且每次舍去的区间长度与舍去前的区间长每次舍去的区间长度与舍去前的区间长度成比例度成比例.2.2.黄金分割法主要适用于单因素单黄金分割法主要适用于单因素单峰目标函数，第一个试点确定在因素范峰目标函数，第一个试点确定在因素范围的围的0.6180.618处，后续试点可以用处，后续试点可以用“加两头，加两头，减中间减中间”来确定来确定.3.3.试验方法的效率常用精度试验方法的效率常用精度n来反映，来反映，在相同试验次数下，精度越高，方法越在相同试验次数下，精度越高，方法越好好.作业：作业：P10P10习题习题1.31.3：1 1，2 2，3.3.选修选修4 47 7优选法与试验设计初步优选法与试验设计初步 第一讲第一讲 优选法优选法 四四.分数法分数法问题提出问题提出 1.1.黄金分割法的基本原则是什么？黄金分割法的基本原则是什么？两个试点关于存优范围的中心对称，且两个试点关于存优范围的中心对称，且每次舍去的区间长度与舍去前的区间长每次舍去的区间长度与舍去前的区间长度成比例度成比例.2.2.用黄金分割法寻找最优点时，第一用黄金分割法寻找最优点时，第一个试点选在何处？后续试点的数量值如个试点选在何处？后续试点的数量值如何计算？何计算？第一个试点在因素范围的第一个试点在因素范围的0.6180.618处；处；后续试点选在存优范围内，用后续试点选在存优范围内，用“加两头，加两头，减中间减中间”来确定数量值来确定数量值.3.3.用黄金分割法确定试点时，用黄金分割法确定试点时，n次试次试验后的精度验后的精度n为多少？为多少？n0.6180.618n1 1 4.4.黄金分割法操作简单实用，是一种黄金分割法操作简单实用，是一种重要的优选法，是寻找单因素单峰目标重要的优选法，是寻找单因素单峰目标函数最佳点的主要方法函数最佳点的主要方法.但是，如果因素但是，如果因素范围是由一些离散的点组成，就不便甚范围是由一些离散的点组成，就不便甚至不能利用黄金分割法来寻找最佳点至不能利用黄金分割法来寻找最佳点.用用此，我们希望以黄金分割法为基础，再此，我们希望以黄金分割法为基础，再研究一个类似的方法来弥补黄金分割法研究一个类似的方法来弥补黄金分割法的不足的不足.探究（一）：探究（一）：分数法的概念分数法的概念 思考思考1 1：在配置某种清洗液时，需要加入在配置某种清洗液时，需要加入某种材料某种材料.经验表明，加入量大于经验表明，加入量大于130130ml肯定不好肯定不好.用用150150ml的锥形量杯计量加入的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为量，该量杯的量程分为1515格，每格代表格，每格代表1010ml，能否用，能否用0.6180.618法找出这种材料的最法找出这种材料的最优加入量？为什么？优加入量？为什么？不方便，因为用不方便，因为用0.6180.618法算出的试点不是法算出的试点不是1010ml的整数倍，锥形量杯难以精确计量的整数倍，锥形量杯难以精确计量.思考思考2 2：0.6180.618是黄金分割常数是黄金分割常数的近似值，的近似值，是方程是方程2 21 10 0的的根，该方程可以作哪些变形？根，该方程可以作哪些变形？(1)1)1 1，等等.思考思考3 3：将等式将等式 右边的右边的反复反复用用 代替，可得什么关系式？代替，可得什么关系式？思考思考4 4：上式右边是一个繁分式，叫做上式右边是一个繁分式，叫做无无穷连分数穷连分数，为了书写简便，记作，为了书写简便，记作 ,那么这个无穷分数的前那么这个无穷分数的前6 6项项分别为多少？分别为多少？