解三角形 测试练习题

1.解三角形1.已知ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且asinAcsinCbsinBasinC.(1)求角B的大小；(2)设向量m(cosA,cos2A),n(12,5),边长a4,当mn取最大值时,求b的值.解：(1)由题意得,asinAcsinCbsinBasinC,a2c2b2ac,cosB,B(0,),B.(2)mn12cosA5cos2A102,当cosA时,mn取最大值,此时sinA.由正弦定理得,b.2.已知ABC中,AC2,A,cosC3sinB.(1)求AB；(2)若D为BC边上一点,且ACD的面积为,求ADC的正弦值.解：(1)因为A,所以BC,由cosC3sinB得,cosCsin,所以cosCcosCsinC,所以cosCsinC,即tanC.又因为C(0,),所以C,从而得BC,所以ABAC2.(2)由已知得ACCDsin,所以CD,在ACD中,由余弦定理得,AD2AC2CD22ACCDcosC,即AD,由正弦定理得,故sinADC.3.已知函数f(x)12sincos2cos2,ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)求f(A)的取值范围；(2)若A为锐角且f(A),2sinAsinBsinC,ABC的面积为,求b的值.解：(1)f(x)sinxcosx2sin,f(A)2sin,由题意知,0A0,0,得,所以f(x)sin.令2k2x2k,kZ,得kxk,kZ.所以函数f(x)在0,上的单调递增区间为和.(2)由fcosA,可得sincosA,则sinAcosA,得sin,因为0A,所以A,所以A,所以A.2.数列1.在等差数列an中,a12,a1220.(1)求数列an的通项an；(2)若bn,求数列3bn的前n项和Sn.解：(1)因为an2(n1)d,所以a12211d20,于是d2,所以an2n4(nN*).(2)因为an2n4,所以a1a2ann(n3),于是bnn3,令cn3bn,则cn3n3,显然数列cn是等比数列,且c132,公比q3,所以数列3bn的前n项和Sn(nN*).2.(2018巩义模拟)已知数列an满足a1,2(nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)证明：aaaa.(1)解：由条件可知数列为等差数列,且首项为2,公差为2,所以2(n1)22n,故an(nN*).(2)证明依题意可知a2,n2,nN*.又因为a,所以aaaa2.故aaaa.3.(2018衡水金卷模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn,a15,3a5a9S6.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn1an1an,且b1a6,求数列的前n项和Tn.解：(1)设等差数列an的公差为d,由a15,3a5a9S6,得3(54d)(58d)65d,解得d2.所以ana1(n1)d52(n1)2n3(nN*).(2)由(1)得,b1a626315.又因为bn1an1an,所以当n2时,bnanan1(2n3)(2n1),当n1时,b15315,符合上式,所以bn(2n3)(2n1)(nN*).所以.所以Tn(nN*).4.(2018大庆模拟)已知Sn为等差数列an的前n项和,且a11,S981.记bnlog5an,其中x表示不超过x的最大整数,如0.90,log5161.(1)求b1,b14,b61；(2)求数列bn的前200项和.解：(1)设等差数列an的公差为d,由已知S981,根据等差数列的性质可知,S99a59(a14d)81,a14d9.a11,d2,an2n1,b1log510,b14log5272,b61log51212.(2)当1n2时,1an3(anN*),bnlog5an0,共2项；当3n12时,5an23,bnlog5an1,共10项；当13n62时,25an123,bnlog5an2,共50项；当63n200时,125an399,bnlog5an3,共138项.数列bn的前200项和为201015021383524.3.立体几何1.如图,在三棱柱ABFDCE中,ABC120,BC2CD, ADAF, AF平面ABCD.(1)求证：BDEC；(2)若AB1,求四棱锥BADEF的体积.(1)证明已知ABFDCE为三棱柱,且AF平面ABCD,DEAF,ED平面ABCD.BD平面ABCD,EDBD,又ABCD为平行四边形,ABC120,故BCD60,又BC2CD,故BDC90,故BDCD,EDCDD,ED,CD平面ECD,BD平面ECD,EC平面ECD,故BDEC.(2)解：由BC2CD得AD2AB,AB1,故AD2,作BHAD于点H,AF平面ABCD,BH平面ABCD,AFBH,又ADAFA,AD,AF平面ADEF,BH平面ADEF,又ABC120,在ABH中,BAH60,又AB1,BH,VBADEF(22).2.如图,在BCD中,BCD90,BCCD1,AB平面BCD,ADB60,E,F分别是AC,AD上的动点,且(01).(1)求证：无论为何值,总有平面BEF平面ABC；(2)是否存在实数,使得平面BEF平面ACD.(1)证明AB平面BCD,CD平面BCD,ABCD.CDBC,ABBCB,AB,BC平面ABC,CD平面ABC.又(0b0)的离心率为,且C过点.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C交于P,Q两点(点P,Q均在第一象限),且直线OP,l,OQ的斜率成等比数列,证明：直线l的斜率为定值.(1)解：由题意可得解得故椭圆C的方程为y21.