前一项的分母等于后一项的分子；前一项的分母等于后一项的分子；思考思考5 5：依次计算无穷连分数的各项得到依次计算无穷连分数的各项得到数列数列1 1，.这个这个数列的相邻两项有什么联系？设这个数数列的相邻两项有什么联系？设这个数列的分子组成数列列的分子组成数列 F Fn，则数列，则数列 F Fn 为为1 1，1 1，2 2，3 3，5 5，8 8，1313，2121，3434，这，这个数列有什么构成规律？个数列有什么构成规律？F F0 0F F1 11 1，.思考思考6 6：上述数列上述数列 F Fn 叫做叫做斐波那契斐波那契数数列，随着列，随着n的增大，的增大，的值与的值与有什么有什么关系？关系？逐渐趋向于逐渐趋向于思考思考7 7：分数分数 可作为可作为的近似值，而的近似值，而且且n越大近似程度越高，数列越大近似程度越高，数列 称为称为的的渐近分数列渐近分数列，称为称为的第的第n项项渐渐近分数近分数.如果用如果用0.6180.618法确定试点不方便，法确定试点不方便，可以用哪些数代替可以用哪些数代替0.6180.618？用用的渐近分数的渐近分数 思考思考8 8：在前述在前述“配置清洗液配置清洗液”问题中，问题中，因素范围是因素范围是0 0130130ml，锥形量杯能精确，锥形量杯能精确计量计量1010ml的整数倍，用哪个渐近分数来的整数倍，用哪个渐近分数来代替代替0.6180.618选取试点最合适？选取试点最合适？思考思考9 9：用用 代替代替0.6180.618，第，第1 1试点和第试点和第2 2试点对应的加入量分别为多少试点对应的加入量分别为多少ml？若第？若第1 1试点是好点，则第试点是好点，则第3 3试点对应的加入量为试点对应的加入量为多少多少ml？x2 20 0130130808050 50 x3 350501301308080100100思考思考1010：在优选法中，用渐近分数近似在优选法中，用渐近分数近似代替代替0.6180.618确定试点的方法叫做确定试点的方法叫做分数法分数法，那么在什么情况下使用分数法？那么在什么情况下使用分数法？因素范围由一些离散的、间隔不因素范围由一些离散的、间隔不等的点组成，试点只能取某些特定值等的点组成，试点只能取某些特定值.探究（二）：探究（二）：分数法的操作原理分数法的操作原理 思考思考1 1：在测试某设备的线路中，要选在测试某设备的线路中，要选一个电阻，但测试者手里只有阻值为一个电阻，但测试者手里只有阻值为0.5K0.5K，1K1K，1.3K1.3K，2K2K，3K3K，5K5K，5.5K5.5K等七种阻值不等的定值电等七种阻值不等的定值电阻，用分数法优选这个阻值有何困难？阻，用分数法优选这个阻值有何困难？如何解决？如何解决？阻值间隔不均匀，电阻个数不是斐波那阻值间隔不均匀，电阻个数不是斐波那契数契数.把这些电阻由小到大排序，并在两端各把这些电阻由小到大排序，并在两端各增加一个虚点，使因素范围凑成增加一个虚点，使因素范围凑成8 8格格.阻值阻值 0.5 1 1.3 2 3 5 5.5 0.5 1 1.3 2 3 5 5.5 排序排序 0 1 2 3 4 5 6 7 80 1 2 3 4 5 6 7 83K3K，1.3K.1.3K.思考思考2 2：通过上述处理，可以把阻值优通过上述处理，可以把阻值优选变为排列序号优选，用渐近分数选变为排列序号优选，用渐近分数 代代替替0.6180.618确定试点，第确定试点，第1 1个试点选取哪个个试点选取哪个阻值的电阻？第阻值的电阻？第2 2个试点选取哪个阻值个试点选取哪个阻值的电阻？的电阻？思考思考3 3：如果第如果第2 2个试点是好点，则第个试点是好点，则第3 3个个试点选取哪个阻值的电阻？如果第试点选取哪个阻值的电阻？如果第1 1个试个试点是好点，则第点是好点，则第3 3个试点选取哪个阻值的个试点选取哪个阻值的电阻？电阻？5K.5K.1K.1K.思考思考4 4：分数法的基本思想是用适当的渐分数法的基本思想是用适当的渐近分数代替近分数代替0.6180.618，再类似黄金分割法的，再类似黄金分割法的操作原理选取试点操作原理选取试点.设某试验的因素范围设某试验的因素范围是是 0，1，如果只能做，如果只能做1 1次试验，则应取次试验，则应取哪个渐近分数代替哪个渐近分数代替0.6180.618？试点选在何处？试点选在何处？精度为多少？精度为多少？精度为精度为0.5.0.5.01思考思考5 5：设某试验的因素范围是设某试验的因素范围是 0，1，如果只能做如果只能做2 2次试验，则应取哪个渐近分次试验，则应取哪个渐近分数代替数代替0.6180.618？两个试点分别选在何处？两个试点分别选在何处？精度为多少？精度为多少？第第1 1试点选在试点选在 处，第处，第2 2试点选在试点选在 处，处，精度为精度为 .思考思考6 6：如果只能做如果只能做3 3次试验，则应取哪次试验，则应取哪个渐近分数代替个渐近分数代替0.6180.618？精度为多少？一？精度为多少？一般地，如果只能做般地，如果只能做k k次试验，则应取哪个次试验，则应取哪个渐近分数代替渐近分数代替0.6180.618？精度为多少？精度为多少？01渐近分数取渐近分数取 ，精度为，精度为 ；渐近分数取渐近分数取 ，精度为，精度为 .思考思考7 7：用分数法安排试点时，若可能的用分数法安排试点时，若可能的试点总数正好是某一个试点总数正好是某一个F Fn1 1，则第，则第1 1，2 2个试点分别选哪个点？经过两次试验后，个试点分别选哪个点？经过两次试验后，存优范围中还剩下多少个试点可能是最存优范围中还剩下多少个试点可能是最佳点？佳点？F FnF Fn1 1F Fn2 2F Fn1 10 0 1 1第第F Fn1 1和和F Fn2 2点，剩点，剩F Fn1 11 1个个试点试点.思考思考8 8：在在F Fn1 1个可能的试点中，最多个可能的试点中，最多做多少次试验就能找到其中的最佳点？做多少次试验就能找到其中的最佳点？最多做最多做n1 1次试验次试验 思考思考9 9：若可能的试点总数大于某一个若可能的试点总数大于某一个 F Fn1 1，且小于某一个，且小于某一个F Fn1 11 1，用分数，用分数法安排试点时应作如何处理？法安排试点时应作如何处理？把所有可能的试点减少为把所有可能的试点减少为F Fn1 1个，个，或增设几个虚点凑成或增设几个虚点凑成F Fn1 11 1个个.思考思考1010：一般地，用分数法安排试点的一般地，用分数法安排试点的操作步骤如何？操作步骤如何？（1 1）将试点个数调整为）将试点个数调整为F Fn1 1个；个；（2 2）用）用 代替代替0.6180.618确定第一个试点；确定第一个试点；（3 3）用）用“加两头，减中间加两头，减中间”的方法确的方法确定后续试点定后续试点.思考思考1111：对目标函数为单峰的情形，用对目标函数为单峰的情形，用分数法寻找最佳点的试验次数与试点个分数法寻找最佳点的试验次数与试点个数有什么关系？数有什么关系？（1 1）当因素范围内有）当因素范围内有F Fn1 11 1个试点时，个试点时，最多只需作最多只需作n次试验就能找出其中的最佳次试验就能找出其中的最佳点点.（2 2）通过）通过n次试验，最多能从次试验，最多能从F Fn1 11 1个个试点中保证找出最佳点试点中保证找出最佳点.