(2)证明由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为ykxm(m0),由消去y,整理得(14k2)x28kmx4(m21)0,直线l与椭圆交于两点,64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0.设点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1x2,x1x2,y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.直线OP,l,OQ的斜率成等比数列,k2,整理得km(x1x2)m20,m20,又m0,k2,结合图象(图略)可知k,故直线l的斜率为定值.2.已知抛物线：x22py(p0),直线y2与抛物线交于A,B(点B在点A的左侧)两点,且|AB|4.(1)求抛物线在A,B两点处的切线方程；(2)若直线l与抛物线交于M,N两点,且MN的中点在线段AB上,MN的垂直平分线交y轴于点Q,求QMN面积的最大值.解：(1)由x22py,令y2,得x2,所以44,解得p3,所以x26y,由y,得y,故y|x2.所以在A点的切线方程为y2(x2),即2xy20,同理可得在B点的切线方程为2xy20.(2)由题意得直线l的斜率存在且不为0,故设l：ykxm,M(x1,y1),N(x2,y2),由x26y与ykxm联立,得x26kx6m0,36k224m0,所以x1x26k,x1x26m,故|MN|2.又y1y2k(x1x2)2m6k22m4,所以m23k2,所以|MN|2,由36k224m0,得k且k0.因为MN的中点坐标为(3k,2),所以MN的垂直平分线方程为y2(x3k),令x0,得y5,即Q(0,5),所以点Q到直线kxy23k20的距离d3,所以SQMN233.令1k2u,则k2u1,则1u,故SQMN3.设f(u)u2(73u),则f(u)14u9u2,结合1u0,得1u；令f(u)0,得ub0)的左顶点、右焦点,点P为椭圆C上一动点,当PFx轴时,|AF|2|PF|.(1)求椭圆C的离心率；(2)若椭圆C上存在点Q,使得四边形AOPQ是平行四边形(点P在第一象限),求直线AP与OQ的斜率之积；(3)记圆O：x2y2为椭圆C的“关联圆”.若b,过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线,切点为M,N,直线MN在x轴和y轴上的截距分别为m,n,求证：为定值.(1)解：由PFx轴,知xPc,代入椭圆C的方程,得1,解得yP.又|AF|2|PF|,所以ac,所以a2ac2b2,即a22c2ac0,所以2e2e10,由0eb0)的右顶点为A(2,0),左、右焦点分别为F1,F2,过点A且斜率为的直线与y轴交于点P,与椭圆交于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为点F1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M,N两点(|PM|PN|),若SPAMSPBN,求实数的取值范围.解：(1)因为BF1x轴,得到点B,所以解得所以椭圆C的标准方程是1.(2)因为,所以(2),所以.由(1)可知P(0,1),设MN方程为ykx1,M(x1,y1),N(x2,y2),联立得(4k23)x28kx80,0恒成立,即得(*)又(x1,y11),(x2,y21),有x1x2,将x1x2代入(*)可得,.因为k,所以(1,4),则122,即得40.(1)解：f(x)lnx的定义域是(0,),f(x),所以f(1),又f(1)1,则切线方程为x2y30.(2)证明令h(x)x32x23x2,则h(x)3x24x3,设h(x)0的两根为x1,x2,由于x1x210,不妨设x10,则h(x)在(0,x2)上是单调递减的,在(x2,)上是单调递增的.而h(0)0,h(1)0,所以h(x)在(0,)上存在唯一零点x0,且x0(1,2),所以f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,)上单调递增.所以f(x)f(x0)lnx0,因为x0(1,2),lnx00,f(x)0,所以f(x)0.2.已知函数f(x)lnx, g(x)f(x)ax2bx,函数g(x)的图象在点(1,g(1)处的切线平行于x轴.(1)确定a与b的关系；(2)若a0,试讨论函数g(x)的单调性.解：(1)依题意得g(x)lnxax2bx,x0,则g(x)2axb,由函数g(x)的图象在点(1,g(1)处的切线平行于x轴得,g(1)12ab0,b2a1.(2)由(1)得g(x).函数g(x)的定义域为(0,),当a0时,g(x),由g0得0x1,由g1；若0时,由g0得x1或0x,由g0得x1,即0a0得x或0x1,由g0得1x；若1,即a时,在上恒有g0.综上得,当a0时,函数g在(0,1)上单调递增,在上单调递减；当0a时,函数g在上单调递增,在上单调递减；在上单调递增.3.已知函数f(x)xlnx,g(x)(x2ax3)ex(a为实数).(1)当a5时,求函数g(x)的图象在x1处的切线方程；(2)求f(x)在区间t,t2(t0)上的最小值；(3)若存在两个不等实数x1,x2,使方程g(x)2exf(x)成立,求实数a的取值范围.解：(1)当a5时,g(x)(x25x3)ex,g(1)e,g(x)(x23x2)ex,故切线的斜率为g(1)4e,所以切线方程为ye4e(x1),即4exy3e0.(2)函数f(x)xlnx的定义域为(0,).因为f(x)lnx1,所以在(0,)上,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表：xf(x)0f(x)极小值(最小值)当t时,在区间t,t2上,f(x)为增函数,所以f(x)minf(t)tlnt,当0t0,则h(x)1.