（3 3）只有按照分数法安排试点，才能通）只有按照分数法安排试点，才能通过过n次试验保证从次试验保证从F Fn1 11 1个试点中找出个试点中找出最佳点最佳点.理论迁移理论迁移 例例 某化工厂拟对某一化工产品进行某化工厂拟对某一化工产品进行技术改良，需要优选加工温度，试验范技术改良，需要优选加工温度，试验范围定为围定为60608080C C，精度要求，精度要求1 1，技，技术员准备用分数法进行优选术员准备用分数法进行优选.（1 1）如何安排试验？）如何安排试验？（2 2）最多通过几次试验就可以找出最佳）最多通过几次试验就可以找出最佳点？点？（3 3）若最佳点为）若最佳点为7070C C，求各试点的值，求各试点的值.小结作业小结作业 1.1.分数法适用于单因素单峰函数的分数法适用于单因素单峰函数的因素范围由一些离散的点组成，试点只因素范围由一些离散的点组成，试点只能取某些特定值的情形，其基本思想是能取某些特定值的情形，其基本思想是用适当的渐近分数代替用适当的渐近分数代替0.6180.618，然后按，然后按类似黄金分割法的操作原理选取试点类似黄金分割法的操作原理选取试点.即先用渐近分数确定第一个试点，后续即先用渐近分数确定第一个试点，后续试点可以用试点可以用“加两头，减中间加两头，减中间”的方法的方法来确定来确定.2.2.现实中，由于时间、人力、物力现实中，由于时间、人力、物力和财力的关系，往往使试验次数受到限和财力的关系，往往使试验次数受到限制，这种情况下采用分数法可以达到较制，这种情况下采用分数法可以达到较好的效果好的效果.当试点个数一定时，用分数法当试点个数一定时，用分数法找出其中的最佳点的试验次数最少找出其中的最佳点的试验次数最少.3.3.若因素范围内的试点将试验范围所若因素范围内的试点将试验范围所分的段数不是斐波那契数，则可以通过分的段数不是斐波那契数，则可以通过减少试点数或增加虚点数凑成斐波那契减少试点数或增加虚点数凑成斐波那契数数.作业：作业：P17P17习题习题1.41.4：1 1，2 2，3.3.选修选修4 47 7优选法与试验设计初步优选法与试验设计初步 第一讲第一讲 优选法优选法 五五.其他几种常用的优选法其他几种常用的优选法 问题提出问题提出 1.1.斐波那契数列斐波那契数列 F Fn 的构成规律是什的构成规律是什么？么？F F0 0F F1 11 1，.2.2.分数法的基本思想与适用范围是什分数法的基本思想与适用范围是什么？么？用渐近分数用渐近分数 近似代替近似代替0.6180.618确定试点确定试点的方法的方法.适用于单因素单峰函数的因素范围由一适用于单因素单峰函数的因素范围由一些离散的点组成，试点只能取某些特定些离散的点组成，试点只能取某些特定值的情形值的情形.3.3.用分数法安排试点的操作步骤如何？用分数法安排试点的操作步骤如何？将试点个数调整为将试点个数调整为F Fn1 1个个 用用 代替代替0.6180.618确定第一个试点确定第一个试点 用用“加两头，减中间加两头，减中间”的方法确定后的方法确定后续试点续试点.4.4.分数法寻找最佳点的试验次数与试分数法寻找最佳点的试验次数与试点个数有什么关系？点个数有什么关系？（1 1）当因素范围内有）当因素范围内有F Fn1 11 1个试点时，个试点时，最多只需作最多只需作n次试验就能找出其中的最佳次试验就能找出其中的最佳点点.（2 2）通过）通过n次试验，最多能从次试验，最多能从F Fn1 11 1个个试点中保证找出最佳点试点中保证找出最佳点.（3 3）只有按照分数法安排试点，才能通）只有按照分数法安排试点，才能通过过n次试验保证从次试验保证从F Fn1 11 1个试点中找出个试点中找出最佳点最佳点.5.5.分数法与黄金分割法都是有效的优分数法与黄金分割法都是有效的优选法，其操作原理基本类似，其主要区选法，其操作原理基本类似，其主要区别是分数法用渐近数确定第一个试点，别是分数法用渐近数确定第一个试点，黄金分割法用黄金分割法用0.6180.618确定第一个试点，其确定第一个试点，其共同点是用共同点是用“加两头，减中间加两头，减中间”确定后确定后续试点续试点.由于这两种优选法的适应范围各由于这两种优选法的适应范围各有其局限性，同时，利用这两种方法解有其局限性，同时，利用这两种方法解决某些优选问题需要较多的试验次数，决某些优选问题需要较多的试验次数，因此，我们还得有一些其他的优选法作因此，我们还得有一些其他的优选法作为补充为补充.探究（一）：探究（一）：对分法对分法 思考思考1 1：在商品价格竞猜游戏中，竞猜者在商品价格竞猜游戏中，竞猜者以怎样的方式估价，可以尽快猜对商品以怎样的方式估价，可以尽快猜对商品的价格？的价格？每次取存优范围的中点值作为估价每次取存优范围的中点值作为估价.思考思考2 2：有一条有一条10km10km长的输电线路出现了长的输电线路出现了故障，在线路的一端故障，在线路的一端A A处有电，在另一端处有电，在另一端B B处没有电，你有什么办法通过试点迅速处没有电，你有什么办法通过试点迅速查出故障所在位置？查出故障所在位置？每次取存优范围的中点作为试点每次取存优范围的中点作为试点.思考思考3 3：上述安排试点的方法称为上述安排试点的方法称为对分法对分法，那么对分法的操作步骤是什么？那么对分法的操作步骤是什么？取因素范围的中点为试点取因素范围的中点为试点 根据试验结果截去范围的一半根据试验结果截去范围的一半 在存优范围内重复上述操作，直至找在存优范围内重复上述操作，直至找出最佳点出最佳点.思考思考4 4：并不是所有优选问题都可以用对并不是所有优选问题都可以用对分法，那么对分法的适应条件是什么？分法，那么对分法的适应条件是什么？（1 1）有一个鉴别试验结果好坏的标准；）有一个鉴别试验结果好坏的标准；（2 2）能根据每次试验结果预知下个试点）能根据每次试验结果预知下个试点的存优范围的存优范围.思考思考5 5：利用对分法作利用对分法作n次试验，所达到次试验，所达到的精度为多少？的精度为多少？思考思考6 6：分别用分别用0.6180.618法和对分法安排试法和对分法安排试验，找出蒸馒头时合适的放碱量，哪种验，找出蒸馒头时合适的放碱量，哪种方法更为有效？为什么？方法更为有效？为什么？对分法更有效对分法更有效.第一，合适的放碱量事先有明确的标准第一，合适的放碱量事先有明确的标准 第二，用对分法取试点计算要方便；第二，用对分法取试点计算要方便；第三，同样多次试验对分法的精度要高，第三，同样多次试验对分法的精度要高，用对分法能以较少次数的试验找到最佳用对分法能以较少次数的试验找到最佳点点.探究（二）：探究（二）：盲人爬山法盲人爬山法 思考思考1 1：当电视机画面有当电视机画面有“雪花雪花”时，可时，可以用遥控器进行频道微调，使画面达到以用遥控器进行频道微调，使画面达到清晰状态，具体如何操作？清晰状态，具体如何操作？先往前面方向微调，如果画面清晰一些先往前面方向微调，如果画面清晰一些了就继续往这个方向微调，否则就往后了就继续往这个方向微调，否则就往后面方向微调面方向微调.如果前后微调的清晰度都比如果前后微调的清晰度都比某点低，则该点为清晰状态最佳点某点低，则该点为清晰状态最佳点.思考思考2 2：一个盲人爬山时已到某处，假设一个盲人爬山时已到某处，假设山是单峰的，且只有一条直道经过山顶，山是单峰的，且只有一条直道经过山顶，试设想他如何判断其立足之处是否为山试设想他如何判断其立足之处是否为山顶？