当x变化时,h(x),h(x)的变化情况如下表：x1(1,e)h(x)0h(x)极小值(最小值)因为h3e2,h(e)e2,h(1)4,所以h(e)h42e0,所以h(e)h,所以实数a的取值范围为.4.(2018安徽省六安一中模拟)已知函数f(x)x2(a2)xalnx(a为实常数).(1)若a2,求曲线yf(x)在x1处的切线方程；(2)若存在x1,e,使得f(x)0成立,求实数a的取值范围.解：(1)当a2时,f(x)x22lnx,则f(x)2x,f(1)0,所求切线方程为y1.(2)f(x)2x(a2),x1,e.当1,即a2时,x1,e,f(x)0,此时f(x)在1,e上单调递增.所以f(x)的最小值为f(1)a1,所以1a2；当1e,即2a2e,x时,f(x)0,f(x)在上单调递增,所以f(x)的最小值为faalna.因为2a2e,所以0ln1,所以fa0恒成立,所以2a,所以f(e)0,所以a2e,综上,a1.7.坐标系与参数方程1.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C：(为参数),在以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为cos1.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)过点M(1,0)且与直线l平行的直线l1交C于A,B两点,求点M到A,B两点的距离之积.解：(1)曲线C化为普通方程为y21,由cos1,得cossin2,所以直线l的直角坐标方程为xy20.(2)直线l1的参数方程为(t为参数),代入y21化简得,2t2t20,设A,B两点所对应的参数分别为t1,t2,则t1t21,所以|MA|MB|t1t2|1.2.在平面直角坐标系xOy中,已知直线C1：(t是参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C2：8sin.(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)判断直线C1与曲线C2的位置关系,若相交,求出弦长.解：(1)由C1：(t是参数)消去t得xy30,所以直线C1的普通方程为xy30.把8sin的两边同时乘,得28sin,因为x2y22,ysin,所以x2y28y,即x2(y4)216,所以曲线C2的直角坐标方程为x2(y4)216.(2)由(1)知,曲线C2：x2(y4)216是圆心坐标为(0,4),半径为4的圆,所以圆心(0,4)到直线xy30的距离d0).(1)求曲线C1的极坐标方程和C3的直角坐标方程；(2)设C3分别交C1,C2于点P,Q,求C1PQ的面积.解：(1)曲线C1的普通方程为(x2)2y24,即x2y24x0,所以C1的极坐标方程为24cos0,即4cos.曲线C3的直角坐标方程为yx(x0).(2)依题意,设点P,Q的坐标分别为,将代入4cos,得12,将代入2sin,得21,所以21,依题意得,点C1到曲线的距离为dsin1,所以SC1PQd.4.已知曲线C1的参数方程是(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是4sin.(1)求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；(2)A,B两点分别在曲线C1与C2上,当|AB|最大时,求AOB的面积(O为坐标原点).解：(1)由得所以(x2)2y24,又由4sin,得24sin,得x2y24y,把两式作差得,yx,代入x2y24y得交点坐标为(0,0),(2,2).(2)如图,由平面几何知识可知,当A,C1,C2,B依次排列且共线时,|AB|最大,此时|AB|24,O到AB的距离为,OAB的面积为S(24)22.8.不等式选讲1.已知函数f(x)|x2a|x3a|.(1)若f(x)的最小值为2,求a的值；(2)若对xR, a2,2,使得不等式m2|m|f(x)0成立,求实数m的取值范围.解：(1)|x2a|x3a|(x2a)(x3a)|a|,当且仅当x取介于2a和3a之间的数时,等号成立,故f(x)的最小值为|a|, a2.(2)由(1)知f(x)的最小值为|a|,故a2,2,使m2|m|a|成立,即m2|m|2,(|m|1)(|m|2)0,2m2.2.(1)已知xR,求f(x)|x1|x2|的最值；(2)若|x3|x1|a的解集不是R,求a的取值范围.解：(1)|f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|3,3f(x)3,f(x)min3,f(x)max3.(2)|x3|x1|(x3)(x1)|4,|x3|x1|4.当a4时,|x3|x1|a的解集为R.又|x3|x1|a的解集不是R,a4.a的取值范围是4,).3.已知函数f(x)|2x1|ax5(a是常数,aR).(1)当a1时,求不等式f(x)0的解集；(2)若函数f(x)恰有两个不同的零点,求实数a的取值范围.解：(1)当a1时,f(x)|2x1|x5由f(x)0,得或解得x4或x2,故不等式f(x)0的解集为x|x4或x2.(2)令f(x)0,得|2x1|5ax,则函数f(x)恰有两个不同的零点转化为y|2x1|与yax5的图象有两个不同的交点,在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示,结合图象知当2a2时,这两个函数的图象有两个不同的交点,所以当2a0).(1)当m2时,求不等式f(x)1的解集；(2)对于任意实数x,t,不等式f(x)|t3|t2|恒成立,求m的取值范围.解：(1)f(x)|x2m|xm|当m2时,由2x21得20,0m.