顶？对前后两个方向进行试探，如果前面高对前后两个方向进行试探，如果前面高了，就向前走一步，否则试探后面了，就向前走一步，否则试探后面.如果如果前后都比某点低，就说明到达山顶了前后都比某点低，就说明到达山顶了.思考思考3 3：对单因素单峰试验，利用上述思对单因素单峰试验，利用上述思想寻找最佳点具体如何操作？想寻找最佳点具体如何操作？根据经验或估计找一个起点根据经验或估计找一个起点A A，在因素，在因素的减方向找一个试点的减方向找一个试点B B若若B B是好点，就继续减少，若是好点，就继续减少，若A A是好点，是好点，在因素的增方向找一个试点在因素的增方向找一个试点C C 若若C C是好点，就继续增加是好点，就继续增加 如果增加到某点时是差点，就减少增如果增加到某点时是差点，就减少增加的步长，直至找出最佳点加的步长，直至找出最佳点.思考思考4 4：上述确定试点的方法称为上述确定试点的方法称为盲人爬盲人爬山法山法，这种方法的效果快慢与哪些要素，这种方法的效果快慢与哪些要素有关？有关？起点，每步间隔的大小起点，每步间隔的大小.思考思考5 5：为提高盲人爬山法的试验效果，为提高盲人爬山法的试验效果，从开始试点到找到最佳点，每步间隔的从开始试点到找到最佳点，每步间隔的大小大致如何安排比较合理？大小大致如何安排比较合理？两头小，中间大两头小，中间大.探究（三）：探究（三）：分批试验法分批试验法 思考思考1 1：0.6180.618法，分数法，对分法，爬法，分数法，对分法，爬山法的共同特点是，后续试验的安排依山法的共同特点是，后续试验的安排依赖于前面的试验结果赖于前面的试验结果.优点是总的试验次优点是总的试验次数少，缺点是若试验结果需要很长时间数少，缺点是若试验结果需要很长时间才能得到，则试验周期累加耗时太多才能得到，则试验周期累加耗时太多.为为了缩短试验总时间，加快试验进度，你了缩短试验总时间，加快试验进度，你有什么新的想法？有什么新的想法？（1 1）把所有可能的试验同时安排进行，）把所有可能的试验同时安排进行，根据试验结果找出最佳点根据试验结果找出最佳点.（2 2）把全部试验分几批做，每一批同时）把全部试验分几批做，每一批同时安排几个试验，并进行比较，直到找出安排几个试验，并进行比较，直到找出最佳点最佳点.思考思考2 2：上述试验方法称为上述试验方法称为分批试验法分批试验法，利用这种方法寻找最佳点，需要解决的利用这种方法寻找最佳点，需要解决的技术问题是什么？技术问题是什么？如何合理分批，每批如何安排试验如何合理分批，每批如何安排试验.思考思考3 3：如图，将因素范围如图，将因素范围 a，b 均分为均分为3 3份，份，取两个分点取两个分点x1 1，x2 2为试点各做一次试验为试点各做一次试验.若若x1 1为好点，则存优范围为为好点，则存优范围为 a，x2 2，再将该存优，再将该存优范围均分为范围均分为4 4份，取两个分点份，取两个分点x3 3，x4 4为试点各为试点各做一次试验，若做一次试验，若x3 3为好点，则存优范围为为好点，则存优范围为 a，x1 1，再将该存优范围均分为，再将该存优范围均分为4 4份，取两个份，取两个分点分点x5 5，x6 6为试点各做一次试验，依次类推，为试点各做一次试验，依次类推，直到找出最佳点直到找出最佳点.这是一种这是一种均分分批试验法均分分批试验法，这种方法每批安排几个试点，第这种方法每批安排几个试点，第n n次试验后的次试验后的精度如何计算？精度如何计算？x2x1abx2x1ax4x3思考思考4 4：均分分批试验法每批可以做均分分批试验法每批可以做2 2n个个试验，首先把试验范围均分为试验，首先把试验